平均值不等式归纳法证明

平均值不等式的证明

湖南省张家界市永定区永定小学覃文周整理

1、设ai(i=1,2,…,n)为正数，求证：（a1+a2+…+an）

等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。证明：由1na1a2an…（1） a1a2210得：a1a2a1a2。即当n=2时（1）式成立。 2

假设当n=k时（1）式成立,即（a1+a2+…+ak）

1令（a1+a2+…+ak+ak1）=a，于是有： k11ka1a2ak。则当n=k+1时 a=1111[a1+a2+…+ak+ak1+（k-1）a]=[a1+a2+…+ak）+ak1+(k-1）a)] 2k2kk

1(2

2ka1a2ak+12kk1ak1ak1k1)2k1a1a2akak1a aaaaaa

2即 ak1a1a2akak1 k1（a1+a+…+a1k+ak1）ka1a2akak1

即当n=k+1时（1）式成立。

对任意自然数n，（1）式成立。由证明过程不难得知等号成立的充分必要条件是a1=a2=…=an。