余弦定理新的证明探讨

余弦定理新的证明探讨

摘 要

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，是解决数理学科和前沿科学领域中相关问题的一种有效的重要方法。它是代数学中的重点和难点，在解决三角问题、函数问题等方面发挥了重要的作用。国内外有关余弦定理证明的探讨和应用及其推广的研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。国外对余弦定理的证明与应用的研究主要是由于前沿科学领域及实际生活发展的需要，在教学中寻求新的证明探讨涉及甚少，而国内在寻求其新的证明探讨与应用方面的研究甚为广泛。但余弦定理新的证明方法及推广与应用仍有值得研究的问题。比如：余弦定理通常用于求解三角函数问题，而其用途不仅仅限于此，如：余弦定理证明在数学教学、数学分析、立体几何中的应用等。但是针对余弦定理在应用中存在的局限性，是否能探究其新的证明方法，并将其做相应的推广来解决相关问题，扩宽其应用的范围，使得在运用余弦定理解决代数问题和几何问题方面更加实用方便，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。基于已有的余弦定理若干要点的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，漫谈了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代数与几何中的新的证明，分别给出了不同形式的余弦定理新的证明方法，并对其做出了相应的推广，体现了其不同证明方法的新颖性和优越性.

关键词：余弦定理；勾股定理；证明；定理；推论

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目 录

1 引言···········································································································································1 2 文献综述···································································································································1 2.1国外研究现状·························································································································1 2.2国内研究现状·························································································································1 2.3国内外研究现状评价·············································································································1 2.4提出的问题·····························································································································2 3 余弦定理的数学思想史略·······································································································2 3.1三角学的确立与发展状况·····································································································2 3.2余弦定理的由来·····················································································································2 4 余弦定理及其新的证明···········································································································3 4.1关于余弦定理的注记·············································································································3 4.2余弦定理新的证明·················································································································5 4.2.1从几何角度直观证明余弦定理 ··································································································5 4.2.2角余弦定理的证明与应用 ·········································································································7 4.2.3证明余弦定理又一方法······································································································9 4.2.4立体几何的余弦定理及其证明························································································10 4.2.5 n维余弦定理的新证明·····································································································13 5 总结 ········································································································································15 5.1 主要发现 ·····························································································································15 5.2 启示 ·····································································································································15 5.3 局限性 ·································································································································16 5.4 努力方向 ·····························································································································16 6 参考文献·································································································································16

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1引言

余弦定理的证明及推广应用的发展历程在三角函数、立体几何等数学领域已经凸显出巨大的潜在价值，关于它的研究，已有许多独特而新颖的硕果。余弦定理通常应用于三角问题、函数问题、几何问题及数理天文学问题等方面的求解，国内和国外的研究各有其独到之处。现有对余弦定理的证明方法的探讨及推广应用，体现了其重要性和应用的广泛性，如：余弦定理证明在中学数学教学、数学分析、立体几何中的应用等等。但是针对余弦定理在应用中存在的局限性，是否能探究余弦定理的新的证明方法，并将其做相应的推广应用来解决相关问题，这样的研究值得深入探究.基于对已有的余弦定理若干要点的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，漫谈了余弦定理的思想史略，探究余弦定理在代数与几何中的新的证明，分别给出了不同形式的余弦定理新的证明方法，并对其做出了相应的推广应用，体现了其证明与应用的新颖性和优越性.2 文献综述

2.1国外研究现状

国外对余弦定理的研究主要是应用于解决数理天文学和其他学科如测量学与地理学方面的问题，而在教学上探讨新的证明则很少涉及 .天文学家阿尔.巴塔尼的《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果.在该书中阿尔.巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切[1]；发现球面三角形余弦定理coscosbcoscsinbsinccosA，继而为平面三角形的重要定理—— 正弦定理和余弦定理的发现奠定了基础，其证明的思想方法具有一定新颖性,值得借鉴. 2.2国内研究现状

国内有关余弦定理的理论从国外引进，在立体几何、双曲平面上以及现实生活中发挥了重要的作用，国内余弦定理很少谈及学科领域的相关证明问题，但相关的应用有一定发展。 如：王书在其编写的数学解题方法与技能中较详细地阐述了利用三角法进行复数的乘方计算，先把复数写成三角函数式后，角按公式[r(cossin)]nrn(cosnsinn)（n是正整数）计算比较容易；刘鸿坤、曾容、李大元等编著的中、美历届数学竞赛试题精编第三十二届美国中学数学竞赛试题（1981年）中的第24题的应用，将超越方程利用三角函数式转化为复数形式求解，说明了余弦定理在数理学科领域的重要性.

2.3国内外研究现状的评价

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上述文献中已给出了余弦定理相关的探讨和应用，说明了余弦定理的重要性和应用的广泛性，但其还有值得研究的空间和余地.在余弦定理证明与应用方面的研究国内相对于国外的研究较广泛,而且很多研究问题及结论有很好的借鉴价值,可以作为研究的理论基础；而国外,更多的研究主要在于将余弦定理应用于解决前沿学科（如数理天文学、历法、航海等）的问题.但在学科领域的不同方面能否得到余弦定理的不同的新的证明方法，从而提高余弦定理在理论研究中的有效性，这方面的研究较少.2.4提出问题

鉴于国内外的研究现状，一般的余弦定理的证明不仅只能解决前沿学科中的数理问题，而且该定理在证明运用中有一定的局限性，那么能否弱化余弦定理的局限性，拓宽余弦定理的证明方法的范围，或者将余弦定理新的证明进行推广对教学方法的启示，从而体现余弦定理新的证明的优越性和应用的广泛性，本文针对此类问题作详细探讨.3 余弦定理的数学思想史略

3.1三角学的确立和发展概况

“三角学”原意是三角形测量,也就是解三角形，这是三角学的基本问题之一.后来范围逐渐扩大, 发展为研究三角函数及其应用的一个数学科目.[2]三角学的发展和天文学、几何学有着不可分割的关系，国外对三角学的研究的起源是计算数理天文学方面的精确问题。而正、余弦定理是三角学建立的基础，三角学的确立是以正、余弦定理为标志，因为三角学是寻求边与角的关系来解决三角问题, 正、余弦定理正是把边与角建立起联系.三角学的发展经历从脱离天文学而独立，到以欧拉的《无穷小分析引论》为代表的过程，标志着三角学从研究三角形解法进一步转变为研究三角函数及其应用的一个分析学的分支。

希腊三角学起源于天文学的定量研究,由于球面几何方面的研究的需要，从而球面三角学便开始萌芽。随着生产不断进步,为了修订历法、航海和研究地理, 需要建立定量的天文学, 便产生了三角学的雏形.其代表人物有希帕克、托勒密和梅内劳斯, 在梅内劳斯时期达到顶峰.由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊希腊托勒玫的《大成》、梅内劳斯的《球面学》等古典著作。阿拉伯三角学是在印度天文名著的基础上发展的, 揭示了三角量的性质及其关系, 给出了平面三角形和球面三角形的全部解法, 并制造了一系列的三角函数表.三角学通过阿拉伯学家的工作逐渐从天文学中分化出来发展成为一门独立的学科。其主要的代表人物有阿尔.哈巴士、阿尔.巴塔尼、阿布尔.威发、阿尔.毕鲁尼和纳速.拉丁

欧洲三角学是在阿拉伯数学家纳速.拉丁《论四边形》著作的基础上研究的, 将平面三角、球面几何和球面三角有机地结合起来, 制定更精确的三角函数表,以至于我们现今仍在使用, 使三角学进一步系统化, 成为一个独立的数学分支, 从而确立了三角学.由此, 三角学在天文学及其他学科如测量学方面得到广泛的应用.其代表人物有雷基奥蒙坦、雷提卡斯、韦达.3.2 余弦定理的由来

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平面三角的余弦定理是在欧几里得的《原本》中间接地提出来,平面三角的余弦定理的确立和运用是随航海学和地理学的发展, 而平面三角学是在球面三角学的研究的基础上提出的。随着测量耕种土地的面积、测量长度与测量方位及历法和航海发展等实际的需要，希腊三角学（球面三角学）中包括平面三角的基础内容,平面三角的重要定理——正弦定理和余弦定理在此条件下产生.其数学思想方法和思路如下:

图 1 分析：如图1，△ABC三边CB、CA、AB长度为a、b、c，首先将斜三角形分割成两个直角三角形,再由勾股定理即可证得余弦定理.证明：在RtBCD和RtABD中，根据勾股定理

222  p2a2d2，pc(bd) 22222padc(bd) 

即c2a2b22bd (1) 在RtBCD中，

dacosC (2) 将（2）带入（1）中，c2a2b22abcosC.阿拉伯数学家阿尔.巴塔尼在进行球面三角研究过程中, 利用平面三角的知识来证明球面余弦定理, 他的方法是通过作出斜三角形某一个边上的高之后, 将问题转化为求直角三角形的解,他研究出余弦定理的结果应用到证明球面三角边的余弦定理.十五世纪前叶，阿拉伯数学家阿尔.卡西给出了平面三角的余弦定2222理的下述形式:a(bccosA)csinA..韦达在1593年给出了平面三角的余弦定理2ab12220的下述形式:abcsin(90C).期内尔在1627年给出了平面三角的余弦定理的2ab1.22下述形式:c(ab)1cosC[3]

4余弦定理及其新的证明

4.1关于余弦定理的注记

余弦定理的证明是运用“向量相乘”的方法进行的，其可化复杂为简便，其是向量式与数量式之间相互转化的常用方法。余弦定理的结论及其证明如下：

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在△ABC中，AB、BC、CA的长为c、a、b，第一边的平方等于另外两边的平方和减去另外两边的2倍乘第一边对角的余弦.如c2a2b22abcosC.

图

分析：因为ACCBAB,所以可从以下两方向入手，证明余弦定理并得其推论.

定理：(ACCB).(ACCB)AB.AB，由此可推出余弦定理，

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积得两倍。即

a2b2c22bccosA[4]222bac2accosB.c2a2b22abcosC证明：

(ACCB)(ACCB)AB.AB，且ABc、ACb、CBaAC.ACCB.CB2AC.CBAB.AB即ACCB2AC.CBcos(C)ABb2a22bacosCc2即c2a2b22abcosC.222

推论:(ACCB).ABAB.AB,可推出平面三角的射影定理，即

abcosCccosB[5] 射影定理bccosAacosC.

cacosBbcosA 证明：

(ACCB).ABAB.AB,ABc、CBa、ACb.AC.ABCB.ABAB.ABAC.ABcosACB.ABcosBAB即bccosAaccosBc2bcosAacosBc即cacosBbcosA.2

余弦定理可解决以下两类有关三角形的问题：一类是已知两边和它们的夹角，求解三角形；另一类是已知三边，求解三角形。已知三角形的两边和其中一

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边的对角，因为它不满足三角形全等的条件，故可能有两解、一解、甚至无解，用正弦定理求解心里不踏实；用余弦定理求解则只要看相应的一元二次方程是否有两正数解、一正数解或无正数解即可。

4.2余弦定理新的证明

余弦定理可以用于求值、求角或角的范围、用于化简、判断三角形的形状、用于证明三角不等式、用于研究函数的性质或用于研究函数的最值等等。

4.2.1从几何角度直观证明余弦定理

在平面三角形中, 对于余弦定理这样的基本结果, 我们总是能够从不同的角度来理解它, 下面我们从几何的角度给出该定理的几个直观证明. 方法一：应用勾股定理证明.

图

图

4

分析： 此证明方法直接由坐标法的证明演化而来. 证明一： 在RtACD中,AC=b、AB=c、BC=a(图 3).ADbsinC,CDbcosC,BCa,ADBC

BDBCCD,即BDabcosC

在RtABD中,根据勾股定理，

AB2AD2BD2,即c2(bsinC)2(abcosC)2 整理得c2a2b22abcosC. 证明二：在RtACD中，AC=b,ACDC(图 4).CDbcosACD,ADbcosACD,即CDbcos(C),ADbsin(C) CDbcosC,ADbsinC

在RtABD中，根据勾股定理，

BDBCCD,AB2AD2BD2 c2(bsinC)2(abcosC)2 整理得c2a2b22abcosC.

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方法二：应用Ptolemy定理证明.分析：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积, 这就是有名的Ptolemy定理，即AB'.CBAC.B'BB'C.AB.以下用Ptolemy定理来证明余弦定理.

图

证明：在△ABC的外接圆里,取AB'CB,且BCa，

ABCB'a

ABCCB'A,,则BCBAc

'又BB'b2acos(C),根据Ptolemy定理

2C)a2b22abcosC  cc.ca.ab.b2acos(即c2a2b22abcosC

方法三：应用圆幂定理证明.

图 6

图 7

分析：如图6和图7,以B为圆心,以a为半径画圆,则有AD.AEAF.AC..其中圆的半径为a，AB=c，AC=b. 证明一：在图6里, ABc,BDBCBEa,ADABBD,CF2acosC

AD=a+c,AE=a-c,AF=CF-CA=2acosC-b，根据AD.AEAF.AC.(ac)(ac)(2acosCb).b,即cab2abcosC.

222 证明二：在图7里, ABc,BDBCBEBFa,ADABBD,AFACCF

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BCF是等腰三角形，有CF2cos(C),AD=c+a,AE=c-a AFACCFb2acos(C)b2acosC.根据AD.AEAF.AC.

222(ca)(ca)(b2acosC).b,即cab2abcosC.4.2.2角余弦定理的证明与应用

角勾股定理与角余弦定理是勾股定理和余弦定理与之相对应的角形式，它们有着广泛的应用，现给出如下证明与应用举例：

定理1：若A、B、C构成一个三角形的三个内角，则

sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosAsin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosBsin2Csin2Asin2B2sinAsinBcosC （4）

证明：在ABC中,设A、B、C所对的边为a、b、c.222 余弦定理为abc2bccosA (5) 根据“正弦定理”，有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (6) (6)分别代入5），

即(2RsinA)2(2RsinB)2(2RsinC)22(2RsinB)(2RsinC)cosA

sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，证毕.（4）的其余二式同理可证. 引伸：当上述公式中的A、B、C为任意角时, 应用诱导公式化为锐角、和的三角函数,若满足条件:1800，定理仍成立。由定理2和引伸,我们又有如下的推论:  推论1：若，则sin2cos2sin22cossincos.2证明：已知，sin2cos2sin22cossincos

2只需证明sin2sin2()sin22sin()sincos即可

22 2()()

222、()、能构成三角形的三个角, 由定理2和引伸知推论1 成立.2推论2：若，则sin2cos2cos22coscoscos 证明：已知，sin2cos2cos22coscoscos

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只需证明sin2cos2()cos22cos()coscos



()()()

()、能构成三角形的三个角, 推论2成立. 、例 1，化简cos2Acos2(A)cos2(A)

3

3解：由推论2，得 原式=

22cos(A)cos(22A)2cos(A)cos(A)cos2cos(A)cos(A)coscos2A333333332123113sin2(coscos2A)cos2A(2cos2A1)cos2A3234422

定理2： 若A、B、C构成三角形的三内角，则：

sin2Acos2Bcos2C2cosBcosCcosA （7） sin2Bcos2Acos2C2cosAcosCcosB sin2Ccos2Acos2B2cosAcosBcosC.222 证明：设M=sinBsinC2sinBsinCcosAsinA 222 N=cosBcosC2cosBcosCcosAsinA

222cosAcos(BC)2sinA 易得：M+N=22 22cosA2sinA0

M-N= cos2Bcos2C2cosAcos(BC)2cos(BC)cos(BC)2cosAcos(BC)2cosAcos(BC)2cosAcos(BC)0 MN0222即sinAcosBcosC2cosBcosCcosA

定理2的其余二式同理可证明.

2 例 2，在锐角△ABC中,sinA3cosBcosC,求A角的范围.2 解：sinA3cosBcosC

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2 cosA13cosBcosC

根据定理2，sin2Acos2Bcos2C2cosBcosCcosA，得

12cosAcosBcosCcos2Acos2Bcos2Ccos2A2cosBcosC1cosBcosC 即12cosAcosBcosC1cosBcosC 2cosAcosBcosCcosBcosC

1cosBcosC0,cosA2，故A的范围是0A.

6222 例 3，在△ABC中，cosAcosbcosC1,判断△ABC的形状 222 解：根据定理2，有sinCcosAcosB2cosAcosBcosC

又cos2Acos2Bcos2C1

12cosAcosBcosC1 cosAcosBcosC0

cosA0或cosB0或cosC0A900或B900或C900

△ABC是直角三角形. 小结：上述所选的问题, 若用常规解法需要用到和角公式, 倍角公式和和差化积或积化和差公式以及复杂的恒等变形才能完成, 显然利用“ 角勾股定理和角余弦定理”对这类较难的间题迎刃而解, 真是柳暗花明又一村。

4.2.3证明余弦定理又一方法

利用向量统一证明正、余弦定理的方法如下：

图 8

分析：如图8, 在ABC中, a, b, c 分别是A、B、C所对的边, 以三角形外接圆的圆心O为原点,半径OA所在的直线为x轴建立直角坐标系,设外接圆的半径长为R,于是A点坐标为(R,0).由三角函数的定义得B点坐标是(RcosAO,BRsinAO)B,而AOB2C，故B点坐标为(Rcos2C,Rsin2C).同理C点坐标为(RcosAOC,RsinAOC)；而AOC2B,故C点坐标为(Rcos2B,Rsin2B).

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正弦定理的证明：

AB(Rcos2CR,Rsin2C),1AB1R又 (Rcos2CR)2(Rsin2C)222cos2C2RsinC.

ABc

c2RsinC.同理可得a2RsinA，b2RsinB abc2R sinAsinBsinC 余弦定理的证明：

AC(Rcos2BR,Rsin2B),AB.AC(Rcos2CR)(Rcos2BR)R2sin2Csin2BR2cos2Ccos2BR2cos2CR2cos2BR2R2sin2Csin2BR2R2cos2CR2cos2BR2cos(2C2B)R2R2cos2CR2cos2BR2cos2A.c2Rcos2CR(12sinC)R2RsinCR.2而 2222222

b2Rcos2BR2 同理可得22a2b2c2a2Rcos2ARAB.AC.2 2 22又由数量积的定义可知: AB.ACbccosA,b2c2a2bccosA.2即a2b2c22bccosA.同理b2a2c22accosB.222 cab2abcosC.

小结：此法不但体现了正弦定理的比值常数, 而且反映了正弦定理与余弦定理的相互依存性.正弦定理与余弦定理之间的联系真是千丝万缕! 4.2.4立体几何的余弦定理及其证明

设D-ABC是一个任意的四面体(图9),不失一般性,取四面体的底面△ABC 为空间坐标的XOY平面,取过顶点D的高OD为Z轴.取OA为X轴.这样一来,可以设四个

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顶点的坐标分别为A(a,0,0)、B(b1,b2,0)、C(c1,c2,c3)、D(0,0,d).

图 9 分析：用Sd表示与顶点D相对的侧面△ABC及其面积;同理,其它的三个侧面及其面积用Sa、Sb、Sc来表示.由向量的向量乘积的性质可知,向量AB.ACSd.将AB.AC称为Sd 的法向量,记作nd.因为AB(b1a,b2,0),AC(c1a,c2,0),所以有

ijndAB.ACb1ab2c1ac200b1c2c1b2a(b2c2)k0[(b1a)c2(c1a)b2]k0 （1）

由向量乘积定义可知: sd1nd.2 （2）

同理可计算Sa面的法向量na , 因为BD(b1,b2,d);DC(c1,c2d), 所以由BD.DC可得：

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inab1c1jb2c2kd(c2b2)di(b1c1)dj(b1c2b2c1)kd(c2b2)d(b1c2)dbcbc2112 （3）

s1a2na 因为DC(c1,c2,d);DA(a,0,d), 所以有sb的法向量为：

ijknbDC.DAc1c2dc2di(c1a)djac2ka0dc2d(c1a)d,ab2 s1b2nb 因为DA(a,0,d);DB(b1,b1,d)， 所以有sc的法向量为

ijkncDA.DBa0db2di(ab1)djab2kb1b2d (7) b2d(ab1)d,ab2s1c2nc.(8) 由向量的数量乘积的定义,

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（4） （5）

（6）

na.nbna.nbcosna.nbcosna.nbcosa|b4sasbcosa|b.

其中a|b表示侧面sa和sb形成的二面角.因此有：

SaSbcosa|b0.25na.nb,

（9）

SbSccosb|c0.25nb.nc, （10） ScSacosc|a0.25nc.na （11）

立体几何的余弦定理：对任意的四面体D-ABC,有2222sdsasbsc2sasbcosa|b2sbsccosb|c2scsacosc|a.[6]

（12）

证明：利用关系式(4)、(6)和(8) ~ (11),有

222sasbsc2sasbcosa|b2sbsccosb|c2scsacosc|a12122(nanbnc2na.nb2nb.nc2nc.na)(nanbnc)244(c2b2)dc2db2d012112(b1c1)d(c1a)d(ab1)d0ndsd.44caab4b1c2b2c1bcbc(bc)a22122122

当四面体的四个侧面中,有三个侧面( 如Sa,Sb,Sc)两两互相垂直时, 称这样的四面体为直角四面体.在直角四面体中,那个不与其它侧面垂直的侧面(Sd)称为斜侧面.由于直角四面体中有三个二面角为90, 所以cos = cos = cos = 0.

0 4.2.5 n维余弦定理的新证明

设V是n维向量空间,对V中任意k个有序向量

1,2,...,k,它们的外积记为12...k,称之为k重向量。所有k重向量在形式上作线性扩张所得到的空kk0C()()n间记为，是一个维向量空间。设()表示实数系, 记

kG()()Y()Y...n(),则G(V)是一个2n维的向量空间。G(V)连同G(V)01''上的外积“”运算称为V上的Gramann代数。

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定义1：两个k重向量a =12...k与b=bb12...bn的内积定义为: (a,b)(a1a2...ak,b1b2...bk)a1.b1a.b21...ak.b1...............a1.bk...a2.bk.........ak.bk (1) k重向量α=12...k的模定义为

aa1a2...ak(a1a2...ak,a1a2...ak)

定义2：由两个k重向量aa1...ak,bb1...bk所确定的两个k维超平面之间的夹角(ab)为:cos(ab)(a1...ak,b1...bk).(2)

a1...ak.b1...bk 引理1: 设pop1...pk是n维欧氏空间En中的k维单形, 记向量

2popiai(i1,2,..k.),, 则有:a1...akk!V(K) ( 3)

2其中V(k)1...pk的k维体积。 是单形pop 下面应用上述Gramann代数基本知识可简捷地证得n维余弦定理,即: 1...pk是E的中的n维单形。顶点p所对侧面Fi的面积为Vi, 定理1:设popin任意两侧面Fi 与ViVi222i0ilnFj所成内二面角为ij , 则有

ij0ijni,jlVVcosij(l0,1,...,n)

[7] （4）

证明：不失一般性,不妨设l=0记 p0piai(i1,2,...,n) n-1维单形p1p2...pn过顶点p1的诸棱所成的向量为: p1piaial(i2,3,...,n) 由引理1，有：

12(aa)(aa)...(aa)(aa)2131n11n1(n1)!2 (5) 12aa...aaa...a...aa...aaaaa...aa23n13n23n21n23n11(n1)!2V02记n-1重向量

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a2a3...an1,a1a3...an2,a2a1a4...an3,...,a2a3...an2a1annk,a2a3...an1a1n,

则：（6） (ij)ij(1ijn)

由引理1及定义2,有:

i1Vi(i2,3,...,n)(n1)! （7）

(ij)i.jcos(ij)1ViVjcosij2(n1)! （8）

由( 5)、( 7)、( 8)三式得:

n1Vi2(n1)!i12022()ij1ijnVi22i1n

1ijnVVijcosj故公式(4)对l=0成立,同理可证(4)式对l= 1,2,...,n皆成立。定理1证毕。

5总结

5.1 主要发现

本文从不同角度探究、验证了余弦定理的不同证明方法，列举了其运用在化简求值、证明三角不等式、研究函数的性质或用于研究函数的最值等方面的简洁美，弱化原有余弦定理证明方法的局限性，给出了其相应的推广及定理，拓宽了余弦定理的运用范围，使得在处理三角、函数等问题时更加方便实用，从而体现余弦定理无论在证明上还是在化简求值等方面都有其新颖性和优越性.

5.2 启示

通过探讨余弦定理及其推广，体现了一定的优越性和实用性。问题是若能将余弦定理引到其它数学分支中做应用，如：针对运筹学中的最优线性模型的相关问题、数学模型中规划模型的相关问题、复变函数中的相关问题等，将更好地体现余弦定理证明及其应用的广泛性，这是一类值得深讨的问题.

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5.3 局限性

对于余弦定理的相关定理及其推广与应用，针对余弦定理的论证性较强，在运用中存在一定的局限性，相应的弱化了余弦定理的效能，使局限性弱化后的余弦定理在处理三角、函数等有关问题时，更加方便实用.但没有得到更好的应用，若能进一步将弱化后的余弦定理引到其他数学分支中做应用，如：数学模型中规划模型的相关问题、复变函数中的相关问题等，将更好地体现其研究意义和广泛应用性，对于此问题，限于本人的知识水平有限，未作探讨.

5.4 努力方向

在已有知识水平及查阅相关资料的基础上，本文对余弦定理及其推广应用的问题作了一定的探讨，并通过实例，体现了余弦定理在 的问题方面的实用性和优越性.然而，余弦定理的推广应用有一定局限，今后若能针对不同学科知识和相关性质，对余弦定理的局限性进一步弱化，进行合理推广应用，将能更好的促进其应用的深入研究，这些问题，有待今后不断的学习和探讨. 参考文献

[1] 李文林．数学史教程[M]．北京：高等教育出版社，2002：119．

[2] 梁宗臣.世界数学史简编［M］．沈阳：辽宁人民教育出版社，1980：175．

[3] 陈克剩．“余弦定理和正弦定理”的数学思想史略[J]．湖北：数学通讯学报，2004：47． [4] 赵冬梅.正弦定理、余弦定理的证明方法探究[J]．西北成人教育学报，2002:137． [5] 陈谌本，廖志坚，施永红.欧式空间三角理论的进展（I）[J]．广州师院学报（自然科学版），1996:85．

[6] 李慧．立体几何的余弦定理和勾股定理[J]．辽宁：鞍山师范学院学报，2003：36． [7] 杨世国．n维正弦定理和余弦定理的新证明[J]．安徽：太原科技大学学报，2005：144—145．

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余弦定理证明

余弦定理及其证明

余弦定理证明过程

怎么证明余弦定理

余弦定理证明过程

用复数证明余弦定理

余弦定理的证明方法

余弦定理证明案例分析

高考考余弦定理证明

余弦定理的三种证明

《余弦定理新的证明探讨.doc》

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