高中数学等差数列教案

等差数列

教学目的：

1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；

2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

教学过程：

引入：① 5，15，25，35，„和② 3000，2995，2990，2985，„

请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的

差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{an},若an－an1=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公

2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】 an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d

a4a3d即：a4a3da13d

„„

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a如数列①1，2，3，4，5，6； an1(n1)1n（1≤n≤6）

数列②10，8，6，4，2，„； an10(n1)(2)122n（n≥1） 数列③1234;,;,1,;an1(n1)1n（n≥1） 5555555

由上述关系还可得：ama1(m1)d

即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d

即的第二通项公式anam(nm)d∴ d=aman

mn

如：a5a4da32da23da14d

三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2„的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13„的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a18,d58253n=20，得a208(201)(3)49 ⑵由a15,d9(5)4得数列通项公式为：an54(n1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列an中，已知a510，a1231，求a1,d,a20,an

解法一：∵a510，a1231，则 a14d10a12∴ana1(n1)d3n5



d3a111d31

a20a119d55

解法二：∵a12a57d31107dd3

∴a20a128d55ana12(n12)d3n小结：第二通项公式anam(nm)d

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算usut

st

解：通过计算发现usut的值恒等于公差

st

证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，usu1(s1)d



utu1(t1)d⑴-⑵得usut(st)d

usut

d st

(1) (2)

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各解：设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12a1(121)d,即10=33+11d解得：d7因此，a233740,a340747,a454,a561,

a668,a775,a882,a989,a1096,a11103,

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常解：当n≥2时, （取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））

anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为

注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q (p、q是常数3通项公式

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足

3四、练习：

1.（1）求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项.解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.

∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*） ∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.（2）求等差数列10，8，6，„„的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.

∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.

（4）－20是不是等差数列0，－31，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：

由题意可知：a1=0,d=－31∴此数列的通项公式为：an=－7n+7,令－7n+7=－20,解得n=47

2227

因为－7n+7=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.2.在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12.

a11.解：（1）由题意得：a13d10,解之得：

d3a16d19（2）解法一：由题意可得：a12d9,解之得a111



d1a18d3

∴该数列的通项公式为：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0.Ⅳ.课时小结

五、小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.



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