2020-03-02 05:28:03 来源:范文大全收藏下载本文
1.证明:函数f(x)(x2)(x3)(x4)在区间(2,4)内至少存在一点,使f()0。
证明:f(x)在[2,3]上连续,在(2,3)内可导,且f(2)f(3)0,由罗尔定理,至少存在一点1(2,3),使f(1)0,同理,至少存在一点2(3,4),使得f(2)0;f(x)在
[1,2]上连续,在(1,2)内可导,再一次运用罗尔定理,至少存在一点(1,2)(2,4),使得f()0。
2.设f为[a,b]上的二阶可导函数,f(a)f(b)0, 并存在一点c(a,b),使得f(c)0.证明至少存在一点(a,b),使得
证明:考虑区间[a,c],则f\'\'()0.(10分) f在[a,c]满足Lagrange中值定理的条件,则存在1(a,c),使得f\'(1)f(c)f(a)0.(3分) ca
f\'(2)f(b)f(c)0.(5分) bc
Lagrange中值定理的条件,则存在同理可证存在2(c,b), 使得再考虑区间[1,2], 由条件可知导函数f\'(x)在[1,2]上满足
(1,2), 使得f\'\'()f(2)f(1)0.得证.21
3.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b) 上可导,且
证明在[a,b]内有F(x)
证明在[a,b]内有F(x)f(x)0F(x)1xf(t)dt xaa0 0
F(x)x1[(xa)f(x)f(t)dt] (2分) 2a(xa)
=1[(xa)f(x)(xa)f()]([a,x][a,b])(2分) (xa)2
xf()((,x)[a,b]) xa=
F(x)0 (2分)
1x)arctanx 4.证明:当x0时,(1x)ln(
令
f(x)(1x)ln(1x)arctanx 0时,f(x)ln(1x)1
当x所以
0 2
1x
f(x)在 (0,) 上单调增 (3分) 又f(0)0(
f(x)0即当x0时,(1x)ln(1x)arctanx(3分)
5.证明:当x
1时,3
1。
x
答案:证:令f(x)3
1
,则 x
f(x)
\'
11
22(1),
xx
因为f(x)在1,连续,并且在1,内f\'(x)0,因此f(x)在
1,上单调增加,从而当x1时,f(x)f(1)0。这就得到
3
(x1)。 x
x2
,x0.(8分) 6.应用函数的单调性证明不等式:ln(1x)x2
证明: 令
x2
f(x)ln(1x)x, (2分)
x2
f(0)0,f\'(x)0, x0.所以
1x
则
f(x)在[0,+)上连续,在(0,+)上可导,且
f(x)在[0,+)严格单调递增,故f(x)f(0)0, x0.(7分).即
x2
ln(1x)x,x0.(8分)
7.证明:设a0
na1a2a
n0,证明函数f(x)=a0a1xanx在(0,1)内至23n1
少有一个零点。(6分) 证明:法一利用定积分:假设函数f(x)=a0
a1xanxn在(0,1)上没有零点
则因f(x)在[0,1]上连续,姑f(x)恒为正或负————(1分) 从而由定积分性质得:
f(x)dx[a0x
1a12a23a
xxnxn1]
023n1
=a0
a1a2a
n 23n1————(4分)
为正或为负,这与假设矛盾。
所以函数f(x)在(0,1)上至少有一个零点。#——(1分)法二利用罗尔定理
设
=a0
F(x)=
a0x
a12a23a
xxnxn123n1
,则
F\'(x)
f(x)
a1xanxn——(2分)
显然F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0故由罗尔定理知,在(0,1)内至少存在一点,使F\'()即
0———(3分)
f()0。因此,函数f(x)在(0,1)上至少有一个零点。#———(1分)
8.证明:已知(x)af
证明:(x)=af
(x)
,且
f(x)
1,证明(x)2(x) f(x)lna
(x)
lna2f(x)f(x)----------------------4分
=2(x)lnaf(x)
1----------------------3分 f(x)lna
=2(x)---------------------------3分
9.若f(x)a1sinx
aa2
sin2xnsinnx, 求证:存在c(0,),使得 2n
a1cosca2cos2cancosnc0
证:因为
f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且
f\'(x)a1cosxa2cos2xancosnx(2分), f(0)0f()(3分)所以,由Rolle
中值定理得到: f
‘
(x)在
(a,b)
内至少有一个零点(4分),即至少存在一点c
(0,)
, 使得
a1cocsa2co2scanconcs0
10.证明:|sinxsiny||xy|
证:由微分中值定理得到:sinxsin
y(xy)cos,在x与y之间(3分)
所以|sinxsiny||xy||cos|(5分)|xy|(6分)
x
x
11.设函数
f(x)在[a,b]上是连续函数, 且f(x)0,令F(x)f(t)dt
a
b
\'
1.f(t)
求证:(1)F(2)F(x)在(a,b)内有且仅有一个零点 (x)2;
证:由微积分学基本定理得到:
F\'(x)f(x)
f(x)
(1分)
2
(2分)。因为,
a
F(a)
b
a
11=0;F(b)f(t)dt0(3分)则由根的存在性定理得到: f(t)f(t)ab
b
F(x)在(a,b)内至少有一个零点(4分),由(1)知F(x)在[a,b]上是单调上升,所以F(x)在(a,b)
内有且仅有一个零点(5分)
12.设
f(x)在[0,1]上可导,且f(1)2xf(x)dx
。试证明在(0,1)内至少有一点,使
f()f()0。
证明:设
g(x)xf(x)
12
,则
g(x)
在[0,1]上可导,又由积分中值定理
g(1)=f(1)2xf(x)dx=f()g() (在(0,
12
)内,从而由罗尔定理在(0,)内有使
f()f()0证毕。
13.
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