浙江财经数学分析(3)期末练习题五

10统计专业和数学专业数学分析（3）期末练习题五 1.证明极限

(x,y)(0,0)

lim

xyxy

不存在。

xyxy

2

2

2.用极限定义证明： lim

(x,y)(0,0)

22

0.

3.证明极限

(x,y)(0,0)

lim

xy

2

2

2

xy(xy)

不存在.

4.设F(x,y)f(x),f(x)在 x0连续，证明：对y0R,F(x,y)在(x0,y0)连续.5.证明：如果f(x,y)在 P0(x0,y0)连续，且f(x0,y0)0，则对任意

rf(x0,y0),(P0;),对一切P(x,y)(P0;),有f(x,y)r.

2

2

6.证明：f(x,y)7.证明；

xy在点(0,0)处连续且偏导数不存在.

122

ysinxy022

xyf(x,y)

220xy0

在(0,0)点连续，且fx(0,0)0,fy(0,0)0不存在.

8.证明

22(xy)sin

f(x,y)



0

在 点(0,0)处连续且偏导数存在.

xy0xy0

2

2

22

9.设 函数f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在x01(xx0)和 y02(yy0)，011,021, 使得

f(x,y)f(x0,y0)fx(,y)(xx0)fy(x0,)(yy0)

。

10.证明：

f(x,y)

xy0xy0,

2

2

22

在点(0,0)不可微.

11.证明: 对任意常数,, 球面xyz与锥面xytanz是正交的.12.证明: 以为参数的曲线族

x

22

2

2

2

2

2

2

2

a



y

2

b

1(ab)

是相互正交的(当相交时).

13.证明: 由方程zyx(z)所确定的隐函数zz(x,y)满足

zx



2z

(z), yy

其中二阶可导.14.设F(a)





ln12acosxa

dx, 证明

0, 若a1且a0,

F(a)2

lna,若a1.

15.证明含参量反常积分





sinxyy

dy

在,上一致收敛其中＞0，但在0,+内不一致收敛。 16.证明含参量a的反常积分



0

e

ax

cosxx

p

dx,a0,p0为常数

是一致收敛的.

17.证明含参量p的反常积分



是一致收敛的.

0

sinx1x

2p

dx,p0

18.若f(x)在(0,)内可积, 证明

lim

a0



0

e

ax

f(x)dx

0

f(x)dx.

19.证明( 2xcosyycosx )dx( 2ysinxxsiny )dy在整个XY平面上是某个函数 的全微分, 并找出这样一个原函数.

20.设一力场为 F ( 3xy8xy )i +( x8xy12ye )j .证明质点在此力场内移 动时, 场力所作的功与路径无关.

2222

ydxzdyxdzaxyza21.

证明, 其中L是球面 与平面 

y

L

xyz0的交线 ( 它是圆周 ) , 从X轴的正向看去, 此圆周呈逆时针方向.

22

22.证明3zdx5xdy2ydz2, 其中L是圆柱面xy1与平面 zy3的交

L

线(它是椭圆 ) , 从X轴的正向看去, 此椭圆周呈逆时针方向.

23.证明(yz)dx(zx)dy(xy)dz=2a( ha ),其中L是圆柱面

L

xy

22

a与平面

xa



zh

1(a0 ,h0 )的交线( 它是椭圆 ) , 从X轴的正向看去 ,

此椭圆周呈逆时针方向.

24.证明：若f(x,y)为有界闭区域D上的非负连续函数，且在D上不恒为零，则



D

f(x,y)d0.

25.证明二重积分



D

f(xy)dxdy=ln21f(x)dx，其中D{(x,y)|1

yx

4,1xy2}.

26.设fx是a,b上的正值连续,DD0xa,0ya,则

fy

D

fx

ba.

27.设fx,y在ya,xb,yxab所围区域D上连续,则



b a

dx

x a

fx,ydy



b a

dy

b y

fx,ydx.

28.证明

xyzdxdydz

V

25

R,其中V由z2x2y2，

xyzR

2222

z0所围成的有界闭区域.

29.证明(xyz)dSa,其中是左半球面x2y2z2a2,y0。



30.证明(xy)dS=



22



( 21 ),其中是区域 { (x,y,z)|xy

22

z1 }的

边界.

31.

证明(xyyzzx)dS



15

a,是锥面z

xy

22

被柱面

xy

22

2ax所截部分.

32.证明(xy)dydz(yz)dzdx(zx)dxdy24h, 其中是中心在原点 , 边



长为2h的立方体 [ h , h ][ h , h ][ h , h ]的边界.

23

33.证明yzdzdx=



abc, 其中是椭球面

xa

22



yb

22



zc

22

1的上半部分 , 积分沿

外侧.

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