2020-03-02 23:31:45 来源:范文大全收藏下载本文
海伦公式的几种证明与推广
古镇高级中学付增德
高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron\'s Formula〕:假设有一个三角形,边长分别为a,b,c,,三角形的面积S可由以下公式求得:
s
(pa)(pb)(pc),而公式里的p
1
2(abc),称为半周长。
图
1C
海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮,结构工整,有多种变形,如:S=
p(pa)(pb)(pc)
22
2
===
14141
4(abc)(abc)(acb)(bca)(a
2
=
14
[(ab)c][c14
4ab
2
2
(ab)]
2
2
b
2
2
c
2
2ab)[(a
2
2
b
42
c
4
2
2ab)]
4
=
(a
2
bc)
22
2ab
2
2ac
2
2bc
22
abc
12
absinC和余弦定理
教课书中并以习题形式出现,给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s
12
12
12
c
2
a
2
b
2
2abcosC的证明过程:sabsinC=ab1cosnC=
2
ab1(
a
2
b
2
c
2
2ab
)
2
下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式,中国古代的天元术发展水平非常高,笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中,利用了解方程的方法,因此海伦公式可以作如下推证,从三角形最基本的面积公式SABC
12
aha入手,利用勾股定理,布列方程组求高。
如图2,
B
图2
C
x2y2c2
222
2acb22
在△ABC中,AD为边BC上的高,根据勾股定理,有xzb解方程,得y,
2a
yzaz
a
b
c
2a
,xc
y
c
(
a
c
b
2a
)
12a
4ac
22
(a
c
b)下略。在求
22
高的方法上,我们也可以用斯特瓦尔特定理,根据斯氏定理,△ABC顶点A于对边BC上任一点D间的距离AD有下列等式确定:AB
AD
DCAC
BDAD
BCBDDCBC,等式改写为
AB
DCBC
AC
BDBC
BC
DCBC
BDBC
aa
22
而当点D是顶点A的正射影时,有
BDDC
ABcosBACcosC
cb
22
bc
22
,利用比例的性质,变形得
BDBC
a
c
22
b
2a
,
DCBC
a
b
22
c
2a
,代入即求出高AD。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数
的恒等式,容易证明下列三角恒等式:若∠A+∠B+∠C =180°那么
ABACBCtata+tantantan+tan=1,
222222
zz
C
图
3如图3,在△ABC中,内切圆⊙O的半径是r,则tan
A2
rx
, tan
B2
ry
,tan
C2
rz
,代入恒等式
tan
A2
tan
B2
+tan
A2
tan
C2
+tan
B2
tan
C2
=1,得
r
xy
r
xz
r
yz
1,两边同乘xyz,有等式
r(xyz)xyz„„„①
又,bca(xz)(xy)(yz)2x ,所以,x
z
abc
bca
,同理y
acb
,
。„„„②于是△ABC的面积S
12
(abc)r=
12
(yzxzxy)r=(xyz)r
=(xyz)r=
14
,把①、②式代入,即得S(xyz)xyz
(abc)(abc)(bca)(acb)
三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系,我们不禁会类比猜想,简单四边形的面积和它的四条
边又是什么关系呢?由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设四条边长分别为a,b,c,d,且p
abcd
,则S四边形=(pa)(pb)(pc)(pd)
现根据猜想进行证明。
证明:如图,延长DA,CB交于点E。设EA = eEB = f
○○
∵∠1+∠2 =180∠2+∠3 =180 ∴∠1 =∠3∴△EAB~△ECD ∴
fae
=
efc
=
bd
,
SEABS四边形
ABCD
=
bd
b
解得: e =
b(abcd)d
b
③f =
b(adbc)d
b
④由于S四边形ABCD =
d
bb
S△EAB
将③,④跟b =
b(dd
b)b
代入海伦公式公式变形,得:
∴S四边形ABCD =
db
4eb
22
(e
b
f
)
4b
d
b
b(abcd)(d
(db
42
224
b)
22
=
d
4b
b)
[(
b(abcd)(d
b)
22
b(d(d
22
b)
22
b)
b(adbc)(d
22
b)
22
)]
b
=
4b
(d
b)
4(ab
cd)(d
22
b)[(abcd)(d
2222
b)(adbc)]
22
=
4(d
b)1
4(abcd)(d
22
b)[{abcd}{d
2222
b}{adbc}]
2222
=
4(d
b)1
4(abcd)(d
22
b)(ab
2222
cd
22
d
b
2db
22
ad
22
bc)
22
=
4(d
b)1
4(abcd)(d
22
b)[b(a
2222
b
d
c)d(d
222
b
a
c)
=
4(d1
b)
(d
b)[4(abcd)(c
2222
d
b
a)]
22
=4
(2ab2cdc
d
b
a)(2ab2cdd
22
b
a
c)
=4
ac)(bd)][(bd)(ac)]
2222
(abcd)(abdc)(adcb)(bdca)
=4
=(pa)(pb)(pc)(pd)所以,海伦公式的推广得证。
图4
参考文献
[1] 七市高中选修教材编写委员会.数学问题探究[M].北京:生活·读书·新知三联书店,2003:14~
26.
[2] 王林全.初等几何研究教程[M].广州:暨南大学出版社,1996.
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