01建筑制图与识图教案第一章 投影基本知识

第一章 投影基本知识

一、教学目的；

掌握点、直线、平面的三面投影及作图方法

二、教学方法：

黑板教学与多媒体教学相结合

三、教学手段：

课堂教学和课后辅导相结合

四、学时分配：

讲课学时为2学时

五、重点、难点：

难点： 1.点的三面投影及直角作标的关系

2.平面上点和直线的作图方法

六、辅导安排：

课后安排辅导

七、教学内容

1.1 投影的基本知识

一、投影法：

概念：是从自然现象中抽象出来的，用来使空间形体产生平面图形，并通过投影图分析空间形体，在预设平面上表示空间图形的方法。

1、中心投影法：

其模型由投影面P和投影中心S组成，SA为投影线，投影线SA与平面P交点a，即为空间点A的中心投影，中心投影不能反映空间物体的真实形状，比实形大。

中心投影法：投影线都从投影中心出发的投影法。

2、平行投影法：投影线都互相平行的投影法，所得投影为平行投影，平行投影法分为正投影法和斜投影法。 正投影法（直角投影法）：投影方向垂直与投影面所得投影为正投影 斜投影法：投影方向倾斜于投影面，所得的投影为斜投影

机械图样中一般都采用正投影，反映空间形体的真实形状。（如图1-1）

图1-1

1.2正投影的基本性质

1、具有不变性

（1）空间点又有唯一投影，点的一个投影不能确定点的空间位臵 （2）直线的投影一般情况下，仍为直线，点在直线上，点的投影必在直线上的投影上

（3）与投影面平行的直线的投影反映直线的实长 与投影面平行的平面的投影反映平面的实形

（4）空间平行的两线段，其投影仍然平行

2、等比性

（1）直线上点分割线段之比等于其投影长度之比 （2）两平行线段之比等于其投影长度之比

3、积聚性

（1）直线垂直与投影面，其投影积聚为一点 （2）平面垂直与投影面，其投影积聚为一直线

4、相似性

（1）直线倾斜于投影面，直线长度缩短，仍为直线 （2）平面倾斜于投影面，投影是类似形，面积缩小

总结：直线垂直投影面，投影积聚点，直线平行投影面把实形现，直线倾斜于投影面长度缩短，形不变。

1.3点的投影

点是最基本的几何元素，由正投影的特性可知，由于点的一个投影不能确定点的空间位臵，因此我们常把几何形体放在两个或更多个互相垂直的投影面之间，向它们做投影形成多面投影

一、点在三投影面体系中的投影

1、三投影面体系的建立

水平投影面——H，正投影面——V,侧立投影面——W

2、点在三投影面体系中的投影如图1-2

图1-2 （1）立体图：

空间点A向V面垂直的投影线，与投影面交于;;;a;, a;为点A的正面投影，向H、W面作垂直的投影线得水平投影a和侧面投影 。空间点用大写字母表示（如A、B…）水平投影用小写字母表示（a,b…）正面投影用（ a′，b′…）表示，侧面投影用（ a″，b″…）表示。

（2）投影图：

将三个投影面展成同一平面，将沿OY轴把H面、W面分开，将H面沿OX轴向下转 ，将W面沿OZ轴向后转 与V面展开成同一平面，OY轴分成H面上的OYH,W面上的OYW.

3、点的三面投影与直角坐标的关系：

可以把三面投影体系看成直角坐标系、坐标轴、坐标面、原点O，看作投影面、投影轴、点O。

点的坐标 已知点的两个投影就能确定点的坐标，也能确定第三个投影。

4、点的三面投影特性： （1）点的投影连线垂直于投影轴

（2）点的投影到投影轴的距离等于点的坐标，等于点到相邻投影面的距离

二、特殊情况下点的投影（如图1-3）

图1-3

1、投影面上的点：投影面上的点有一个坐标为零，在该投影面上的投影与该点重合，在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。

2、投影轴上的点

投影轴上的点有两坐标为零，在包含这条轴的两投影面上的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影与点O重合。

三、两点的相对位臵（如图1-4）

图1-4

1、根据两点相对投影面的距离差（坐标差）可确定两点的相对位臵

2、已知两点的相对位臵以及其中一点的坐标，也能做出另一点的投影

3、原则：x大在左，y大在前，z大在上

1.4 直线的投影

一、直线对一个投影面的投影特性：

直线垂直于投影面其投影积聚为一点，直线平行与投影面其投影把实形现，直线倾斜于投影面，其投影长度直线对投影面的相对位臵：

1.一般位臵直线：对三个投影面都倾斜的直线。

2.特殊位臵直线：平行于一个投影面的直线，垂直于一个投影面的直线

二、一般位臵直线的投影特性

图1-5 1.直线倾斜于各投影面，各投影长度小于实长，各投影均不平行各投影轴

2、投影与投影轴的夹角不反映直线对投影面的倾角。如图1-5

三、特殊位臵的直线

1、投影面平行线：平行于一个投影面，对另两个投影面倾斜如图1-6 //H—水平线 //V——正平线 //W——侧平线

以正平线为例：//V面，对H,W面倾斜，作正面投影反映实长

图1-6 特性：（1）在平行的投影面上投影反映实长，其投影与投影轴的夹角反映真实倾角

（2）在另两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，长度缩短

2、投影面垂直线：垂直于一个投影面，对另外两个投影面平行如图1-7以铅垂线为例：先作H面上投影：

图1-7 特性：（1）在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点

（2）在另外两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，反映实长

3、投影面内的直线和投影轴上直线：

特性：（1）投影面内直线的一个投影重合于直线本身，另两个投影在投影轴上 （2）投影轴上直线的两个投影重合于它本身，另一投影积聚在原点 V面内为侧垂线，H面内为水平线

四、一般位臵线段的实长及它与投影面的夹角（如图1-8）

图1-8

1、作空间三角形：BC为AB两点Z坐标差

2、作平面直角三角形：

α：z坐标差所对的角，β：y坐标差所对的角，γ：x坐标差所对的角 简单画法：利用z坐标差，把水平投影做到V面上 例：已知线段AB的投影 ，A点的水平投影 ，β=30o,求b

图1-9

五、属于直线的点：

1、点和直线的从属性投影后不变（直线上的点的投影）：

点如果在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上，反之，若点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上

2、点分割线段之比投影后不变（点分割线段成定比）： 例1：已知线段AB及点K的投影，试判断点K是否属于AB如图1-9 例2：在AB上的C点使AC:CB=3:2，如图1-10

图1-10 1-11 例3：已知线段AB的投影（ ），试定出属于线段AB的点S的投影，使AS的实长等于已知长度L。如图1-11。

解：（1）用直角三角形法求出线段AB的实长

（2）在 上截取长度L的线段 Ⅱ，过Ⅱ作图线Ⅱ ，使ⅡⅠ ，Ⅱ 交 于点 ，由 定出 ，点 即为所求。

六、直线的迹点：

1、迹点：直线与投影面的交点

（1）与H面交点为水平迹点M,与V面交点为正面迹点N,与W面交点为侧面迹点S （2） 迹点的投影特性；属于直线也属于平面 具有平面内点的投影特性，具有直线上点的投影特性

2、迹线的求法：如图1-12 （1）求水平迹点

① 水平迹点在H面上，因此迹点的正面投影在ox轴上

② 延长a'b 交ox轴于m' ，作M的水平投影m≡M

图1-12 （2）求正面迹点

延长ab 交OX轴于n ，由n引ox轴垂线交a'b 于n'≡N

3、特殊位臵直线的迹点：

（1）投影面平行线有两个迹点,(图1-13a) （2）投影面垂直线只有一个迹点,(图1-13b)

图1-13

七、两直线的相对位臵：

1、平行两直线：如图1-14

图1-14 投影特性：（1）三对同面投影相互平行（逆定理存在），同面投影之比相等。 （2）两直线为投影面的平行线，两投影都平行于投影轴。 判断两直线平行的方法：（1）看字母顺序

（2）看同面投影之比是否相等

（3）看第三面投影

2、相交两直线：如图1-15

图1-15 投影特性：三对同面投影都相交，交点属合投影规律

（1）两条直线都是一般位臵直线，只要两个投影面的投影相交，则两直线相交

（2）一条是投影面平行线时，判断两直线相交的方法：

① 看点分割线段是否成定比（相似三角形）

② 作第三面投影

3、交叉两直线：

投影特性:既不具备相交两直线的投影特性,也不具备平行两直线的投影特性。

需判断重影点可见性。

1.5 平面的投影

一、平面的投影表示法：

1、用几何元素表示平面：

书图4-1有五种表示法，几何元素间可互换

2、平面的迹线表示法：如图1-16

图1-16 （1）平面迹线：平面与投影面交线（平面内、投影面内的直线）

PH-水平迹线，PV-正面迹线，PW-侧面迹线，Px,Py,Pz为集合点，具有三面共点。 （2）迹线的投影特性：投影是其本身，与投影轴重合的投影不画。

3、迹线的求法：如图1-17

图1-17 将几何元素表示的平面，转换成用迹线表示的平面。平面内任一直线的迹点都在平面的迹线上。 ①

找 的迹点M ②

找BC的迹点M1 ③

连接M1M为PH

二、平面对投影面的相对位臵： （1）一般位臵平面：对三投影面都倾斜 （2）特殊位臵平面：①投影面平行面，②投影面垂直面

三、平面的投影特性：

1、一般位臵平面的投影特性：如图1-18

图1-18 （1）

三对投影均为原形的类似形，投影与投影轴的夹角不反映平面对投影面的真实倾角。

（2）

三条迹线都倾斜于投影轴

2、投影面垂直面：

投影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影为倾斜直线，有积聚性；

（2）平面用平面形表示，在另外两个投影面上的投影仍为平面形，但不是实形，有相仿性（类似性）；

（3）用迹线表示平面在所垂直投影棉上的投影与迹线重合，另两个投影面上的迹线垂直于投影轴。

3、投影面平行面：如图1-19 //H-水平面，//V-正平面，//W-侧平面

图1-19 投影特性： （1）如用平面表示，则在所平行的投影面上的投影反映平面实形；

（2）在另外两个投影面上的投影为直线，有积聚性，且平行于相应的投影轴，与迹线相重合。

四、平面上的点和直线：

1、属于一般位臵平面的点和直线；如图1-20

图1-20 图1-21 （1）

取属于平面内的点：点在平面内一直线上，则点必在该平面内 （2）

取属于平面的直线：①通过平面内两点，②通过平面内的一点，且平行于平面内的一直线

例1.已知平面 内一点K的H投影K,求 。如图1-21 解法：（1）过平面内两已知点作辅助线，求点的投影；

（2）过平面内一已知点作平面内已知直线的平行线，求点的投影；

（3）过平面内已知点作投影面平行线，求点的投影。

2、属于特殊位臵平面的点和直线：如图1-22

图1-22 （1）取属于特殊位臵平面的点和直线： 属于特殊位臵的平面点和直线，至少有一个投影重合于具有积聚性的迹线。 （2）过一般位臵直线总可作投影面垂直面 （3）过特殊位臵直线作平面

3、属于平面的投影面平行线：

（1）具有一般位臵平面或投影面垂直面的投影面平行线方向是一致的 （2）属于平面的投影面平行线具有投影面平行线的投影特性，又与所属平面保持从属关系

（3）属于一般位臵平面的投影面平行线平行于该平面的相应迹线

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