离散数学函数复习题答案

第6章 函数

一、选择题（每题3分）

1、设A{a,b,c},B{1,2,3}，则下列关系中能构成A到B函数的是（ C ）

A、f1{a,1,a,2,a,3}B、f2{a,1,b,1,b,2}

C、f4{a,1,b,1,c,1}D、f1{a,1,a,2,b,2,c,3}

2、设R、Z、N分别为实数集、整数集，自然数集，则下列关系中能构成函数的是（ B ）

A、{x,y|(x,yN)(xy10)}B、{x,y|(x,yR)(yx2)}

C、{x,y|(x,yR)(y2x)}D、{x,y|(x,yZ)(xymod3)}

3、设Z为整数集，则二元关系f{a,baZbZb2a3} （ B ）

A、不能构成Z上的函数B、能构成Z上的函数

C、能构成Z上的单射D、能构成Z上的满射

4、设f为自然数集N上的函数，且f(x)

10若x为奇数若x为偶数 ，则f（ D ）

A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射

5、设f为整数集Z上的函数，且f(x)为x除以5的余数 ，则f （ D ）

A、为单射而非满B、为满射而非单射C、为双射D、既非单射又非满射

6、设R、Z分别为实数集、整数集，则下列函数为满射而非单射的是（ C ）

A、f:RR,

C、f:RZ,

A、f:RR,

C、f:RR,f(x)x6B、f:RR,f(x)[x]D、f:RR,2f(x)(x6) f(x)x6x 6

27、设R、R、Z分别为实数集、非负实数集、正整数集，下列函数为单射而非满射的是（ B ） f(x)x7x1 B、f:ZR,f(x)lnx； f(x)xD、f:RR,f(x)7x

18、设Z、N、E分别为整数集，自然数集，偶数集，则下列函数是双射的为（ A ）

A、f : ZE , f(x)2xB、f : ZE , f(x)8x

C、f: ZZ,f(x)8D、f : NNN,f(n)n,n1

9、设X3,Y4，则从X到Y可以生成不同的单射个数为（ B ）．

A、12B、24C、64D、8

110、设X3,Y2，则从X到Y可以生成不同的满射个数为（ B ）．

A、6B、8C、9D、6

411、设函数f:BC，g:AB都是单射，则fg:AC（ A ）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

12、设函数f:BC，g:AB都是满射，则fg:AC（ B ）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

13、设函数f:BC，g:AB都是双射，则fg:AC（ C ）

A、是单射B、是满射C、是双射D、既非单射又非满射

14、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是单射，则（ B ）

A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射

15、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是满射，则（ C ）

A、f是单射B、g是单射C、f是满射D、g是满射

16、设函数f:BC，g:AB，若fg:AC是双射，则（ D ）

A、f,g都是单射 B、f,g都是满射 C、f是单射, g是满射 D、f是满射, g是单射

二、填充题（每题4分）

1、设Xm,Yn，则从X到Y有2mn 种不同的关系，有nm 种不同的函数．

2、设Xm,Yn，且mn，则从X到Y有Anm 种不同的单射．

3、在一个有n个元素的集合上，可以有2不同的双射．

1，若x为奇数



4、设f为自然数集N上的函数，且f(x)x

若x为偶数2，

n

种不同的关系，有nn 种不同的函数，有n! 种

,

则f(0)0，f[{0}]{0} ，f[{1,2,3}]{1}，f[{0,2,4,6,}]N．

5、设f,g是自然数集N上的函数,xN,f(x)x1,

则fg(x)2x1，gf(x)2(x1)．

g(x)2x，

三、问答计算题（每题10分）

1、设A{2，3，4}，B{2，4，7，10,12}，从A到B的关系

R{a,baA,bB,且a整除b}，试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此

关系R及其逆关系R1是否为函数？为什么？

解：R{2,2,2,4,2,10,2,12,3,12,4,4,4,12}，则R的关系图为：

R的关系矩阵为MR



100

101

000

100

1

1 1

关系R不是A到B的函数，

因为元素2，4的象不唯一

逆关系R1也不是B到A的函数 因为元素7的象不存在．

2、设Z为整数集，函数f：ZZZ，且f(x,y)xy，问f是单射还是满射？ 为什么？并求f(x,x),f(x,x)．

解：xZ, 0,xZZ，总有f(0,x)x，则f是满射；

对于1,2,2,1ZZ,，有f(1,2)3f(2,1)，而1,22,1，则f非单射；

f(x,x)2x,f(x,x)0．

3、设A{1,2}，A上所有函数的集合记为AA, “”是函数的复合运算，试给出AA上运算“”的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元？ 解：因为A2，所以A上共有224个不同函数，令A

f

1(1)1,f(2)2;

A

{f1,f2,f3,f4}，其中：

f(1)1,f(2)1;f(1)2,f(2)2;f(1)2,f4(2)1

A

f1为A中的幺元，f1和f4有逆元．

4、设R为实数集，函数f：RRRR，且f(x,y)xy,xy， 问f是双射吗？为什么？并求其逆函数f



1(x,y)及ff(x,y)．

解： x1,y1,x2,y2RR，若f(x1,y1)f(x2,y2)， 有x1y1,x1y1x2y2,x2y2，则x1,y1x2,y2，故f是单射；

2

2且f(x,y)xy,xyu,v，则f是满射，故为双射； xyxy

, ； 22

ff(x,y)f(xy,xy)f(2x,2y)． f

1

u,vRR，令x

uv

，y

uv

，则x,yRR，

(x,y)

四、证明题（每题10分）

1、设函数f：AB，g：BC，g和f的复合函数gf：AC， 试证明：如果gf是双射，那么f是单射，g是满射． 证明：x1,x2A且f(x1)f(x2)B，

则gf(x1)g[f(x1)]g[f(x2)]gf(x2)，因gf是单射，有x1x2，故f是单射；

cC，因gf是满射，aA，使cgfa()g[fa()]

，而f(a)B，故g是满射．

注：如果gf是单射，那么f是单射；如果gf是满射，那么g是满射．

2、设f是A上的满射，且fff，证明：fIA．

证明：因f是满射，则对aA，存在a1A，使得f(a1)a， 则ff(a1)f[f(a1)]f(a)，由 fff，知a1a， 于是f(a)a，由a的任意性知fIA．

3、设函数f：AB，g：BA，证明：若f证明： 因f



11

g,fg

1

，则gfIA,fgIB．

g,则yB,g(y)f

1

(y)xA，有g(y)x,f(x)y，

于是，对yB，有fg(y)f[g(y)]f(x)yIB(y)，知fgIB；

1

又fg1，则对xA,f(x)g(x)y，有f(x)y,g(y)x，

于是，对xA，有gf(x)g[f(x)]g(y)xIA(x)，知gfIA．

4、设函数f：AB，g：BA，证明：若gfIA,fgIB，则f



1g,fg

1

．

证明：因恒等函数IA是双射，则gf是A上的双射，有f是单射，g是满射； 同样，恒等函数IB是双射，则gf是B上的双射，有f是满射，g是单射； 所以，f和g都是双射函数，其反函数都存在，故有f注：设函数f：AB，g：BA，证明： f

1

1

g,fg

1

1

．

g,fg

 gfIA,fgIB．

5、设函数f：AB，g：B(A)，对于bB，g(b){xxAf(x)b}，(A)为A的幂集，证明：如果f是A到B的满射，则g是B到(A)的单射．

证明：x1x2B,因f是满射，y1,y2A,使f(y1)x1x2f(y2),则y1y2； 又由g的定义知，y1g(x1),y2g(x2)，故有g(x1)g(x2)，则g是B到(A)的单射．

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