高中数学等差数列教案模板

推荐第1篇：高中数学等差数列教案

等差数列

教学目的：

1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；

2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

教学过程：

引入：① 5，15，25，35，„和② 3000，2995，2990，2985，„

请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的

差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{an},若an－an1=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公

2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】 an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d

a4a3d即：a4a3da13d

„„

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a如数列①1，2，3，4，5，6； an1(n1)1n（1≤n≤6）

数列②10，8，6，4，2，„； an10(n1)(2)122n（n≥1） 数列③1234;,;,1,;an1(n1)1n（n≥1） 5555555

由上述关系还可得：ama1(m1)d

即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d

即的第二通项公式anam(nm)d∴ d=aman

mn

如：a5a4da32da23da14d

三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2„的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13„的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a18,d58253n=20，得a208(201)(3)49 ⑵由a15,d9(5)4得数列通项公式为：an54(n1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列an中，已知a510，a1231，求a1,d,a20,an

解法一：∵a510，a1231，则 a14d10a12∴ana1(n1)d3n5



d3a111d31

a20a119d55

解法二：∵a12a57d31107dd3

∴a20a128d55ana12(n12)d3n小结：第二通项公式anam(nm)d

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算usut

st

解：通过计算发现usut的值恒等于公差

st

证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，usu1(s1)d



utu1(t1)d⑴-⑵得usut(st)d

usut

d st

(1) (2)

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各解：设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12a1(121)d,即10=33+11d解得：d7因此，a233740,a340747,a454,a561,

a668,a775,a882,a989,a1096,a11103,

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常解：当n≥2时, （取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））

anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为

注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q (p、q是常数3通项公式

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足

3四、练习：

1.（1）求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项.解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.

∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*） ∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.（2）求等差数列10，8，6，„„的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.

∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.

（4）－20是不是等差数列0，－31，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：

由题意可知：a1=0,d=－31∴此数列的通项公式为：an=－7n+7,令－7n+7=－20,解得n=47

2227

因为－7n+7=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.2.在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d; （2）已知a3=9, a9=3,求a12.

a11.解：（1）由题意得：a13d10,解之得：

d3a16d19（2）解法一：由题意可得：a12d9,解之得a111



d1a18d3

∴该数列的通项公式为：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0.Ⅳ.课时小结

五、小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=p n+q (p、q是常数)的理解与应用.



推荐第2篇：高中数学等差数列教案(二)

课题：3.3 等差数列的前n项和

（二）

6161,又∵n∈N*∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.2

2二、例题讲解例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜

即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1, an(a1an)30=59,n=30的等差数列.∵Sn=2,∴S30(159)

30=2=900.

答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.

例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*} 由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.

它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.

由Sn(a1an)n=2,得S33(298)

33=2=1650.

答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列an,是等差数列，Sn是其前n项和，

求证：⑴S6，S12-S6，S18-S12成等差数列；

⑵设Sk,S2kSk,S3kS2k （kN）成等差数列

证明：设an,首项是a1，公差为d

则S6a1a2a3a4a5a6

∵S12S6a7a8a9a10a11a12

(a16d)(a26d)(a36d)(a46d)(a56d)(a66d)(a1a2a3a4a5a6)36dS636d∵S18S12a13a14a15a16a17a18

(a76d)(a86d)(a96d)(a106d)(a116d)(a126d)

(a7a8a9a10a11a12)36d(S12S6)36d∴

S6,S12S6,S18S12是以36d同理可得Sk,S2kSk,S3kS2k是以kd为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得S4=24, S5－S2=27

则设等差数列首项为a1,公差为d, 2

4(41)d4a2412则 

(5a5(51)d)(2a2(21)d)271122

a13解之得：∴an=3+2（n－1）=2n+1.d2

2．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差数列公差分别是d1, d2, 求xx2x7d1与1y1y2y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×15＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×(1＋5)＝18,

∴x1x2x77＝.y1y2y66

3．在等差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和SnSn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,

3n(n1)3512512

∴ Sn＝－24n＋＝[(n－)－],36226

∴ 当|n－51|最小时，Sn最小， 6

即当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.

解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3(n－1),

由an≤0得n≤9且a9＝0,

∴当n＝8或n＝9时，S8＝S9＝－108最小.

四、小结本节课学习了以下内容：an是等差数列，Sn是其前n项和，则Sk,S2kSk,S3kS2k （kN

五、课后作业：

1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋n(n1)×10， 2

求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,

当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.

2．已知非常数等差数列{an}的前n项和Sn满足

10Snm23n2(m1)nmn

解：由题设知

2n2(n∈N, m∈R), 求数列{a5n3}的前n项和.Sn＝lg(m32

即 Sn＝[(m1)n2mn(m1)n2mn)＝lgm＋nlg3＋lg2, 52(m1)mlg2]n2＋(lg3＋lg2)n＋lgm2,55

∵ {an}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 (m1)lg2≠0且lgm2＝0, ∴ m＝－1, 5

212 ∴ Sn＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,55

3 则 当n=1时，a1＝lg3lg2 5

21当n≥2时,an＝Sn－Sn1＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) 55

41＝nlg2lg3lg2 55∴

41nlg2lg3lg2 55

4 d=an1an=lg2 5

41a5n3=(5n3)lg2lg3lg2 55

11=4nlg2lg3lg2 5

31数列{a5n3}是以a8=lg3lg2为首项,5d=4lg2为公差的等差数列，∴数列5∴an＝

{a5n3}的前n项和为

n·(lg331211lg2)＋n(n－1)·(4lg2)＝2n2lg2(lg3lg2)n 255

3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.

解：设这个数列的首项为a1, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等12a166d35432, 解得d＝5.差数列，由已知得6a230d6a130d27

解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得

S偶S奇354S32,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.偶S27奇

4．两个等差数列，它们的前n项和之比为5n3, 2n1

解：a9a1a17b9b1b1717(a1a17)S8.17\'17S173(b1b17)2

5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110 解：在等差数列中，

S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，

10S10＋109·D＝S100＝10, 解得D＝－22 2

∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.

6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13

值范围；

(2) 指出S1, S2, S3, ……, S121211S12ad01122a111d02解：(1) ,1312a6d01S1313a1d02

∵ a3＝a1＋2d＝12, 代入得247d024, ∴ －

(2) S13＝13a70, ∴ a6＋a7>0, ∴a6>0,S6最大.

六、板书设计（略）

七、课后记：

推荐第3篇：高中数学说课稿等差数列

高中数学说课稿等差数列

各位老师，大家好！今天我说课的课题是等差数列。下面我将从几个方面进行阐述： 首先，我对本节教材进行简要分析。

一、教材分析

本节内容是等差数列（第一课时）的内容，属于数与代数领域的知识。本节是数列课程的新授课，为后面等比数列以及数列求和的知识点作基础。数列是高中数学重要内容之一，它有着广泛的实际应用。等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。在数学思想的方面，数列在处理数与数之间的关系中，更多地培养了学生运用函数与函数关系的思想。

二、教学目标

根据课程标准的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标

（1）在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想。 （2）在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；以形象的实际例子作为学生理解与练习的模板，使学生在不断实践中巩固学习到的知识；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（3）在情感上：通过对等差数列在实际问题中的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点

根据课程标准的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

三、教学方法分析：

对于高中学生，知识经验比较贫乏，虽然他们的智力发展已到了形式运演阶段，但并不具备教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以本堂课将从实际中的问题出发，以学生日常生活中较易接触的一些数学问题，籍此启发学生对于数列知识点的理解。本节课大多采用启发式、讨论式的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，并学会将数学知识运用到实际问题的解决中。

四、教学过程

通过复习上节课数列的定义来引入几个数列

1） 0,5,10,15,20,25.....2） 18,15.5,13,10.5,8,4.5 3) 48,53,58,63,68.....通过这3个数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础。由学生观察第一个数列与第三个数列的特点，并与第二个做对比，引出等差数列的概念。

(二) 新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

定义：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：

① “从第二项起”满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：

an+1-an=d (n≥1)

同时为了配合概念的理解，引导学生讲本不是等差数列的第二组数列修改成等差数列。 并由观察三组数列的不同特点，由此强调：公差可以是正数、负数，并再举出特例数列1,1,1,1,1,1,1......说明公差也可以是0。

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，运用求数列通项公式的办法------迭加法：整个过程通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,则据其定义可得：

a2 – a1 =d a3 – a2 =d a4 – a3 =d …… an – an-1=d 将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d （1）

当n=1时，（1）也成立，

所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立

因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n-1个等式相加。证出通项公式。

在这里通过运用迭加法这一数学思想，便于学生从概念理解的过程过渡到运用概念的过程。

接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+(n-1)×2 ，

即an=2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用。

（三）应用举例

现实生活中，以学生较为熟悉的iphone手机的数据作为例子。观察Iphone手机的发布时间，iphone第一代发布于2004年，第二代发布于2006年，第三代发布于2008年，第四代发布于2010年。现在第六代发布于今年2014年。首先，让学生观察从04年到10年每两代iphone发布的间隔时间，让学生自行寻找规律，并在此基础上让学生估测第五代iphone的发布时间，并验证第五代iphone发布于2012年。同时，再让学生预测在未来，下一部iphone发布的时间，是学生体验到将数学知识运用到实际中的方法与步骤。为了加深联系，再给出了每代iphone的价格：iphone1 4299；iphone2 4800；iphone3 5299；iphone4 5988；iphone5 6300。在给出的数据上，将价格随时间的变化以坐标轴的形式作图表示出来，让学生观察到虽然这些数据非等差，但是可以大致变为等差的直线图像，让学生体会到“拟合数据”的思想。在此基础上，让学生进行练习，预测14年如今iphone6的上市价格为6888元，并与学生通过数列进行推理的价格进行对比，让学生对自己在实践中解决问题的过程中找到一定的认同感。

四、归纳小结

提问学生，总结这节课的收获

1、等差数列的概念及数学表达式，并强调关键字：从第二项开始，它的每一项与前一项之差都等于同一常数。

2、等差数列的通项公式 an= a1+(n-1) d

3、将让学生在实践中了解，将数列知识点运用到实际中的方法。

4、在课末提出启发性问题，若是有人将每一部iphone都买入，那他一共花费了多少钱？借此引出了下一节，等差数列求和的知识点。让学生尝试自行去思考这样的问题。

5、布置作业

推荐第4篇：高中数学 等差数列教案 苏教版必修5

等差数列（2）

一、创设情景，揭示课题

1．复习等差数列的定义、通项公式 （1）等差数列定义

（2）等差数列的通项公式：ana1(n1)d (anam(nm)d或andnp(p是常数)) （3）公差d的求法：① dan-an1 ②d2．等差数列的性质：

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP

如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

ana1aam ③dn n1nmanam (mn)；

nm（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq （3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，d3．问题：（1）已知a1,a2,a3,an,an1,,a2n是公差为d的等差数列。 ①an,an1,,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ （2）已知等差数列an的首项为a1，公差为d。

①将数列an中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？

②由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）已知数列an是等差数列，当mnpq时，是否一定有amanapaq？ （4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

二、研探新知

1.等差中项的概念：

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A a，A，b成等差数列A2.一个有用的公式：

（1）已知数列{an}是等差数列

①2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？ ②2anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？ ③2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么结论？ 求证：①amanapaq ②apaq(pq)d 证明：①设首项为a1，则（2）在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN且mnpq

ab 2ab． 2amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d

∵ mnpq ∴amanapaq

- 1

五、归纳整理，整体认识

本节课学习了以下内容：

aba,A,b,成等差数列，等差中项的有关性质意义 22．在等差数列中， mnpqamanapaq（m，n，p，qN） 1．A3．等差数列性质的应用；掌握证明等差数列的方法。

六、承上启下，留下悬念

1.在等差数列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9项和S9.解：由等差中项公式：a3＋a7＝2a5， a4＋a6＝2a5由条件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90, ∴a2＋a8＝2a5＝180. S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.

七、板书设计（略）

八、课后记：

判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1．定义法：即证明 anan1d(常数)

例：已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 解：

n2a1S1321 当时

anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5

n1时 亦满足

∴ an6n5

首项a11

anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6 2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。

111bccaab 例：已知，，成AP，求证 ，，也成AP。

abcabc111211 证明： ∵，，成AP ∴ 化简得：2acb(ac)

abcbacbcabbcc2a2abb(ac)a2c22aca2c2

acacacac(ac)2(ac)2acbccaab= ∴，，也成AP 2b(ac)acbabc2 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

例：设数列an其前n项和Snn22n3，问这个数列成AP吗？

解：n1时 a1S12

n2时 anSnSn12n3,a1不满足an2n3

n12 ∴ an

∴ 数列an不成AP 但从第2项起成AP。

n22n3

推荐第5篇：高中数学必修5高中数学必修5《等差数列复习》教案

等差数列复习

知识归纳

1.等差数列这单元学习了哪些内容？

定等差数列通义项前n项和主要性质

2.等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n≥2，an －an－1＝d (常数) 3.等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？ an＝a1＋(n－1) d

an＝An＋B (d＝A∈R) 4.等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？

d＜0annannd＞05.用什么方法推导等差数列前n项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点? n(a1an)n(n1)d na122SnSn＝An2＋Bn (A∈R) 注意: d＝2A ! 6.你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{an}中，(m、n、p、q∈N+): ①an＝am＋(n－m)d ；

②若 m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ； ③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；

④ 每n项和Sn , S2n－Sn ,

S3n－S2n …组成的数列仍是等差数列.知识运用 1.下列说法: (1)若{an}为等差数列,则{an2}也为等差数列 (2)若{an} 为等差数列,则{an＋an＋1}也为等差数列 (3)若an＝1－3n,则{an}为等差数列.(4)若{an}的前n和Sn＝n2＋2n＋1, 则{an}为等差数列.

其中正确的有(

(2)(3)

) 2.等差数列{an}前三项分别为a－1,a＋2,

2a＋3, 则an＝ 3n－2 .3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39,

a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27 .4.等差数列{an}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0 .5.等差数列{an}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10,

a3＋a15＝ 20 .6.等差数列{an}, S15＝90, a8＝

6 .7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为

(

A )

A.a11

B.a10

C.a9

D. a8 8.等差数列{an},

Sn＝3n－2n2, 则( B ) A.na1＜Sn＜nan

B.nan＜Sn ＜na1

C.nan＜na1＜Sn

D.Sn＜nan＜na1 能力提高

1.等差数列{an}中, S10＝100, S100＝10, 求 S110.

2.等差数列{an}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0, S

1、S

2、… S12哪一个最大？

课后作业《习案》作业十九.

推荐第6篇：高中数学《等差数列》试讲答辩

高中数学《等差数列》试讲答辩

为帮助各位考生备战教师资格面试，中公教师网整理了各学科教师资格面试试讲答辩语音示范，以下是高中数学《等差数列》试讲答辩，希望对各位考生有所帮助! 【面试备课纸】

3.基本要求： （1）要有板书； （2）试讲十分钟左右； （3）条理清晰，重点突出；

（4）学生掌握等差数列的特点与性质。 【教学设计】

一、教学目标 【知识与技能】能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。

【过程与方法】在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。

【情感态度与价值观】通过对等差数列的研究，具备主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

二、教学重难点 【教学重点】

等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。 【教学难点】

等差数列通项公式的推导。

三、教学过程 环节一：导入新课 教师PPT展示几道题目：

1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，25 2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。

3.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。

教师提问学生这几组数有什么特点？学生回答从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。

环节二：探索新知 1.等差数列的概念

学生阅读教材，同桌讨论，类比等比数列总结出等差数列的概念

如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

问题1：等差数列的概念中，我们应该注意哪些细节呢？

环节三：课堂练习

抢答：下列数列是否为等差数列？ （1）1，2，4，6，8，10，12，…… （2）0，1，2，3，4，5，6，…… （3）3，3，3，3，3，3，3，…… （4）-8，-6，-4，-2，0，2，4，…… （5）3,0，-3，-6，-9，…… 环节四：小结作业

小结：1.等差数列的概念及数学表达式。

关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数。

作业：现实生活中还有哪些等差数列的实际应用呢？根据实际问题自己编写两道等差数列的题目并进行求解。

推荐第7篇：高中数学优秀说课稿 等差数列

高中数学优秀说课稿 等差数列

本节课讲述的是人教版高一数学（上）§3.2等差数列（第一课时）的内容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

2、教学目标

根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标

a 在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入―数学建模‖的思想方法并能运用。

b

在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

c

在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点

根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对―数学建模‖的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。

二、学情分析

对于高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、教法分析

针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大

胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学程序

本节课的教学过程由

（一）复习引入

（二）新课探究

（三）应用举例

（四）反馈练习

（五）归纳小结

（六）布置作业，六个教学环节构成。

(一)复习引入：

1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的______ 。（N﹡；解析式） 通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数列问题作准备。

2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ①

3.小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，15，25，35，45 ②

通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

(二) 新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：

① ―从第二项起‖满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调―同一个常数‖ ）； 在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：

an+1-an=d (n≥1)

同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

1.9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1 2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01 3.0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0 4.1，2，3，2，3，4，……；× 5.1，0，1，0，1，……×

其中第一个数列公差0,第三个数列公差=0 由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。 若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d, 则据其定义可得：

a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d ……

猜想: a40 = a1 +39d 进而归纳出等差数列的通项公式： an=a1+(n-1)d 此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法： a2 – a1 =d a3 – a2 =d a4 – a3 =d ……

an – an-1=d 将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d （1）

当n=1时，（1）也成立，

所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立 因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。 在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。 利用等差数列概念启发学生写出n-1个等式。

对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n-1个等式相加。证出通项公式。 在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到―注重方法，凸现思想‖ 的教学要求

接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+(n-1)×2 ，即an=2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用

同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。

（三）应用举例

这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a

1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。

例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an

例

2在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。 在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固

例3 是一个实际建模问题

建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5.8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？ 这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶―等高‖使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型------等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用课件展示实际楼梯图以化解难点）

设置此题的目的：1.加强同学们对应用题的综合分析能力，2.通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣；3.再者通过数学实例展示了―从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的―数学建模‖的数学思想方法

(四)反馈练习

1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。

2、书上例3）梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 目的：对学生加强建模思想训练。

3、若数列{an} 是等差数列,若 bn = k an ，（k为常数）试证明：数列{bn}是等差数列

此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

（五）归纳小结（由学生总结这节课的收获）

1.等差数列的概念及数学表达式．

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

2.等差数列的通项公式 an= a1+(n-1) d会知三求一

3．用―数学建模‖思想方法解决实际问题

(六)布置作业

必做题：课本P114习题3.2第2，6 题

选做题：已知等差数列{an}的首项a１= -24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求）

五、板书设计

在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，―从第二项起‖及―同一常数‖等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。 §3.2 等差数列

一、等差数列

1、定义

注：―从第二项起‖及

―同一常数‖用红色粉笔标注

二、等差数列的通项公式 例题与练习（省略）

推荐第8篇：高中数学等差数列性质总结

等差数列的性质总结

(一)等差数列的公式及性质

1.等差数列的定义： anan1d（d为常数）（n2）；

2．等差数列通项公式：

ana1(n1)ddna1d(nN*)，首项:a1，公差:d，末项:an

推广： anam(nm)d．从而d

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan

24．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．anam； nmab或2Aab 2

（2） 等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．

⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

5．等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列． 

6.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a

1、d、n、an及Sn，其中a

1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质：

（1）当公差d0时，

等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.22

2（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2，

（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

(5) 数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列 *

(二)．等差数列的前n项和公式： (1)Snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 222

2（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

- 1 -

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n12n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

（2）若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n ，„也成等差数列

（3）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，

S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan

2na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1 2

S偶S奇nan1nannan1an=nd

S奇nanan S偶nan1an

12、当项数为奇数2n1时，则

S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1 S奇S偶an+1S偶nS偶nan+1

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（4）an、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

（5）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn

(6)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性Anf(n)， nan(2n1)anA2n1f(2n1).nn2n1nN*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

an0即当a10，d0， 由可得Sn达到最大值时的n值． a0n1

（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

即 当a10，d0， 由

或求an中正负分界项 an0可得Sn达到最小值时的n值． an10

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

pq 2

- 2 -

推荐第9篇：高中数学 等差数列(32)教案 苏教版必修5

等差数列（3）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.掌握等差数列前n项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题；

2.探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力。

二、过程与方法

1.通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

三、情感、态度与价值观

1.通过公式的推导过程，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

2.培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。【教学重点与难点】：

重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应用 难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。 【学法与教学用具】：

1.学法：讲练结合

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

“小故事”：著名的数学家高斯（德国 1777-1855）十岁时计算1+2+3+„+100的故事：高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:“1+2+„100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+„+100=5050。教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；„50+51=101，所以101×50=5050”

故事结束：归纳为 1．这是求等差数列1，2，3，„，100前100项和 2．高斯的解法是：前100项和S100

n(a1an)100(1100)，即Sn

22

二、研探新知

1.等差数列的求和公式 （1）求和公式

（一）：Snn(a1an)（倒序相加法） 2思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示Sn：

证明：Sna1a2a3an1an ① Snanan1an2a2a1 ②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan) ∵a1ana2an1a3an2 ∴2Snn(a1an) 由此得：Snn(a1an) 2n(a1an) 2 由此得到等差数列{an}的前n项和的公式Sn注意：用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an （2）求和公式

（二）：按等差数列定义

当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

Sna1a2a3...an=a1(a1d)(a12d)...[a1(n1)d]

n(n1)d 2n(a1an) 这两个公式是可以相互转化的。把ana1(n1)d代入Sn中，就可以得

2n(n1)到Snna1d

2=na1[d2d...(n1)d]=na1[12...(n1)]d=na1注意：此公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,d （有时比较有用） 公式二又可化成式子：Snd2dn(a1)n，当d0，是一个常数项为零的二次式，22有关前n项和得最值问题可由此公式解决

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个

说明：（1）等差数列的前n和等于首末两项和的一半的n倍；

（2）在等差数列前n项和公式及通项公式中有a1，an，n，d，Sn五个量，已知其中三个可以求出另外两个。

引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道a1和n，不同点是第一个公式还需知道an，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1（教材P40例1）在等差数列an中，

（1）已知a13，a50101，，求S50；（2）已知a13，dn；

1，求S10。 21315例2（教材P40例2）（1）在等差数列an中，已知d，an,Sn，求a1及

222（2）在等差数列an中，d1，n37，Sn629，求a1及an 33a1215n(1)1解：（1）由题意，得2 由（2）得：a1n2 代入（1）2213(2)a1(n1)22得n27n300，∴n10,n3（舍去），∴a13

137(371)3629(1)a11137a1（2）由题意，得 解得：  2a23n1(2)ana1(371)3例3（教材P40例3）在等差数列an中，已知第项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。

S10310解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，得

SS910201010910ad310a1412即： 解得：

d6201920ad31091012∴ a214206124，∴a21a22a301012410961510 2- 345 -

推荐第10篇：高中数学 等差数列(4)教案 苏教版必修5

等差数列（4）

一、创设情景，揭示课题，研探新知

1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。 2.等差数列的性质：

已知数列{an}是等差数列，则

（1）对任意m，nN，anam(nm)d，danam(mn)；

nm（2）若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq

n(a1an)n(n1)或Snna1d 22dd注意：①等差数列前n项和公式又可化成式子：Snn2(a1)n，当d0，此

22dd式可看作二次项系数为，一次项系数为a1，常数项为零的二次式；②当d0时，Sn22dd有最小值；当d0时，Sn有最大值；③图象：抛物线yx2(a1)x上的一群独立

22（3）等差数列前n项和公式：Sn点。

（4）利用an与Sn的关系：an(n1)S1

SnSn1(n2)

二、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 在等差数列an中，S10100，S10010，求S110？

109109a10ad10011012解法一：设该等差数列首项a1，公差d，则，所100a10099d10d1125以，S110110a1110109d110． 2解法二：在等差数列中，S10, S20－S10, S30－S20, ……, S100－S90, S110－S100, 成等差数列，

∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10S10＋

109·D＝S100＝10, 解得D＝－222 ∴ S110－S100＝S10＋10×D＝－120, ∴ S110＝－110.拓展练习1：在等差数列中，Spq，Sqp，则Spq(pq)．

拓展练习2：已知数列an,是等差数列，若Smn，求Smn Snm，Sn是其前n项和，拓展练习3：已知等差数列前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项的和。（介绍依次k项成等差） 例2 已知等差数列{an}的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。

解：设项数为2k1，奇数项和记为S奇，偶数项和记为S偶，由题意，

(a1a2k1)(k1)44 ① 2(aa2k) S偶a2a4a2k2k33 ②

2k144①②得，，解得k3，∴ 项数为7项，又S奇11ak144 ，∴ k33S奇a1a3a2k1ak111，即中间项为11．

说明：设数列{an}是等差数列，且公差为d，

（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S奇S偶nd；②

S奇an； S偶an1S奇n． S偶n1（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶ana中；②例3 在等差数列中，a1023，a2522，（1）该数列第几项开始为负？（2）前多少项和最大？

（3）求an前n项和？

解：设等差数列an中，公差为d，由题意得：a25a1015d45a501 d323a1(101)(3)53， 所以从第18项开始3为（1）设第n项开始为负，an503(n1)533n0，n为负。 （2）（法

一

）

设

前

n项和

Sn，则n(n1)31033103231032(3)n2n(n)()， 2222626

所以，当n17时，前17项和最大。 Sn50n（法二）an0533n05053，则，n，所以n17．

3503n03an10

（3）an533n\'533n,0n17，

3n53,n17∴Sna1a2a3ana1a2a17(a18a19an)， 当

3103， S\'nn2n2231033103S\'n(n2n)2S17n2n884，

2222n17时，当

n17时，32103nn(n17)22\'所以，Sn．

31033103(n2n)2S17n2n884(n17)2222说明：（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，可用二次函数最值的求法（nN）；

an0an0②若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定或．

a0a0n1n1

例4 已知数列an的前n项和为（1）Sn2nn；（2）Snnn1，求数列an22的通项公式。

例5（教材P42例5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到0.1m）? 解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和。

由内向外各圈的半径分别为 20.05,20.15,,59.9

5因此各圈的周长分别为 40.1,40.3,,119.9

∵各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则 59.9520.05(n1)0.1， ∴n400

∴各圈的周长组成一个首项为40.1，公差为0.2，项数为40的等差数列，

Sn40040.1400(4001)0.232000(mm)

232000(mm)100(m)

答：满盘时卫生纸的总长度约是100米．说明：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离。

- 34 -

第11篇：高中数学《等差数列》教案2 苏教版必修5

第 4 课时：§2.2等差数列（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；

2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；

4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系；能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

二、过程与方法

通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。

三、情感、态度与价值观

通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

【教学重点与难点】：

重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。 难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。 【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题 1．复习等差数列的定义、通项公式 ； （1）等差数列定义

（2）等差数列的通项公式：ana1(n1)d(anam(nm)d或andnp(p是常数))

ana1n

1anamnm

（3）公差d的求法：① dan-an1②d2．等差数列的性质：

③d

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

（3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，d

anamnm

(mn)；

（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq

用心爱心专心

3．问题：（1）已知a1,a2,a3,an,an1,,a2n是公差为d的等差数列。 ①an,an1,,a2,a1也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ （2）已知等差数列an的首项为a1，公差为d。

①将数列an中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？ ②由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）已知数列an是等差数列，当mnpq时，是否一定有amanapaq？

（4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

二、研探新知

1.等差中项的概念：

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中Aa，A，b成等差数列A

2.一个有用的公式：

（1）已知数列{an}是等差数列

①2a5a3a7是否成立？2a5a1a9呢？为什么？ ②2anan1an1(n1)是否成立？据此你能得到什么结论？ ③2anankank(nk0)是否成立？？你又能得到什么结论？ （2）在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN且mnpq 求证：①amanapaq②apaq(pq)d

amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d

ab

2ab2

．

证明：①设首项为a1，则

∵ mnpq∴amanapaq

② ∵apa1(p1)daq(pq)da1(q1)d(pq)da1(p1)d ∴ apaq(pq)d

探究：等差数列与一次函数的关系

注意：（1）由此可以证明一个结论：设{an}成AP，则与首末两项距离相等的两项和相等，即：

a1ana2an1a3an2，

同样：若mn2p 则 aman2ap

（2）表示等差数列的各个点在一条直线上，这条直线的斜率是公差d

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P37例3）已知等差数列an的通项公式是an2n1，求首项 a1和公差d。

解：a12111,a22213，∴da2a12或dan1an2(n1)1(2n

1)2，等差数列an的通项公式是an2n1，是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各

点(n,an)均在直线y2x1上（如图）

例2 ①在等差数列an中，a2a7a8a136，求a6a9．②在等差数列an中，a1a4a8a12a152，求a3a13的值。 解：①由条件：a6a9a7a8a2a133；

②由条件：∵2a8a1a15a4a12∴a82∴a3a132a84． 例3若 a1a2a530a6a7a1080 求a11a12a15解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2……∴ 2a6a1a11,2a7a2a12……从而

(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)

∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5)=2×8030=130一般的：若{an}成等差数列那么Sn、S2nSn、S3nS2n、…也成等差数列

例4 如图，三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm。（1）求AB,BC,CD的长；（2）以AB,BC,CD的长为等差

数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

解：（1）设公差为d(d0)，BCx则ABxd,CDxd

A

B

C

D

(xd)x(xd)21x7x7

由题意得：解得： 或（舍去） 22

2d4d4(xd)x(xd)179

∴AB3(cm),BC7(cm),CD11(cm)

（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列an，

∴a103(101)439，∴a103921521(cm)2所求正方形的面积是1521(cm)2。

四、巩固深化，反馈矫正1.教材P37练习

2.在等差数列an中, 若 a56a815 求a1

4解：a8a5(85)d即 1563d ∴ d3从而 a14a5(145)d69333 变题：在等差数列an中，（1）若a5a，a10b 求a15；（2）若a3a8m 求 a5a6 解：（1）2a10a5a15 即2baa15∴ a152ba；（2）a5a6=a3a8m

五、归纳整理，整体认识本节课学习了以下内容： 1．A

ab

2a,A,b,成等差数列，等差中项的有关性质意义

2．在等差数列中， mnpqamanapaq（m，n，p，qN） 3．等差数列性质的应用；掌握证明等差数列的方法。

六、承上启下，留下悬念

1.在等差数列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9项和S9.解：由等差中项公式：a3＋a7＝2a5， a4＋a6＝2a5由条件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90,∴a2＋a8＝2a5＝180.

S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.

七、板书设计（略）

八、课后记：

判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明 anan1d(常数)

例：已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：a1S1321当n2时anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5

n1时 亦满足∴ an6n5首项a11anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6

2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。例：已知1caba，1b，1c成AP，求证

ba，

cb，

ac

也成AP。

证明： ∵

111成AP∴

21a

，

b

，

c

b

1a

c

化简得：2acb(ac)

bc2

a2

c

aca2c

a



abaab

b(ac)c



bccac



ac



2ac

=

(ac)c)



acbcabac



(ab(ac)

2b

∴a

，

cab

，c

也成AP

3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

例：设数列a2

n其前n项和Snn2n3，问这个数列成AP吗？

解：n1时 a1S12n2时 anSnSn12n3,a1不满足an2n3∴ a21n

a2n3

nn2

∴ 数列n不成AP但从第2项起成AP。

第12篇：高中数学必修5高中数学必修5《2.2等差数列(二)》教案

2.2等差数列

（二）

一、教学目标

1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；

2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．

二、教学重点、难点

重点：等差数列的通项公式、性质及应用．

难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．

三、教学过程

（一）、复习

1．等差数列的定义． 2．等差数列的通项公式：

ana1(n1)d

(anam(nm)d或 an=pn+q (p、q是常数)) 3．有几种方法可以计算公差d: ① d=an－an

1② d=

ana1aam

③ d=n

nmn14. {an}是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =(

)

A.667

B.668

C.669

D.670 5.在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是(

)

A.18

B.9

C.12

D.15

二、新课

1．性质：在等差数列{an}中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq

特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap 例1.在等差数列{an}中

(1) 若a5=a, a10=b, 求a15;

(2) 若a3+a8=m, 求a5+a6;

(3) 若a5=6, a8=15, 求a14;

(4) 若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.解: (1) 2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a; (2) ∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m (3) a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33 (4)66111, 77122,2a6a1a11, 2a7a2a12从而(a11a12a15)(a1a2a5)2(a6a7a10) a11a12a152(a6a7a10) (a1a2a5)28030130.

2．判断数列是否为等差数列的常用方法： （1） 定义法: 证明an-an-1=d (常数) 例2.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.解: 当n=1时,a1=S1=3﹣2=1;

当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;

∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5

首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)

∴数列{an}成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.例3.已知数列{an}的通项公式为anpnq,其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看anan1（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an1（n＞1），

求差得 anan1(pnq)[p{n1)q]pnq(pnpq]p

它是一个与n无关的数.所以{an}是等差数列。

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？

这个数列的首项a1pq,公差dp。由此我们可以知道对于通项公式是形如anpnq的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，„„时，对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列anpnq中的p的几何意义去探究。

三、课堂小结：

1.等差数列的性质；

2.判断数列是否为等差数列常用的方法．

四、课外作业

1.阅读教材第110～114页；

2.教材第39页练习第

4、5题． 作业：《习案》作业十二

第13篇：等差数列教案

等差数列教案

教学目的

1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.

（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；

（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；

（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.

3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.关于等差数列的教学建议

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.（3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．

②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．

③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．

④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 其图像的形状相对应．

可看作项数 的一次型（

）函数，这与

⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式

是数列第 项

与项数 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点．

⑥等差数列前 项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．

⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．

等差数列通项公式的教学设计示例 教学目标

1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.教学重点，难点

教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用． 教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

研探式.教学过程 一.复习提问

前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？

等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计

通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知

求 ，求 ）.找学生试举一例如：“已知等差数列

中，首项

，公差

.”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用

（1）已知等差数列 的第______项.

中，首项 ，公差

，则－397是该数列

（2）已知等差数列 中，首项 ， 则公差

（3）已知等差数列 中，公差 ， 则首项

这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ，

在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.2.基本量方法的使用

（1）已知等差数列 中， ，求

的值.

（2）已知等差数列 中， ， 求 .

若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 的，由 和

和

的二元方程组，所以这些等差数列是确定写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个

和

的二元方程组，以求得

和

，

和

称作基条件（等式）化为关于 本量.

教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 这是一个 和

和

的二元方程，的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

如：已知等差数列 中， …

由条件可得 即 ，可知

，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题

（3）已知等差数列

中， 求 ；

； ；；….

类似的还有

（4）已知等差数列 中， 求

的值.

以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出 3.研究等差数列的单调性

，考察 随项数 的变化规律.着重考虑

的符号，由学生叙的情况.此时 是 的一次函数，其单调性取决于

述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号

这是为研究等差数列前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如

（1）已知数列 始小于0？

的通项公式为

，问数列从第几项开

（2）等差数列 三.小结

从第________项起以后每项均为负数.

1.用方程思想认识等差数列通项公式；

2.用函数思想解决等差数列问题.

第14篇：等差数列教案

等差数列教案

一、教材分析

从教材的编写顺序上来看，等差数列是必修五第二章的第二节的内容，一方面它是数列中最基础的一种类型、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习等比数列及数列的极限等内容作准备.

就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，对其在性质的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．

依据课标 “等差数列”这部分内容授课时间3课时，本节课为第2课时，重在研究等差数列的性质及简单应用，教学中注重性质的形成、推导过程并让学生进一步熟悉等差数列的通项公式。

二． 教学目标

依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：

知识与技能目标：理解等差数列的定义基础上初步掌握等差数列几个特征性质并能运用性质解决一些简单问题．

过程与方法目标：通过性质的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．

情感与态度目标：通过其性质的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．

三．教学的重点和难点

重点：等差数列的通项公式的性质推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过发现性质培养学生的运用数学语言交流表达的能力.

突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→性质发现→简单应用；

（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→转化、方程思想；

（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.

难点：等差数列的性质的探究，从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.它需要对等差数列的概念充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的。

突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，给予恰大的引导，让学生能在原有的认知水平和所需的知识特点入手。 四．教学方法

利用多媒体辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式

五．教学过程.

1.复习引入

回顾等差数列的定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即anan1d （n2.nN)

（让学生自己列举等差数列的例子，教师给出一特殊等差数列）2.根据给出的数列引导学生发现等差数列的性质：

①有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于其首末两项之和

a1ana2an1a3an2

②已知aman 为等差数列的任意两项，公差为d，则d=（公差的计算：d =anan1）

③等差数列中，若mnpq，则amanapaq（让学生推

广：mn 的情况）

④若anbn是等差数列，则ankkananbn也是等差数列，

公差分别为d、kd、d1+d2

3.知识巩固

例1.等差数列an中，已知a2a79,a34，则a6解析一：由等差数列通项公式得：a2a7=a1da16d9

a3a12d4

解得：

aman

mn

101则a6a15d5 a d

3

3解析二：由性质③得a2a7a3a6易得a65

变式：等差数列an中，a58,a22.则a8例2.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有（）

A、a1a1010 B、a2a1010C、a3a990D、a5151 解析：根据性质1得：a1a101a2a100a49a502a51，由于

a1a2a3a1010，所以a510，又因为，a3a992a510，故正确

答案为C。

课堂练习：等差数列an中， a第六项是多少？ 4.小结

引导学生回顾等差数列定义，从通项公式中发现性质。 5.作业布置：

（1）.书面作业：教材P681.3

（2）请同学们课后思考：除了上述特征性质外，还能不能

发现其他的性质？

六．教学设计说明

1．复习引入.

本着遵循掌握知识，熟能生巧的方针，温故而知新。让学生自己例举等差数列，进一步让学生真正知道什么是等差数列，然后采用图片形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.

2．性质发现

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3．知识巩固

通过例题说明灵活的应用这些性质和变形公式，可以避繁就简，有思路的功效。对数列性质的灵活应用反应学生的知识结构特征掌握程度，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.

2,a5.则数列a4的

n

4．作业布置弹性化．

通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．

第15篇：等差数列教案

等差数列教案

目的：1.要求学生掌握等差数列的概念

2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

重点：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可（这里n≥1,且n∈N）

2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d (n≥1,且n∈N).3．等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且akaman2**

难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。

过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，„„

3，0，3，6，„„

12210310410，，，，„„

an123(n1) 12，9，6，3，„„

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”

二、得出等差数列的定义： （见P115）

注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。 ．．．．．．．．．．1．名称：AP 首项 (a1) 公差 (d) 2．若d0 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式：

a2a1d

a3a2d(a1d)da12da4a3d(a12d)da13d

由此归纳为 ana1(n1)d 当n1时 a1a1 （成立）

注意: 1 等差数列的通项公式是关于n的一次函数

2 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成AP 证明：若anAnBA(n1)AB(AB)(n1)A

它是以AB为首项，A为公差的AP。

3 公式中若 d0 则数列递增，d0 则数列递减 4 图象： 一条直线上的一群孤立点

三、例题： 注意在ana1(n1)d中n，an，a1，d四数中已知三个可以

求出另一个。

例1 （P115例一）

例2 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数 例3 （P116例三） 此题可以看成应用题

四、关于等差中项： 如果a,A,b成AP 则Aab2

证明：设公差为d，则Aad ba2d

∴ab2aa2d2adA

例4 《教学与测试》P77 例一：在1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成AP，求此数列。

解一：∵1,a,b,c,7成AP ∴b是-1与7 的等差中项

∴ b ∴a1721323 a又是-1与3的等差中项 1

3725 c又是1与7的等差中项 ∴c 解二：设a11 a57 ∴71(51)d d2

∴所求的数列为-1，1，3，5，7

五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明 anan1d(常数)

2例

5、已知数列an的前n项和Sn3n2n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：a1S132

1当n2时

anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5

n1时 亦满足

∴ an6n5

首项a11

anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6

2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。

例6

已知

1a1a，，成AP，求证

bc11bca，cab，

abc也成AP。

证明： ∵

∴

2b，

1a1b，

1c1c成AP

化简得：2acb(ac)

bcaabcbccaabac22b(ac)acac222acacac22

=

(ac)ac2(ac)22b(ac)2acb

∴bca，

cab，

abc也成AP

3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

2 例7 设数列an其前n项和Snn2n3，问这个数列成AP吗？

解： n1时 a1S1

2n2时 anSnSn12n

3∵a1不满足an2n3

∴ an22n3

n1n2

∴ 数列an不成AP

但从第2项起成AP。

五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法

六、作业： P118习题3．2 1-9

七、练习：

1．已知等差数列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d

（2）a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.

2.在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。

注：不能只计算a2-a

1、a4-a

3、等几项等于常数就下结论为等差数列。、a3-a

2、

3．在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。

4．在两个等差数列2，5，8，„与2，7，12，„中，求1到200内相同项的个数。

分析：本题可采用两种方法来解。

（1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据

相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。

（2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。 5．在数列{an}中, a1=1,an=差数列，并求Sn。

分析：只要证明

1Sn1Sn12Sn22Sn1,(n≥2),其中Sn=a1+a2+„+an.证明数列是等

(n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化

为Sn-Sn-1后再变形，便可达到目的。

6．已知数列{an}中，an-an-1=2(n≥2), 且a1=1，则这个数列的第10项为（

）

A

B 19

C 20

D21

7．已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（

）

A

2n-5

B 2n+1

C 2n-3

D 2n-1

8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列；命题乙：ma+p、mb+p、mc+p 成等差数列，那么甲是乙的（

）

A 充分而不必要条件

B 必要而不充分条件

C 充要条件

D既不必要也不充分条件

第16篇：等差数列教案

等差数列教案(精选多篇)

等差数列

教学内容与教学目标

1．使学生理解等差数列的定义，掌握通项公式及其简单应用，初步领会―迭加‖的方法；

2．通过通项公式的探求，引导学生学习归纳、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；

3．通过证明的教学过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的精神．

设计思想

1．根据本节内容，我们选用―探究发现式‖教学法，并按如下顺序逐步展

开：

给等差数列下定义；

等差数列通项公式的探求；

通项公式的初步应用．

2．在讲等差数列概念之前，学生对数列的定义及通项公式已有所理解．在此基础上，通过引导学生对几个具体数列共性的观察研究，让学生自己给等差数列下定义────把命名权交给学生，旨在充分发挥学生的主体作用．

3．―观察───归纳───猜想───证明‖是获得发现的重要途径．因此，在探求等差数列的通项公式时，我们选择了上述途径，一方面可提高学生的合情推理与逻辑推理能力，另一方面，为落实教学目标打下了坚实的基础．

课题引入

通过请学生观察几个具体的数列的特点．例如：

1，4，7，10，?；

3，－1，－5，－9，?；

5，5，5，5，?，

并由学生自行分析得出―从第2项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数‖这一共性，随即请学生给这类数列命名‖，师肯定学生的回答，或稍作提炼，并顺水推舟，指出这是我们今天将要研究的内容───等差数列，以此引出课题．

知识讲解

1．关于等差数列的定义

教学模式：由学生观察分析几个具体数列的共性───给这类数列命名───给等差数列下定义───分析两个要点的作用───用符号语言描述定义───指出定义的功能．

采用这一教学模式，主要目的是充分发挥学生的主体作用，教师的主导作用主要体现在必要的点拨上．

等差数列的定义有两个要点．一是―从第2项起‖．这是为了确保每一项与前一项差的存在性；二是―差等于同一个常数‖，这是等差数列的基本特点―差相等‖的具体体现．

2．+关于等差数列的通项公式

教学模式：试验───归纳───猜想───证明───鉴赏．即试着求出a1，a2，a3，a4，并对此进行分析归纳，猜想出通项公式，再加以证明，最后从数形结合的角度揭示公式的内涵．

采用这一教学模式，可帮助学生学习合情推理与逻辑推理的方法，提高学生的发现能力和逻辑思维能力，培养学生思维的科学性和严密性以及勇于探索的精神．

通项公式的证明：

方法1：

在an－an－1=d中，取下标n为2，3，?，n，

得a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，?，an－an－1=d．

把这n－1个式子相加并整理，

得an= a1＋d．

又当n=1时，左边= a1，右边= a1＋d= a1．

公式也适用．故通项公式为an= a1＋d．

方法2

an= an－1＋d

= an－2＋2d

= an－3＋3d

=?

= a1＋d．

．

公式鉴赏：

① 通项公式可表示为an=dn＋c的形式，n的系数即为公差．当d≠0时，an是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c的图象上的一群孤立的点．

② 通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值．

例题分析

考虑到本节课是等差数列的起始课，因此例题应围绕等差数列的定义及

通项公式这两个知识点选配．

例1．求等差数列8，5，2，?的第20项．

通过本题的求解，使学生初步掌握通项公式的应用，运用方程的思想―知三求

一‖ ．

本例在探求出通项公式以后给出．

分析与略解：欲求第20项a20，需知首项a1与公差d．现a1为已知，因此只需*求出d，便可由通项公式求出a20．事实上，

∵ a1=8，d=5－8=－3，n=20，

∴ a20=8＋×= －49．

例2．已知数列－2，1，4，?，3n－5，?，

求证这个数列是等差数列，并求其公差；

求第100项及第2n－1项；

判断100和110是不是该数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由．

通过本例的求解，加深学生对定义及其功能的理解和认识，并能利用方程的思想解决问题．

本例可在讲完定义后给出，也可在获得通项公式以后给出．

分析：对，只需利用定义证明an＋1－an等于常数即可，并且这个常数即为公差；对，从函数的角度看，只需将an=3n－5中的n分别换成100及2 n－1即得a100和a2n－1；对，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分别求出n，若求出的n为正整数，则可判定该数是这个数列中的项，并且这个正整数是几，该数就是这个数列中的第几项；若n不是正整数，则该数不是这个数列中的项．

略解：由于an＋1－an=3－5－=3，

故这个数列是等差数列，且公差d=3．

∵ an=3 n－5，

∴ a100 =3×100－5=295，

a2n－1=3－5=6n－8．

设3 n－5=100，解得n=35，

∴ 100是这个数列中的项，并且是第35项；

设3 n－5=110，解得n=115

3?n*，

∴ 110不是这个数列中的项．

小结或总结

本节课我们主要研究了等差数列的定义和它的通项公式．等差数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之一，通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具．通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用．

习题

1．已知等差数列｛an｝中，a1=5．6，a6=20．36，则a4=．

2．已知数列｛an｝的通项公式是an=－2 n＋3，证明｛an｝是等差数列，并求出公差、首项及第2 n＋5项．

3．在数列｛an｝中，a1=－2，2 an＋1－1=2an，则，a51等于，．

20 21 22

参考答案

23

１．14．6

2．∵ an＋1－an= －2，∴｛an｝是等差数列，且d= －2，a1=1，

a2n＋5= －4 n－7．

3．d．

引申与提高

除了等差数列的定义以外，通项公式也是判断一个数列是否是等差数列的依据之一．我们把通项公式改写成a1= an＋·，并把它与原通项公式比较，易知两者形式是完全一样的．这里可视an为首项，a1为第n项，这个数列由原数列中前n项反序书写而得，即an，an－1，an－2，?，a2，a1．由式知它仍成等差数列，并且公差为－d．由此知，从正、反两个不同的顺序看待―同一个‖等差数列时，各自―等差‖的特点保持不变，但公差互为相反数．

思 考 题

１．已知数列－5，－3，－1，1，?是等差数列，判断2n＋7是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－=2，

∴ an= －5＋×2=2 n－7．

而2n＋7=2－7，

∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

２．已知数列－5，－3，－1，1，?是等差数列，判断2n＋7是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－=2，

∴ an= －5＋×2=2 n－7．

而2n＋7=2－7，

∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

测 试 题

22．且｛an｝是等差数列，则1．已知数列an?的前4项分别为25，

238是数列an?中的．

第49项

an?1 第48项

第50项 ?3?1an 第51项 2．已知数列｛an｝中，a1=1，则a98=．

3．一个首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围．

参考答案

１．d．

2．1

292．提示：｛1an｝是公差为3的等差数列，求出1an后再求an，进而求出

a98．

?a10?0??24?9d?083．由?，即?，解得＜d≤3.3??24?8d9?0?a9?0

∴d的取值范围是?，3?．

?3??8?

等差数列

本节课讲述的是人教版高一数学§3.2等差数列的内容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

2、教学目标

理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；

3、教学重点和难点

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。

二、学情分析对于高一学生，知识

经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

二、教法分析

本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

三、教学程序

本节课的教学过程由复习引入新课探究应用举例归纳小结布置作业，五个教学环节构成。

复习引入：

上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：



0，5，10，15，20，25，…;

48，53，58，63，…;

18，15.5，13，10.5，8，5.5…;

10 072，10 144，10 216，10 288，10 366

新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

强调：

① ―从第二项起‖满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式： an+1-an=d

同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

1.9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1

2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01

3.0，0，0，0，0，0，…….;√ d=0

4.1，2，3，2，3，4，……；×

5.1，0，1，0，1，……×

其中第一个数列公差0,第三个数列公差=0

由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0 ，当d=0，an 为常数列。

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,

则据其定义可得：

a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d

a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1

+3d

……

猜想: a40 = a1 +39d

进而归纳出等差数列的通项公式：

an=a1+d

此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：a2 – a1 =d

a3 – a2 =d

a4 – a3 =d

……

an – an-1=d

将这个等式左右两边分别相加,就可以得到an– a1= d即 an= a1+ d

当n=1时，也成立，

所以对一切n∈n＊，上面的公式都成立

因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。

在这里通过该知识点引入迭加法

这一数学思想，逐步达到―注重方法，凸现思想‖ 的教学要求

am 与an有什么关系呢？

am=a1+d①

an=a1+d②

a1=am-d代入②得an=am-d+d 即：an=am+d

应用举例

求等差数列8，5，2,…的第20项;

-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

分析

这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?

首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+×=-49.

分析

由a1=-5,d=-9-=-4得数列通项公式为an=-5-4.

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.

已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

例题分析：

由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么?

只要看差an-an-1是不是一个与n无关的常数.

说得对，请你来求解.

当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an〕

an-an-1=-［p+q］=pn+q-=p为常数,

所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.

这里要重点说明的是：

若p=0，则{an}是公差为0的等差

数列，即为常数列q，q，q，….

若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.

数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q，称其为第三通项公式.

归纳小结1.等差数列的概念及数学表达式．

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

2.等差数列的通项公式 an= a1+ d会知三求一

布置作业

必做题：课本p114习题3.2第2，6 题

五、板书设计

等差数列教案

一、教材分析

从教材的编写顺序上来看，等差数列是必修五第二章的第二节的内容，一

方面它是数列中最基础的一种类型、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习等比数列及数列的极限等内容作准备.

就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，对其在性质的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．

依据课标 ―等差数列‖这部分内容授课时间3课时，本节课为第2课时，重在研究等差数列的性质及简单应用，教学中注重性质的形成、推导过程并让学生进一步熟悉等差数列的通项公式。

二． 教学目标

依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：

知识与技能目标：理解等差数列的定义基础上初步掌握等差数列几个特征

性质并能运用性质解决一些简单问题．

过程与方法目标：通过性质的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．

情感与态度目标：通过其性质的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．

三．教学的重点和难点

重点：等差数列的通项公式的性质推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来看，通过发现性质培养学生的运用数学语言交流表达的能力.

突出重点方法：―抓三线、突重点‖，

即知识技能线：问题情境→性质发现→简单应用；过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→转化、方程思想；能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.

难点：等差数列的性质的探究，从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高.它需要对等差数列的概念充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的。

突破难点手段：―抓两点，破难点‖,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，给予恰大的引导，让学生能在原有的认知水平和所需的知识特点入手。 四．教学方法

利用多媒体辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式

五．教学过程.

1.复习引入

回顾等差数列的定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an?an?1?d 2.根据给出的数列引导学生发现等差数列的性质：

①有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于其首末两项之和

a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

②已知aman 为等差数列的任意两项，公差为d，则d=

③等差数列中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq

④若?an??bn?是等差数列，则?an?k??kan??an?bn?也是等差数列，

公差分别为d、kd、d1+d2

3.知识巩固

例1.等差数列?an?中，已知a2?a7?9,a3?4，则a6解析一：由等差数列通项公式得：a2?a7=a1?d?a1?6d?9

a3?a1?2d?4

解得：

am?an

m?n

101则a6?a1?5d?5 a? d?

33

解析二：由性质③得a2?a7?a3?a6易得a6?5

变式：等差数列?an?中，a5?8,a2?2.则a8?例2.已知等差数列?an?满足a1?a2?a3a101?0，则有

a、a1?a101?0 b、a2?a101?0c、a3?a99?0d、a51?51 解析：根据性质1得：a1?a101?a2?a100???a49?a50?2a51，由于

a1?a2?a3???a101?0，所以a51?0，又因为，a3?a99?2a51?0，故正确

答案为c。

课堂练习：等差数列?an?中， a第六项是多少？ 4.小结

引导学生回顾等差数列定义，从通项公式中发现性质。 5.作业布置：

.书面作业：教材p681.3

请同学们课后思考：除了上述特征性质外，还能不能

发现其他的性质？

六．教学设计说明

1．复习引入.

本着遵循掌握知识，熟能生巧的方针，温故而知新。让学生自己例举等差数列，进一步让学生真正知道什么是等差数列，然后采用图片形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.

2．性质发现

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性.3．知识巩固

通过例题说明灵活的应用这些性质和变形公式，可以避繁就简，有思路的功效。对数列性质的灵活应用反应学生的知识结构特征掌握程度，有助于学

生形成知识模块，优化知识体系.

?2,a?5.则数列?a?4?的

n

4．作业布置弹性化．

通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．

等差数列

教学目的：

1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；

2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

教学过程：

引入：① 5，15，25，35，?和② 3000，2995，2990，2985，?

请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数；，我们

~ 26 ~

给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的

差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差

数列②10，8，6，4，2，?； an?10???12?2n 数列③1234;,;,1,?;an?1??1?n 5555555

由上述关系还可得：am?a1?d

即：a1?am?d

则：an?a1?d=am?d?d?am?d

即的第二通项公式an?am?d∴ d=am?an

m?n

如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d

三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2?的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，

~ 27 ~

-13?的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3n=20，得a20?849 ⑵由a1??5,d??9???4得数列通项公式为：an??5?4

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得?401??5?4成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an

解法一：∵a5?10，a12?31，则 ?a1?4d?10??a1??2∴an?a1?d?3n?5

??

?d?3?a1?11d?31

a20?a1?19d?55

解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3

∴a20?a12?8d?55an?a12?d?3n?小结：第二通项公式an?am?d

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算us?ut

s?t

~ 28 ~

解：通过计算发现us?ut的值恒等于公差

s?t

证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，?us?u1?d

?

?ut?u1?d⑴-⑵得us?ut?d?

us?ut

?d s?t

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各解：设?an?表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列， 由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12?a1?d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61,

~ 29 ~

a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103,

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

例5 已知数列{an}的通项公式an?pn?q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定?an?是不是等差数列，只要看an?an?1是不是一个与n无关的常解：当n≥2时, ）

an?an?1???pn?q??p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1?p?q，公差为

注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q d，并掌握其基本

~ 30 ~

应用.最后，还要注意一重要关系式：an?am?d和an=p n+q 的理解与应用.

?

课题：3.3 等差数列的前n项和

6161,又∵n∈n*∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.2

2二、例题讲解例1 .求集合m={m|m=2n－1,n∈n*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜

即 集合m中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1, an30=59,n=30的等差数列.∵sn=2,∴s30

30=2=900.

答案：集合m中一共有30个元素，其和为900.

例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2分析：满足条件的数属于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,m∈n*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,n∈n*}

~ 31 ~

由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈n*,∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.

它们可组成一个以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差数列.

由snn=2,得s33

33=2=1650.

答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列?an?,是等差数列，sn是其前n项和，

求证：⑴s6，s12-s6，s18-s12成等差数列；

⑵设sk,s2k?sk,s3k?s2k 成等差数列

证明：设?an?,首项是a1，公差为d

则s6?a1?a2?a3?a4?a5?a6

∵s12?s6?a7?a8?a9?a10?a11?a12

~ 32 ~

36d?s6?36d∵s18?s12?a13?a14?a15?a16?a17?a18

??

??36d??36d∴

?s6,s12?s6,s18?s12是以36d同理可得sk,s2k?sk,s3k?s2k是以kd为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得s4=24, s5－s2=27

则设等差数列首项为a1,公差为d, 2

4d?4a??24??12则 ?

?d)?d)?2711?22?

?a1?3解之得：?∴an=3+2=2n+1.d?2?

2．两个数列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差数列公

~ 33 ~

差分别是d1, d2, 求x?x2x7d1与1y1?y2y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝; d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×1?5＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×＝18,

∴x1?x2x77＝.y1?y2y66

3．在等差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和snsn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24,

3n3512512

∴ sn＝－24n＋＝,36226

∴ 当|n－51|最小时，sn最小， 6

即当n＝8或n＝9时，s8＝s9＝－108最小.

解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3,

由an≤0得n≤9且a9＝0,

∴当n＝8或n＝9时，s8＝s9＝－108最小.

~ 34 ~

四、小结本节课学习了以下内容：?an?是等差数列，sn是其前n项和，则sk,s2k?sk,s3k?s2k

七、课后记：

~ 35 ~

第17篇：高中数学 2.2《等差数列》教案 新人教A数学必修5

2.2等 差 数 列(1) 教学目标 1．明确等差数列的定义．

2．掌握等差数列的通项公式，解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

3．培养学生观察、归纳能力． 教学重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式

教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教学方法 :启发式数学,归纳法.一.知识导入

1.观察下列数列,写出它的一个通项公式和递推公式,并说出它们的特点.1) 2，4，6，8，10 … 2）15，14，13，12，11 … 3）2，5，8，11，14 … 2.课本41页的三个实际问题

【归纳】共同特点:每一个数列，从第二项起与前一项的差相同。 二．等差数列

1.定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 以上三个例子的公差d分别为2,-1,3.定义说明:1)同一个常数的含义.2)公差d的取值范围.2.等差数列的通项公式: 设数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列.由定义有:思路1: a2a1a3a2anan1d

a2a1d

a3a2da12d

a4a3da13d……………

anan1da1(n1)d,nN*

思路2: a2a1d a3a2d

a4a3d

……………

an1an2d

anan1d

两端相加:

ana1(n1)d nN故等差数列的通项公式为:

*

ana1(n1)d nN其中:

*

an为第n项,a1为首项,d为公差.(共有四个量,知三求一) 利用等差数列的通项公式验证三个引例.广义通项公式: anam(nm)d

3.等差数列的递推公式: an1and,nN*

三.例题分析

1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.(2) -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

2.在等差数列{an}中,已知a510,a1231求首项a1与公差d

3.已知数列{an}的前n项和公式(1)求数列{an}的通项公式.(2)证明

Snn2n

2{an}是等差数列.

m1,m3,m9 4.已知等差数列的前三项分别为(1)求m的值.(2)求该数列的第10项.5.梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

解设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴a12a1(121)d,即时10=33+11d

解之得：d7

因此，

a233740,a340747,a454,a561,a668,a775,a882,a989,a1096,a11103, 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.

四.小结 五.作业

1.已知下列等差数列,求通项公式 (1) 1,4,7,10…

(2) 32, 26, 20, 14… (3) 127, , … 35152.已知等差数列{an}中 (1)a34,a716,求a1,d

,11a,d求a5 (2)232(3)

an

a32,d4,an30求n

2S2n4n 3.数列{an}中,前n项和n(1)求通项公式an

(2)证明{an}是等差数列

【探究】设{an}是首项为m公差为d的等差数列，从中选取数列的第*kN（）构成一个新的数列{bn}，你能求出{bn}的通项公式吗？

4k1项，

第18篇：等差数列教案2

等差数列

（二）

目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。 过程：

一、复习：等差数列的定义，通项公式

二、例一 在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN且mnpq

求证：1 amanapaq 2 apaq(pq)d

证明：1 设首项为a1，则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d

∵ mnpq ∴amanapaq 2 ∵apa1(p1)d

aq(pq)da1(q1)d(pq)da1(p1)d

∴ apaq(pq)d

注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：a1ana2an1a3an2

同样：若mn2p 则 aman2ap

例二 在等差数列an中，

1 若a5a a10b 求a15

解：2a10a5a15 即2baa15 ∴ a152ba 2 若a3a8m 求 a5a6

解：a5a6=a3a8m 3 若 a56 a815 求a14

解：a8a5(85)d 即 1563d ∴ d

3从而 a14a5(145)d69333

4 若 a1a2a530 a6a7a1080 求a11a12a1

5 解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……

∴ 2a6a1a11 2a7a2a12 ……

从而(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)

∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5) =2×8030=130

三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明 anan1d(常数)

例三 《课课练》第3课 例三

已知数列an的前n项和Sn3n22n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：a1S1321

当n2时 anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n

5n1时 亦满足 ∴ an6n5

首项a11 anan16n5[6(n1)5]6(常数)

∴an成AP且公差为6 2．中项法： 即利用中项公式，若2bac 则a,b,c成AP。

例四 《课课练》第4 课 例一

已知111bccaab，，成AP，求证 ，，也成AP。 abcbca11121

1证明： ∵，，成AP ∴ 化简得：2acb(ac)

abcbac

bcabbcc2a2abb(ac)a2c22aca2c2 acacacac(ac)2(ac)2ac2 = b(ac)acb2bccaab ∴，，也成AP

bca 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。

例五 设数列an其前n项和Snn22n3，问这个数列成AP吗？

解： n1时 a1S12 n2时 anSnSn12n3

n12 ∵a1不满足an2n3 ∴ an

2n3n2 ∴ 数列an不成AP 但从第2项起成AP。

四、小结： 略

五、作业： 《教学与测试》 第37课 练习题

《课课练》 第

3、4课中选

第19篇：等差数列求和教案

课题：等比数列前 项和的公式

教学目标

（1）通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前 项和.

（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.

（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.教学重点，难点

教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.教学方法

引导发现法.教学过程

一、新课引入：

（问题见教材第26页）提出问题：1222…229=?

二、新课讲解：

记s1222229，式中有3项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有29项是对应相等的，作差可以相互抵消.即s1222229， ①

2s222229230, ②

②－①得 2ss2301,即s2301; 由此对于一般的等比数列，其前n项和sna1a1qa1q2a1q3a1qn1，如何化简？

等比数列前项n和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比q，即

sna1a1qa1q2a1q3a1qn1 ③, 两端同乘以q ，得

2sna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn

④, ③－④得（提问学生如何处理，适时提醒学生注意 的（1-q）sna1a1qn ⑤，取值）

当q1时，由③可得snna1,（不必导出④，但当时设想不到） 当q1时，由⑤得

a1(1qn)。

sn1q反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.（板书）例题：求和：

s1234n 234n22222设, 其中n为等差数列，为2n等比数列，公比为1，利用错位相减法求和.

2解：

s11111223344nn22222

两端同乘以1，得 2111111 s2233445nn1222222两式相减得

111111ns234nn12222222

于是

， 所以1n11s2n1n(1n)1222ns2n112212

说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.

三、小结：

1.等比数列前n项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；

2.用错位相减法求一些数列的前n项和.

第20篇：等差数列求和教案

一、教学目标：

等差数列求和教案

知识与能力：通理解等差数列的前 项和定义，理解倒序相加的原理，记忆两种等差数列求和公式。

过程和方法：让学生学会自主学习和合作学习，体会特殊到一般的数学方法。 情感态度与价值观：形成严谨的逻辑推理能力，引导对数学的兴趣。

二、教学重点：教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，已知其中三个量，求另两个值。

教学难点：获得公式推导的思路

三、教学过程 1.新课引入

故事提出问题：泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，位于印度，是国王为他心爱的妃子而建，传说泰姬陵中有一个三角形图案，以相同大小圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共有多少颗宝石吗？

（板书）“

2.讲解新课

（板书）等差数列前 项和 公式推导（板书）

问题1“S=1+2+3+4+、、、、+n（倒序相加法）分小组讨论

问题2：

”

，两式左右分别相加，得

，

，

，于是 .于是得到了两个公式： 和

3、知识巩固：（1）；

（2）

4、课堂小结

1.等差数列前 项和公式；

（结果用 表示）

2.倒序相加法和分类讨论法的数学思想

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