一个数学建模案例的教学设计

一个数学建模案例的教学设计

——二次函数在给定区间的最值

一、教学目标

1.知识与技能目标：领会函数的最值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最值，逐步培养学生的数学建模能力。

2.过程与方法目标：引导学生进行数学建模，提高应用知识去发现问题、分析问题和解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标：培养学生的数学应用意识，认识到数学在现实世界中有着广泛的应用，数学来源于生活，又服务于生活。

二、学情分析

首先从学生的知识结构来看，高中学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义,图像及性质等基本知识，学生的分析,理解能力较学习新课时有明显提高，学生学习数学的热情很高,思维敏捷,具有一定的自主探究和合作学习的能力，学生能力差异较大,两极分化明显.其次是从知识系统来看，数形结合和分类讨论思想是数学最基本的思想方法，渗透于高中教学的全过程，但却是学生不易接受的内容。在几何画板的帮助下，可以让学生经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、运算求解、演绎证明、反思与构建等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。

求函数的最大（小）值的常用方法很多，有配方法、判别式法、不等式法、换元法、数形结合法、单调性法等，建立函数模型的应用题，常常是求最值的问题。新课程引入了导数后，利用单调性求函数的最值成了非常常规的方法，是学习函数必须掌握的重要知识内容。二次函数 是重要的基本初等函数，引入参数后，其内容千姿百态，丰富多彩，是倡导学生自主探索、动手实践、合作交流的良好题材，有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”过程。

三、教学重难点

教学重点：利用单调性求函数的最大（小）值。 教学难点：对参数的讨论及整体把握。

四、教学课型：例题讲解课

课时：1课时

五、教学过程

（一）创设情境，引入课题

（1）求函数 的最大、最小值。

解： ，函数的对称轴为 ，所以函数在[2，4]上为增函数，从而当x = 4时，y取最大值16 – 8 = 8；当x = 2时，y取最小值4 – 4 = 0。

（2）求函数 的最大、最小值。

解： ，函数的对称轴为 ，所以当x = 1时，y取最小值 – 1；又当x = 0时，y = 0，当x = 2时，y = 0，所以y取最小值0。

一般结论：

（Ⅰ）配方，求对称轴 ；

（Ⅱ）判断 是否属于给定区间[m , n]： ① 若 ，则 ，再求 ，较大者为最大值；

② 若 ，则求 ，较大者为最大值，较小者为最小值。

对于a 0给出结论。

（二）例题讲练，深化理解

（1）求函数 的最大、最小值。 解决策略：

配方得： ，所以对称轴为x = 1；

（Ⅰ）最小值：①当 ，即 时，函数的最小值为 ；

② 当t > 1时，函数在区间[t , t + 2]上为增函数，所以当x = t时，函数的最小值为 ；

③ 当t

所以当 时，函数的最大值为 ； 当t > 0时，函数的最大值为 。 （2）求函数 的最值。 解决策略：

配方得： ，对称轴为 。

（Ⅰ）最大值：①当 ，即 时，函数的最大值为 ；

② 当b > 8时，函数在区间[2 , 4]上为增函数，所以当x = 4时，函数的最大值为 ；

③ 当b

（Ⅱ）最小值：函数的开口向下， ，令 ，

所以当 时，函数的最小值为 ； 当b > 6时，函数的最大值为 。

（三）掌握证法，适当延展

1、已知二次函数 在区间[– 1 , 4]上的最大值是12，求实数a 的值。 2（2006年福建高考数学试题）求函数 在区间[t , t + 1]上的最大值。

3、已知函数 ，

（1）当a = – 1时，求 的最值；

（2）求实数a的取值范围，使 在[– 5 , 5]上是单调函数。

4、已知函数 在区间[0，1]上有最大值– 5，求a的值。

（四）归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，共同完成小结。

(1) 利用图象判断函数单调性； (2) 利用定义判断函数单调性；

(3) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论。

（五）布置作业，拓展探究 课后探究：研究函数

yxaa0x的单调性。

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