2020-03-02 14:25:41 来源:范文大全收藏下载本文
几个常用函数的导数教学设计
一、课题引入
情境一:我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数yf(x),如何求它的导数呢? 问题1:导数是用什么来定义的?(平均变化率的极限)
问题2:平均变化率的极限如何计算?(求增量,求比值,取极限)
问题3:以上求导数的过程用起来是否方便?我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算? 情境二:
1.利用定义求出函数①yc的导数
2.若yc表示速度关于时间的函数,则y0可以如何解释?如何描述物体的运动状态? 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数yf(x),如何求它的导数呢?
由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但这种方法在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,从这一节课开始我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们先求几个常用的函数的导数. 二.新课讲授
1.函数yf(x)c的导数 知识点
根据导数定义,因为yf(xx)f(x)cc0 xxxylim00 所以ylimx0xx0y0表示函数yc图像(图1.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若yc表示路程关于时间的函数,则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态. 2.函数yf(x)x的导数
yf(xx)f(x)xxx1 因为xxxylim11 所以ylimx0xx0y1表示函数yx图像(图1.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1.若yx表示路程关于时间的函数,则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. 练习:在同一直角坐标系中,分别画出函数y2x,y3x,y4x的图象,求出它们的导数。
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数,哪一个增加得最快,哪一个增加的最慢? (3)函数ykxk0增(减)的快慢与什么有关?
3.函数yf(x)x2的导数
yf(xx)f(x)(xx)2x2因为 xxxx22xx(x)2x22xx
x所以ylimylim(2xx)2x
x0xx0y2x表示函数yx2图像(图1.2-3)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当x0时,随着x的增加,函数yx2减少得越来越慢;当x0时,随着x的增加,函数yx2增加得越来越快.若yx表示路程关于时间的函数,则y2x可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x. 4.函数yf(x)21的导数 x11yf(xx)f(x)xxx因为 xxxx(xx)12
x(xx)xxxxy11lim(2)2
x0xx0xxxx1练习作出函数y的图象,根据图象,描述它的变化情况,并求出其在点(1,1)处的切x所以ylim线方程
5.函数yfxx的导数
xxx
x因为yf(xx)fxxx
=xxxxxxx1xxx xxx
=所以ylimy11 limx0xx0xxx2xnn16.推广:若fxxnQ,则f(x)nx
练习求下列函数的导数
(1)yx3(2)y1 x2(3)y三.例题讲解 3x(4)yx2x
3例1.曲线yx上哪一点的切线与直线y3x1平行?
解:设点P(x0,y0)为所求,则 它的切线斜率为k3, ∵f(x)3x, ∴3x03,x01, ∴P(1,1)或P(1,1).
例2.证明:曲线xy1上的任何一点P(x0,y0)(x00)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数. 解:由xy1,得y∴y()221, x1x1, x2
∴kf(x0)1, 2x0过点P(x0,y0)的切线方程为
yy01(xx0),
2x02, x0令x0得y令y0得x2x0,
∴过P(x0,y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积
S122x02是一个常数. 2x0四.课时小结
C0,xn
五、作业 nxnQ n
1六、板书设计
七、教学反思
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