班训

师：（用多媒体显示图片）今天我们来共同复习空间几何体的三视图，大家看老师准备的PPT上的这首诗，我们来一起读一下。?

生（齐读）：横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中。?

师：这是苏轼的一首《题西林壁》，结合图片大家看前两句是否给我们一些启示呢？?

生1：诗中蕴含的就是三视图中的正视图和侧视图的思想。?

师：非常好，今天我们就来认真研究一下三视图。?

设计意图：以上是课题引入，应用计算机辅助教学，通过形象直观的图片和文字，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的积极性，更重要的是引导他们用数学思维解决生活中的问题。?

知识复习，温故知新?

师：请同学们回忆一下三视图包含哪几部分？?

生2：三视图包含：正视图，侧视图，俯视图。?

师：好，那么以长方体为例，请说明它的正视图、侧视图、俯视图是如何得到的。?

生3：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫该几何体的俯视图。?

师：非常全面。那么如果给出几何体直观图，如何画出它的三视图呢？?

生4：先观察分析物体的基本形体组成及其形状大小，位置关系，再确定正视方向并画出正视图，最后根据“三等关系”（长对正，高平齐，宽相等）画出侧视图和俯视图，?

师：还有补充吗？?

生5：画完后还要对照（直观图和三视图）检查。同时注意虚、实线（分界线和可见轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出）。?

设计意图：必备的基础知识复习是习题课的基础，尤其是三种视图定义的复习，通过多媒体技术，由几何体通过投射线进而形成视图，把立体到平面的转换过程很自然地呈现在学生面前，化难为简，易于接受。?

问题引入，例题讲解?

设计意图：三视图的问题在近几年的高考中以选择题和填空题为主，大体分三个类型：①已知直观图，找三视图中一个（选择题），见类型一；②已知三视图，还原直观图（选择题），见类型二；③已知三视图，求直观图的体积和表面积（填空题），见类型三。?

类型一：已知直观图画三视图?

教师：例1，找出与下列几何体对应的三视图（如图1），并在对应的三视图下面的括号中填上数码。?

生6：分别是3，4，1，2。?

师：非常好。例2，添线补全下列三视图（如上页图2）。?

（本题学生口答很流利，解答时注意虚、实线，分界线和可见轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出。）?

设计意图：培养学生识图辨图能力。?

师：例3，画出下列几何体的三视图，大家把视图画在白纸上，画完的同学交给老师，老师把它投影出来共同欣赏。?

教师巡视把学生画的三视图用电子投影仪投出来（如图3），并共同分析、讲授。?

设计意图：重在考查学生的观察能力和表述能力。?

类型一设计意图：本例是由立体到平面的过程，题中4个图由易到难，让学生自己去画，教师不参与，完全放手给学生，引导学生按照三视图的画法一步步去画，在这个过程中，培养学生独立自主的精神，科学严谨的学习态度。?

类型二：已知三视图还原直观图?

师：例4，选出此简单几何体三视图对应的实物图（如图4）。?

（本题学生口答，很流利）?

师：完全正确。好，看例5，根据三视图想象物体原形（如图5），并画出物体的直观图。画好后我们来共同投影欣赏。?

本题学生动手画图，教师把学生画的结果投影出来（如图6），注意得到几何体的虚实线问题。?

类型二设计意图：此类型是由平面到立体的过程，笔者安排了2个例题，尤其是例5，让学生明确不仅要重视正视图，还要兼顾侧视图和俯视图，在这个环节中学生要不断去想、去画，去动手、去修正，只有这样才能逐步实现由眼中有图到心中有图，从而培养学生手眼心的协调能力。?

类型三：已知三视图，求直观图形体积表面积?

师：例6，一个正三棱柱（底面是正三角形，高等于侧棱长）的三视图如图7所示，求这个正三棱柱的表面积。?

（本题难度不大，学生计算后会很快得出结果，给学生一些时间让他们充分消化。）?

生7：表面积是 。?

师：非常好，下面大家看例6，用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图8所示，它的体积最大值，最小值。?

（让学生小组讨论后由各小组代表发表见解）?

第4小组代表：我们组认为最大值是14，最小值是9。我们发现本题的几何体可以用一个3×3×3的魔方转化，由正视图发现第2列第1组，第3列

1、2组必须没有，则去掉，剩下的部分满足正视图；再看俯视图，第2列第3组，第3列

2、3组必须没有，则去掉，此时剩下的正方体就是本题的最大值。至于最小值，我们发现取最大值时俯视图中第1列的3组正方体中只要保留一组3个正方体即可满足2个视图，另2组保留1个正方体。同理，俯视图第2列保留1组2个正方体另一组保留1个即可，俯视图第3列保持不变，则得到最小值9。?

第2小组代表：我们组也认为最大值是14，最小值是9。但我们的方法和第4小组恰恰相反，我们先由俯视图出发，布置出6个正方体，再观察正视图，发现第1列高度是3，第2列高度是2，第3列高度是1，则在俯视图的第1列3个位置都放2个正方体，第2列2个位置都放1个正方体，第3列不再放，则得到最大值14；构造最小值时，还是由俯视图出发，布置出6个正方体，再观察正视图，发现第1列高度是3，第2列高度是2，第3列高度是1，则在俯视图的第1列3个位置只选1个位置放2个正方体，其余2个位置不变，第2列2个位置选1个位置放1个正方体，另1个位置不动，第3列不再放，则最小值9就得到了。?

师：非常好，大家说得很精彩，说明你们的讨论很有效。我们再请一位同学简练说明一下此几何体两种最值的构成方式。?

生8：由2个视图可知左起第一列前中后三个位置都有正方体，每个位置最多3个，最少1个，但必须有一个位置放3个，第二列前后2个位置都有正方体，最多2个，最少1个，但必须有一个位置放2个，第三列有且只有1个（如图9）。?

师：这位同学说得非常好，他把本题最难的地方用精炼的语言表达得非常清楚、明白。大家掌声鼓励一下。?

类型三设计意图：课堂进行到此学生开始进入精力疲劳期，此时安排1个趣味性很强的问题，意在重新激发学生的学习兴趣，让学生通过自主阅读，小组讨论，得出结果，给出方案。对于提高学生周密思维能力，协调能力，同伴互助能力是有好处的。另外，笔者认为课堂是学生的，应该让他们动起来，当他们真正动起来的时候，通过小组合作，思想交流，进而得出自己的结论。不但能提高课堂效率，而且会让学生很有成就感。?

回顾反思 课堂小结?

师：这节课我们就共同研究到这里。下面请同学总结一下我们今天讲了哪些知识。?

生9：今天我们主要学习了三个类型有三视图问题，分别是：①已知立体图，找三视图中一个；②已知三视图，还原立体图；③已知三视图，求立体图的体积、表面积。?

师：非常好，希望我们大家在此基础上加强训练和总结，好让自己不断进步。?

本节课作为空间几何体的三视图复习课，合理利用了信息技术来辅助教学，最大的特点是形象、直观，学生更容易接受新知，通过这样的信息技术的辅助，使学生更快乐，课堂更精彩。

【教学目标】

一、知识目标

熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。

二、能力目标

先介绍由空间三视图求其表面积和体积，然后引导学生讨论和探讨问题。

三、德育目标

1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力。 2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维。

【教学重点】

观察、实践、猜想和归纳的探究过程。

【教学难点】

如何引导学生进行合理的探究。

【教学方法】

电教法、讲述法、分析推理法、讲练法

【教学用具】

多媒体、实物投影仪

【教学过程】

［投影］本节课的教学目标

1.熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。

【学习目标完成过程】

一、复习提问

1.如何求空间几何体的表面积和体积(例如：球、棱柱、棱台等)? 2.三视图与其几何体如何转化?

二、新课讲解

［设置问题］

例1：(如下图1)，这是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算出它的表面积和体积(尺寸如图1，单位：cm,π取314，结果精确到1cm３)。

［提出问题］

1.空间几何体的表面积和体积分别是什么? 2.怎样运用柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积的公式计算几何体的表面积和体积? ［学生思考、总结板书］

空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清楚，然后再代公式进行计算。 ［承转过渡］

求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那请同学们动脑筋想一想，假设没有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积?在例1有没有给出几何体的直观图? ［学生讨论、总结板书］

例1没有直接给出几何体的直观图，只是给出实物几何体的三视图，要求该几何体的表面积和体积，应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算。

［设问］

请问例1的三视图转化为实物几何体是由那几个部分构成?怎样求出该几何体的表面积和体积? ［讨论、板书］

该实物几何体是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台构成；应先分别求出一个球体、一个四棱柱和一个四棱台的表面积和体积。

［分析解答、板书］

由三视图画出奖杯的草图可知，球的直径为4cm，则球的半径r为2cm，所以球的表面积和体积分别为：s球=4πr２＝4π·2２=16π(cm２)，v球=43πr３=43π·2３=323π(cm)３。

而四棱柱(长方体)的长为8cm，宽为4cm，高为20cm，所以四棱柱(长方体)的表面积和体积分别为：

s四棱柱=(8×4+4×20+8×20)×2=272×2=544cm２， v四棱柱=８×４×２０=640cm３

［设问］

如何求出四棱台的表面积和体积? ［分析解答、板书］

（图2）从画出四棱台直观图(图2)来分析怎样求表面积和体积。由三视图所示，知道该四棱台的高为2cm，上底面为一个边长为12cm的正方形，下底面为边长为20cm的正方形。我们知道四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和。所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，因为它的四个侧面的面积相等，所以主要求出其中一个侧面面积，问题就解决了。下面我们先求出四棱台abcd面上的斜高，过点a做ae⊥cd,ao垂直底面于点o，连接oe，已知ao=2cm,则ae为四棱台abcd面上的斜高：

∴ae=20-122２＋２２=25cm,所以四棱台的表面积和体积分别为： s四棱台=s四棱台侧+s上底+s下底=4×12+202×25+12×12+20×20 =(1285+544)cm２，

v四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×２０×２ =23544+434cm３。

［设问］

球体、四棱柱和四棱台的表面积和体积分别已求出来，是不是将它们的表面积和体积分别相加就是该奖杯的表面积和体积? ［分析解答、板书］

不是，求体积可以相加，而表面积不可以相加。

我们知道表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小。所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积。应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积：

∴奖杯的表面积s=s球+s四棱柱＋s四棱台-２×s四棱柱底面 =16π+544+1285+544-2×(4×8) =16π+1024+1285 ≈1360cm２，

奖杯的体积v=v球+v四棱柱+v四棱台=323π+640+23434+544 ≈1052cm３。

［学生活动］

请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么?(让学生思考) ［总结归纳］

求组合几何体的表的时候容易出错。

［拓广引申］

(探究1)如果题目改为问：如果该奖杯是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台组合而成，则在制造该奖杯需要多少材料?那在计算时还需不需要再减去四棱柱的两个底面面积? ［讨论板书］

不需要。

［拓广引申］

(探究2)如果将奖杯底部四棱台的各侧棱延长，使它们相交于一点s(如图3所示)，得到的正四棱锥s-abcd的体积为多少? ［讨论、解答板书］

（图3）我们要计算正四棱锥s-abcd的体积，因为已经知道该四棱锥的底面面积，所以只要求出该棱锥的高问题就解决了。

设四棱锥s-efgh的高为h，则四棱锥s-abcd的高为h+2，由面积比等于对应边的平方比得：

hh+2２=144400,∴hh+2=1220, ∴h=3cm，则四棱锥s-abcd的高为5cm，所以四棱锥s-abcd的体积为：v四棱锥=13×400×5=20003cm３。

注：求四棱锥的高还可以利用相似三角形对应边的比求得。

立体图可以很直观地表现几何体的整体形状,可是却难以清楚表示其各个表面的形状.为了清晰展示几何体,人们采用了三视图.一个几何体的主视(正视)图、俯视图和左视图统称三视图.会判断几何体的三视图并能根据三视图复原立体图,是三视图运用的基本要求.

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