证明三角形全等(四)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

一、倍长中线（线段）造全等

例

2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点， 试比较BE+CF与EF的大小.例

3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

A

二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC， 且AD=BD，求证：CD⊥AC

E

F

B

D

C

2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD求证;AB＝AC+BD

A

3、如图，已知在ABC内，BAC60，C400，P，Q分别 在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。

C

A

BDEC

B

应用：

1、（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及

求证：BQ+AQ=AB+BP

数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0



C

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC， 求证： AC180

C

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点， 求证;AB-AC＞PB-PC

A

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平

应用：

分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

B

B

C

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.A

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

B

G

C

F

D

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点， △ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE， 求证：AB+AC>AD+AE.A

图①

B

M

P N

图②

D C

D

BDE

C

图③

C

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 (1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。

3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且



当M、N分别在直线AB、

AC上移动时，BM、NC、MDN60,BDC120,BD=DC.探究：

MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

A

D

F

B

E

C

A

例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；

2、（西城09年一模）已知以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

图1图2图

3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时

QL

；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用

． x、L表示）

B

C

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