中值定理证明

推荐第1篇：三大中值定理

中值定理 函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。从而能把握住函数图象的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。

微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]。

微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。这个概念是成功的。

推荐第2篇：高等数学中值定理总结

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中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。

1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法

例 1 设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)f(1)f(0)02f() 试证至少存在一点(a,b)使得f()1分析：把要证的式子中的  换成 x，整理得f(x)xf(x)2f(x)0(1) 由这个式可知要构造的函数中必含有f(x)，从xf(x) 找突破口 因为[xf(x)]xf(x)f(x)，那么把(1)式变一下： f(x)f(x)[xf(x)f(x)]0f(x)f(x)[xf(x)]0 这时要构造的函数就看出来了F(x)(1x)f(x)f(x)②原函数法

例 2 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，f(a)f(b)0，又g(x)在[a,b]上连续 求证：(a,b)使得f()g()f()分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法 现在把与f 有关的放一边，与g 有关的放另一边，同样把  换成 x 两边积分f(x)g(x)dx g(x) lnf(x)g(x)dxlnCf(x)Cef(x)

f(x)eg(x)dxC 现在设C0，于是要构造的函数就很明显了 F(x)f(x)eg(x)dx③一阶线性齐次方程解法的变形法

对于所证式为fpf0型，（其中p为常数或x 的函数）可引进函数u (x)e，则可构造新函数F(x)fepdxpdx例：设f(x)在[a,b]有连续的导数，又存在c(a,b)，使得f(c)0f()f(a)baf()f(a)分析：把所证式整理一下可得：f()0ba1 [f()f(a)][f()f(a)]0，这样就变成了fpf0型ba 求证：存在(a,b)，使得f()－dx－ 引进函数u (x)eba＝eba （令C=0），于是就可以设F(x)eba[f(x)f(a)] 注：此题在证明时会用到f(c)

2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日 1xxf(b)f(a)0f(b)f(a) 这个结论ba

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例 3 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 证明至少存在一点(a,b)使得bf(b)af(a)f()f()ba

分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么可以试一下，不妨设 F(x)xf(x),用拉格朗日定理验证一下 F()f()f()②柯西定理

bf(b)af(a)ba例 4 设0x1x2，f(x)在[x1,x2]可导，证明在(x1,x2)至少存在一点c，使得 1ex1ex2e1e2f(c)f(c)f(x1)f(x2)e1f(x2)e2f(x1)ex1x2xxxx分析：先整理一下要证的式子e 这题就没上面那道那么容易看出来了xxf(c)f(c)

x1x2 发现e1f(x2)e2f(x1)是交叉的，变换一下，分子分母同除一下ef(x2)f(x1) ex2eex11x2e③k值法 1x1于是这个式子一下变得没有悬念了 用柯西定理设好两个函数就很容易证明了仍是上题分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是很好上面那题该怎么办呢？ 在老陈的书里讲了一个方法叫做k 值法 第一步是要把含变量与常量的式子分写在等号两边 以此题为例已经是规范的形式了，现在就看常量的这个式子 设

e1f(x2)e2f(x1)ex1x2xxe 很容易看出这是一个对称式，也是说互换x1x2还是一样的 记得回带k，用罗尔定理证明即可。k 整理得ex1[f(x1)k]ex2[f(x2)k] 那么进入第二步，设F(x)ex[f(x)k]，验证可知F(x1)F(x2)④泰勒公式法

老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。

3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理

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例 5 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，f(a)f(b)1 试证存在，(0,1)使得e[f()f()]1分析：首先把与分开，那么就有e[f()f()]e 一下子看不出来什么，那么可以先从左边的式子下手试一下 很容易看出e[f()f()][ef()]，设F(x)exf(x)ebf(b)eaf(a) 利用拉格朗日定理可得F()再整理一下baebeaebea e[f()f()]只要找到与e的关系就行了baba

这个更容易看出来了，令G(x)ex则再用拉格朗日定理就得到ebea G()ee[f()f()]ba②柯西定理（与之前所举例类似）

有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。

推荐第3篇：中值定理超强总结

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1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法

例 1 设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)f(1)f(0)0 试证至少存在一点(a,b)使得f()2f()1分析：把要证的式子中的  换成 x，整理得f(x)xf(x)2f(x)0(1) 由这个式可知要构造的函数中必含有f(x)，从xf(x) 找突破口 因为[xf(x)]xf(x)f(x)，那么把(1)式变一下： f(x)f(x)[xf(x)f(x)]0f(x)f(x)[xf(x)]0 这时要构造的函数就看出来了F(x)(1x)f(x)f(x)②原函数法

例 2 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，f(a)f(b)0，又g(x)在[a,b]上连续 求证：(a,b)使得f()g()f()分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法 现在把与f 有关的放一边，与 g 有关的放另一边，同样把  换成 x g(x)dx

f(x)f(x)两边积分g(x) lnf(x)g(x)dxlnCf(x)Ce f(x)eg(x)dxC 现在设C0，于是要构造的函数就很明显了 F(x)f(x)e③一阶线性齐次方程解法的变形法 g(x)dx对于所证式为fpf0型，（其中p为常数或x 的函数）pdxpdx可引进函数u (x)e，则可构造新函数F(x)fe例：设f(x)在[a,b]有连续的导数，又存在c(a,b)，使得f(c)0 求证：存在(a,b)，使得f()分析：把所证式整理一下可得：f() [f()f(a)]1ba1f()f(a)baf()f(a)ba0[f()f(a)]0，这样就变成了fpf0型xx－－badx 引进函数u (x)e＝eba （令C=0），于是就可以设F(x)eba[f(x)f(a)] 注：此题在证明时会用到f(c)f(b)f(a)ba0f(b)f(a) 这个结论

2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日

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例 3 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 证明至少存在一点(a,b)使得bf(b)af(a)baf()f()

分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么下可以试一下，不妨设 F(x)xf(x),用拉格朗日定理验证一 F()f()f()bf(b)af(a)ba(x1,x2)至少存在一点②柯西定理

例 4 设0x1x2，f(x)在[x1,x2]可导，证明在 1c，使得ex2x1ex2ex1f(c)f(c)ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要证的式子e1f(x2)eex1f(x1)f(c)f(c)e 这题就没上面那道那么 发现e1f(x2)exx2容易看出来了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，变换一下，ex1x2f(x2) ex2f(x1)e1x11x2于是这个式子一下变得没有悬念了eex1 用柯西定理设好两个函③k值法

仍是上题数就很容易证明了分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那题该怎么办呢？ 在老陈的书里讲了一个 第一步是要把含变量与 以此题为例已经是规范 设常量的式子分写在等号的形式了，现在就看常k 整理得ex1两边量的这个式子x2

ex1f(x2)eex1x2x2f(x1)e[f(x1)k]e[f(x2)k] 很容易看出这是一个对 那么进入第二步，设称式，也是说互换x1x2还是一样的F(x1)F(x2)F(x)ex[f(x)k]，验证可知。 记得回带k，用罗尔定理证明即可④泰勒公式法

老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。

3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理

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例 5 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，f(a)f(b)1 试证存在，(0,1)使得e[f()f()]1分析：首先把与分开，那么就有e[f()f()]e 一下子看不出来什么， 很容易看出那么可以先从左边的式子下手试一下xe[f()f()][ef()]，设F(x)ef(x) 利用拉格朗日定理可得F()eaef(b)ef(a)baexbba

再整理一下 e[f()f()]ebbaa只要找到eaba与e的关系就行了得到 这个更容易看出来了， G()e令G(x)e则再用拉格朗日定理就e[f()f()]ba②柯西定理（与之前所举例类似）

有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。 ebe

推荐第4篇：积分中值定理(开区间)证明的几种方法

积分中值定理（开区间）的几种证明方法

定理：设f在[a,b]上连续，则(a,b)，使得

b

af(x)dxf()(ba)。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），

[a,b]， 使得

于是

bbaf(x)dxf()(ba)。 [f(x)f()]dx0.a

由于函数F(x)f(x)f()在[a,b]上连续，易证（可反证）：

(这还是书上例2的结论)

(a,b)，使得F()f()f()0，即f()f()。

[证二]：令F(x)x

af(t)dt，则F(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，故

(a,b)，使得F(b)F(a)F()(ba)，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）

[证三]：反证：假设不(a,b)，使得 b

af(x)dxf()(ba)，由积分第一中值定理，

知只能为a或b，不妨设为b，即

x(a,b),f(x)f(b)1bf(x)dx。 aba

)f(x)f(b)）由于f连续，故x(a,b),f(x)f(b（或，

（这一点是不是用介值定理来说明）

这样

（上限x改为b）xbaf(x)dxf(b)dxf(b)(ba).a

（这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）

矛盾。

[证四]：设f在[a,b]上的最大值为M，最小值为m。若mM，则fc，可任取。

若mM，则x1[a,b]，有Mf(x1)0，故

[Mf(x)]dx0，即 abb

af(x)dxM(b).a

同理有

m(ba)f(x)dx.ab

由连续函数的介质定理知：(a,b)，使得 f()1bf(x)dx.。 aba

注：以上方法有的能推广到定理9.8的证明，有的不能，再思考吧！

推荐第5篇：微分中值定理的证明与应用分析

本科生毕业论文（设计）

题

目

微分中值定理的证明与应用分析

姓

名

马华龙

学号

2009145154

院

系

电气与自动化学院

专

业

测控与仪器技术

指导教师

魏春玲

职称

教授

2012 年 5月 20日 曲阜师范大学教务处制

目

录

摘要 ............................................................................................................................................1 Abstract .......................................................................................................................................1 1 引言 ........................................................................................................................................1 2 微分中值定理及其相关概念 .............................................................................................1 3 微分中值定理的证明方法 ....................................................................................................2 3.1 费马定理 ............................................................................................................................2 3.2 罗尔定理 ............................................................................................................................3 3.3 柯西中值定理 ....................................................................................................................4 4 定理的推广 ............................................................................................................................5 5 定理的应用 ............................................................................................................................6 5.1 利用微分中值定理证明等式与恒等式 ............................................................................6 5.2 利用微分中值定理证明不等式 ........................................................................................7 5.3 讨论根的存在性 ................................................................................................................8 6 总结 ........................................................................................................................................9 致谢 ..........................................................................................................................................10 参考文献 ..................................................................................................................................10

微分中值定理的证明与应用分析

测控与仪器专业学生 马华龙

指导教师

魏春玲

摘要：本文首先介绍了微分中值定理的基本内容极其几何意义然后又分别介绍了三个微分中值定理，最后有介绍了中值定理的推广和应用。详细介绍了中值定理在证明等式和不等式以及性态等方面的应用。

关键词：微分中值定理 推广 应用

Differential Mean Value Theorem Proof and Application Analysis Student majoring in Measurement and control technology and instrument

Ma Hualong

Tutor

Wei Chunling

Abstract：This paper first introduces the basic content of the Differential Mean Value Theorem extremely geometric meaning, then introduced the three differential mean value theorem, and finally introduced the promotion and application of the mean value theorem.The detailed explained differential mean value theorem in proving the equality and inequality.

Key Words : differential mean value theorem Promotion application.

1引言

在数学研究与分析中，微分学占有极其重要的地位，它是组成数学分析的重要部分。而通过对微分学整体的学习，我们可以知道微分中值定理在它所有定理中是最基本的，而且是最重要的定理之一，微分中值定理是构成微分学的主要组成部分。因此学好微分中值定理，对我们以后的继续在数学方面的研究是非常重要的。

人们对微分中值定理的研究从微积分的建立之始就开始了，微分中值定理分为：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它出现的过程聚集了众多数学家的研究成果。而且从费马引理到柯西中值定理使微积分不断发展，理论知识也不段的丰富和完善，是自从引进微积分来数学研究的重要工具之一，并且中值定理的应用也越来越广泛。本文将首先讨论微分中值定理的证明，然后讨论它的应用，并且主要是讨论微分中值定理在证明等式、不等式、函数为常数、函数的性态等方面的应用。

2 微分中值定理及其相关概念

微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日中值定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或者推广。也可以说微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理在内的定理的总称，而中值定理的证明会用到以下的概念。

limf(x)limg(x)xx0xx0极限的局部保号性： 若，则存在Δ≥0，任意x(x0,x0)，使得f(x)g(x)。

函数的单调性： 函数f(x)在定义域内，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称f(x)单调递增。当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称f(x)单调递减。

凹凸性： 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上

1

\'yf(x)f凸)的,或称函数向下凸(上凸).而若的一阶导数(x)在(a,b)上单调递增(或递减),则称f(x)在(a,b)是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).最值：设f(x)在I上有定义,若存在x0I使任意xI，f(x0)f(x)（f(x0)f(x)），则称f(x0)为f(x)的最小值（最大值）。x0为最小值点（最大值点）。

极值：设f(x)在任意xI上有定义，若存在x0I,0,任意x(x0,x0)都有f(x)f(x0)（f(x0)f(x)），则称f(x0)为f(x)的一个极小值（极大值），x0成为极小值点（极大值点）。

除此之外，我们还应该看到罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的联系。这三个定力的关系：层层递进，步步深入，前者是后者的特殊情况，后者是前者的推广。拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是通过构造辅助函数，然后用罗尔定理加以证明的；拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例；而罗尔定理有是拉格朗日中值定理的直接推论。

3 微分中值定理的证明方法

3.1 费马定理

费马引理是是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则无法用该法判断，需列表判断。

xx费马引理的内容：函数f(x)在点0的某邻域U(x0)内有定义，并且在0处可导，如

\'xU(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x0)=0。 0，都有0或者0，那么果对于任意的费马定理的几何意义:若将函数f(x)的曲线置于平面直角坐标系XOY,则费马定

x(x,f(x0))理具有几何意义:对曲线yf(x)上,若有一点0存在切线,且0为f(x)极值点.则这一点处的切线平行于x轴.

证明方法：x0x为f(x)的极值点.不妨设0为极小值点,则

0,x(x0,x0),有f(x0)f(x).

2

f(x)f(x0)0xx0xx0若,则; f(x)f(x0)0xx0xx0若,则; 取极限:xx0limf(x)f(x0)f(x)f(x0)lim-xxxx0xx0与0分别为T、S

limf(x)f(x0)xx0.

xx0x由于f(x)在0处可导,则T=S=由极限的局部保号性有:T0, S0.故 T=S=0 .f(x)f(x0)lim0xx0f(x0)0 xx0所以有 即3.2 罗尔定理

若f(x)在[a,b]上连续，在内(a,b)可导，且f(a)f(b)，则至少存在一点a,b使f()0。

罗尔定理的几何意义：罗尔定理的三个已知条件的意义：

⒈f(x)在a,b上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；

⒉f(x)在a,b内可导表明曲线yf(x)在每一点处有切线存在； ⒊f(a)f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴

\'f 罗尔定理的结论的直几何意义是：在（a,b）内至少能找到一点，使()0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。

罗尔定理的证明：根据f是闭区间a,b上连续函数的性质，由极值定理得在

a,b 上有最大值(M)和最小值(m)。

1.如果Mm，此时f(x)在a,b上恒为常数，结论显然成立。

2.如果Mm，由条件f(a)f(b)知，两个数M，m中至少有一个不等于端点的函数值f(a)f(b)，不妨设Mf(a)（如果设mf(a)，证法完全类似），那么必定在开区间(a,b)内有一点使f()M。

\'f(x)f()xa,bf法1：因此，，有，由费马引理可知()0。

法2：由于f(x)在ξ处最大，故不论x是正或负，总有

f(x)f()0, 因此，当x0时，

{f(x)f()}/x0， 故由极限的保号性有

f\'()lim{f(x)f()}/x0x0 （1）

而当x0时，

{f(x)f)}/x0，

3

故

f_\'()lim{f(x)f()}/x0x0 （2）

\'\'f()f由(1)，(2)两式及存在知，必有()0。

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的内容： 若函数f(x)满足: (1) 在闭区间a,b上连续; (2) 在开区间a,b内可导; 则至少存在一点(a,b)使得

f(b)f(a)ba .拉格朗日定理的几何意义:如图所示,过A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线斜率

f()f(b)f(a)ba,而拉格朗日定理则表明了存在于曲线上的A,B两点某点的切线必定平行于直线AB.KAB拉格朗日中值定理的证明：

利用罗尔中值定理,构造辅助函数.

f(b)f(a)F(x)f(x)f(a)(xa)ba.

证明 作辅助函数

f(b)f(a)F(x)f(x)f(a)(xa)ba

显然,F(x)在a,b上连续, 在a,b内可导,且f(a)f(b)0,由罗尔定理可知,存

在一点(a,b) 使得F()0 即

f(b)f(a)ba

推论 设f(x)、g(x)都在区间K上可导,且f(x)g(x),则

f(x)g(x)c f()3.3 柯西中值定理

柯西中值定理的内容： 设函数f(x)、g(x)满足: (1) 在闭区间a,b上连续;

 (2) 在开区间a,b内可导,且g(x)0; 则至少存在一点(a,b) 使得

f()f(b)f(a)g()g(b)g(a).

柯西中值定理的证明：由定理条件可知g(b)g(a),则存在(a,b)使得g(x)0,因此,只需证

 f()g(b)g(a)g()f(b)f(a)0.

4

为此,构造函数

F(x)f(x)g(b)g(a)g(x)f(b)f(a),xa,b 显然,F(x)在a,b上连续,在a,b内可导,且F(a)F(b) 根据罗尔定理,存在(a,b)使得

F()0f()g(b)g(a)g()f(b)f(a)0

f()f(b)f(a)所以,g()g(b)g(a).

即

4 定理的推广

前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容

a,b我们知道，这三个定理都要求函数fx在a,b上是连续，在内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间a,b，把它推广到无限区间a,或,，再把开区间a,b推广到无限区间a,或,的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？

通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。

limfxfafxa,a,x定理1 若在上连续，在内可导，且，则至少

f0a,存在一点，使成立。

证明：

111xa1tta1t令xa1，则t，即可得到关于t参数函数

t0,1当xa,时，则

limtfxftgt 即1a，t0，再令gtlimffxfaftxlim1g1limt0t0 g0limgtt0 g0g1  gt0,10,1在上连续，在内可导，且g0g1，由Rolle定理可得到，使g0成立 至少存在一点0,1令

，使f0成立

证毕

limfxlimfx,,fxx定理2 若在上连续，在内可导，并且x，至

f0,少存在一点，使成立。

定理2的证明可以参照定理1。

limfxMa,a,定理3 若fx在上连续，在内可导，并且x，则至少存在 ，有至少存在一点a,f0，而

120.

5

一点a,，使 成立。 Mfaf21a证明：设t111xa1ta1xa1，则tt，即可得到关于t参数函数

当xa,时，则t0,1 limtfxftgt 即1a，t0，再令limgtlimtlimfxM t0t0xg0limgtMt0 gt在0,1上连续，在

0,1内可导，由Lagrange定理得

g1g010成立 至少存在一点0,1，使

g即gfaM

1令，有gf，而至少存在一点a,，使

Mfaf21a21a2，

成立. 证毕

5 定理的应用

5.1 利用微分中值定理证明等式与恒等式

在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键。在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论。我们一下面一个例题来讲解。

1f(0)f(1)0,f12例：设函数f(x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且，

1(,1)2，使f()；

试证 (1) 存在 (2) 对任意实数λ，必存在(0,)，使

得

f\'()[f()]1

分析 (1) 欲证等式可写成 f()0

1(,1)则只需设(x)f(x)x在2上存在零点. (2) 欲证等式可改写成 [f\'()1][f()]0

\'\'x(x)f(x)x,(x)f(x)1F(x)e(x)，再对 由于，则只需取辅助函数

6

F(x)在[0,]上用罗尔定理.

1110,(1)10[,1](x)f(x)x(x) 证 (1) ，因在2上连续，22，

1(,1)2，使得 故由零点定理，存在()0,即f()

(2) 令F(0) = 0 ,

，因F(x)在[0,]上连续，在(0,)内可导，且

，故由罗尔定理，存在

，使得

由于，故得

f\'()[f()]1

例：设0ab,f(x)在a,b连续可导,则存在a,b使得

f(b)f(a)f()ln证明 令

ba.g(x)lnx

则g(x)0,且f(x),g(x)在a,b上连续在a,b内可导

根据柯西定理,存在a,b使得

f()f(b)f(a)g()lnblna

f(b)f(a)f()ln即,5.2 利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理在不等式的证明中同样起到重要的作用，因此在证明不等式的时候，可以考虑从中值定理入手，从而解决问题。首先我们给出利用中值定理证明不等式的步(1)构造辅助函数f(x)；骤：（2）；构造微分中值定理需要的区间[a,b]；（3）利用(a,b)，\'对f()进行适当的收缩。下面我们给出几个证明不等式的例子。

ba.例1： 证明对任何正数a、b(ab)有

baabalnba. b证明 令f(x)lnx,xa,b.则f(x)在a,b上连续,在a,b内可导,根据拉格朗日中值定理,存在a,b使得

1lnblnaba

111由于a,b,所以ba,即有

baabalnba

b例2：设x0，对01的情况，求证xx1。

7

分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等式，不难发现当x1时，等式两边就相等了，所以接下来排除x1，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把

fxx左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢？不妨设，Fxx。利用Cauchy定理即可证明。

fxxx,11,xx1x1证明：当时结论显然成立，当时，取或，在该区间设，Fxx，由柯西定理得：

fxf1fx,11,xFxF1F 或

x111即x

当x1时，x,1，x11即x

11

又xx10

故x1x，即x11

1,x11当x1时，，

则xx10

故x1x，即x11 由此，不等式得证。 5.3 讨论根的存在性

在证明根的存在性问题时，当遇到满足微分中值定理的相关条件时，就能够从中值定理的角度来解决问题。因此我们可以说，微分中值定理可以应用在解决根的存在性的问题上。我们从下面的例题来看中值定理在这方面的应用。

例1：设a1,a2,,an为任意n个实数,证明函数: 在(0,)必有零点.f(x)a1cosxa2cos2xancosnx  证法 利用罗尔定理,令F(x)f(x),只需F(x)在0,上满足罗尔定理条件. 证明 作辅助函数

11a2cos2xancosnx,x0,2n ,则

F(x)a1cosxa2cos2xancosnxf(x)

容易验证F(x)在0,上连续,在(0,)可导,且 F(x)a1cosxF()F(0)0,所以存在(0,)使得  F()0,即f()0.所以,f(x)在(0,)必存在零点.

8

例2： 设aiR且满足a0a1x1a2x2...anxn0在(0,1)内至少有一个实根.

x2x3xn1F(x)a0xa1a2...an23n1, 证明： 引进辅助函数显然F(0)F(1)0,F(x)又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,F(x)满足罗尔中值定理的条件,故存在(0,1)使

F()0 而

F(x)a0a1x1a2x2...anxn 故方程

a0a1x1a2x2...anxn0 在(0,1)内至少有一个实根.注：本题构造F(x)的依据是使F(x)得导数恰好是所证方程的左边.

a0aa1a2...n023n1,证明方程

6 总结

本文是研究主要是通过在大学阶段对有关数学方面的知识的分析和学习得到的，并参考了一些图书资料。从整个世界来看，人们对中值定理的研究从微积分的建立之时就开始了，至今有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果。本文通过与老师同学的讨论，介绍了微分中值定理的主要证明方法和在数学方面的应用分析，分析了费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明方法；在应用方面主要通过例题的形式讨论研究了中值定理在证明等式、不等式、恒等式以及在讨论方程根的存在性等方面的应用。

深入研究微分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用。

9

致谢

完成本论文，我要特别感谢我的指导老师魏老师的热怀和指导。在我撰写论文的过程中，魏老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了魏老师教诲和帮助在此表示真诚地感谢和深深的谢意。

最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示感谢！ 参考文献

[1] 张勇.微分中值定理的认识及推广[J].消费导刊·时空教育 .2009(02) 166

[2] 朱美玉。微分中值定理的进一步探讨[J].湖北广播电视大学学报.2009(08) 158-159.[3] 邢建平; 徐湘云.微分中值定理的解题应用[J].中小企业管理与科技(上旬刊).2010(08)158

[4] 邓乐斌编.数学分析的理论、方法与技巧[M].武汉:华中科技出版社,2005.[5] 王宝艳.微分中值定理的应用[J].雁北师范学院学报,2005,2：59~61.

[6] 党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2010,1:28-31

10

推荐第6篇：中值定理在不等式证明中的应用

摘 要

本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍.

关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式

Abstract

This paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function.in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point.And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality.And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application proce to prove the inequality were briefly discued

Key words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor\'s Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals

目 录

摘要 ………………………………………………………………………………（I） Abstract …………………………………………………………………………（I） 1 引言 ……………………………………………………………………………（1） 2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 …………………………………（2）

2.1 拉格朗日中值定理…………………………………………………………（2） 2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式………………………………………（2） 2.2.1 直接公式法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2） 2.2.2 变量取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（4） 2.2.3 辅助函数构造法 ………………………………………………………（5） 3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用 ………………………………………（7） 3.1 泰勒中值定理…………„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7） 3.2 利用泰勒公式证明不等式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7） 3.2.1 中点取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（7） 3.2.2 端点取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9） 3.2.3 极值取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9） 3.2.4 任意点取值法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（11） 4 柯西中值定理在不等式证明中的应用………………………………………（14）

4.1 柯西中值定理………………………………………………………………（14） 4.2 利用柯西中值定理证明不等式……………………………………………（14） 5 积分中值定理在不等式证明中的应用 ………………………………………（16）

5.1 积分中值定理„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（16） 5.2 利用积分证明不等式………………………………………………………（16） 结束语 ……………………………………………………………………………（18） 参考文献 …………………………………………………………………………（19） 致谢 ………………………………………………………………………………（20）

1 引言

不等式也是数学中的重要内容，也是数学中重要方法和工具.中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也称微分中值定理)为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广.利用中值定理证明不等式，是比较常见和实用的方法.人们对中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态.此外，在极值问题中有重要的实际应用.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现.特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇.不等式的证明不仅形式多种多样，而且证明方式多变，常见的方法有：利用函数的单调性证明，利用微分中值定理证明，利用函数的极值或最值证明等，在众多方法中，利用中值定理证明不等式比较困难，无从下手，探究其原因，一是中值定理的内容本身难理解，二是证明不等式，需要因式而变，对中值定理的基础及灵活性要求较高.我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一，我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展.

1

2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

2.1 拉格朗日中值定理

拉格朗日（J.L.Lagrange，1736-1813，法国数学家，力学家，文学家）.拉格朗日中值定理 设函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点x0 ，使得

f\'x0f(a)f(b) (1)

ba或

fbfaf\'x0ba.(2) 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，即罗尔定理是拉格朗日定理当fafb时的特殊情形.拉格朗日定理中，由于ax0b，因而可将x0表示为

x0a(ba)，01.这样（1）式还可表示为

fbfaf\'aba，01.(3) 若令bah，则有

fahfaf\'ahh，01.（4） 一般称式（1）、（2）、（3）、（4）式为拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 2.2.1 直接公式法

例2.1 证明不等式sinx1-sinx2x1-x2成立. 分析 首先要构造一个辅助函数fx；a 由欲证形式构成“形似”的函数区间.b 运用拉格朗日公式来判断.证明 设fxsinx,xx1,x2.由拉格朗日公式（2）可得

sinx1-sinx2f\'x1x2 ， x1,x2.等式两边同取绝对值，则有

sinx1sinx2f\'x1-x2.而

fsin\'xxcos.

2

又因为 0cos1.因此，就得到

sinx1-sinx2x1-x2.

证毕.评注 此题如果单纯地应用初等数学的方法来证明，会难以得出结论，而应用了拉格朗日公式，再利用三角函数的简单知识，问题就游刃而解了.例2.2 证明不等式arctanx2arctanx1x2-x1，（x2x1）成立.分析 此题利用反三角函数的有关知识，构造一个辅助函数fxarctanx，再利用拉格朗日中值定理就可以轻轻松松地解出此题.证明 设fxarctanx,fx在x1,x2上满足拉格朗日定理的全部条件，因此有

arctanx2arctanx11（x2x1）， x0x1,x2.21x0因为11 ，可得 21x0arctanx2arctanx1x2x1.

例2.3[3] 证明pbp1(ab)apbppap1ab,(p1,ab0).

证明 设函数，f(x)xp，则，f(a)f(b)apbp．不难看出f(x)在区间b,a上满足拉格朗日定理条件，于是存在b,a，使

f(a)f(b)(ab)f\'().由于f\'xpxp1，所以f\'()pp-1，上式为

apbp(ab)pp1.因为xp当p1时为单调增函数，ba，所以

bp-1p-1ap-1.两边同时乘以pab，则得

3

pbp1(ab)pp1(ab)pap1(ab)，

即

pbp1(ab)apbppap1(ab)， 证毕. 2.2.2 变量取值法

例2.4 证明不等式

babb-aln 成立，其中ba0.baa分析 （1）根据题中式子构造一个相似函数，fxlnx和定义区间a,b. （2）利用对数的四则运算法则，将对数式整理成拉格朗日中值定理所满足的形式，从而得出结论.证明 设fxlnx，xa,b.由拉格朗日公式（3），则有

lnbb-alnb-lna.（1） aab-a由不等式01，可推得

aab-ab及代入（1），

即

babb-aln.

证毕.baab评注 解此题关健在于观察要证明的不等式中把对数式ln拆开成

ab-abab-a.ba(ba)alnb-lna，再利用拉格朗日的公式来轻松地得出结论.例2.4 证明不等式

hln1hh，对一切h-1，h0成立.1h分析 此题首先利用对数的有关知识，构造了一个辅助函数lnx，再利用拉格朗日中值定理解出此题.证明 由拉格朗日公式（4），令a1，f(x)lnx.则有

ln1hln1h-ln1h1h01. ，（1）

当h0时，由不等式 01 ，可推得

4

11h1h及

hhh .（2） 1h1h当-1h0时，由不等式01，可知

11h1h0.由于h0， 可推（2）式成立，将（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.

评注 证明此种不等式的关健是构造一个辅助函数，再利用初等数学的有关知识来证明不等式.例2.5 证明若x0，则ex1x.

证明 令f(x)ex，则f(x)在R上连续、可导，且f\'(x)ex.

（0,x）情形一 当x0时，由拉格朗日定理知使

exe0e(x0).整理有exex.因为e1，所以有exx.

（x,0）情形二 当x0时，由拉格朗日中值定理知，使

e0exe(0x).整理有exxe.因为此时0e1，三边同时乘以x，0xex 所以exx成立.综上所述，当x0时，exx成立.从以上例题可以发现：灵活构造“a,b”的取值，不仅可使证明过程简单，有时甚至是解题的关键.2.2.3 辅助函数构造法

例2.6[4] 设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可导，又f(x)不为形如，使f\'()AxB的函数．证明至少存在一点（ab）证明 做辅导函数

g(x)f(a)则gx为形如AxB的函数．

因为f(x)不为形如AxB的函数，所以至少存在一点c(a,b)，使

f(b)f(a)(xa)，

baf(b)f(a).

ba

5

f(c)g(c),但f(a)g(a)，f(b)g(b).情形一 f(c)g(c)，此时

f(b)f(a)f(a)(ca)f(a)f(c)f(a)g(c)g(a)f(b)f(a)ba

cacacaba即

f(c)f(a)f(b)f(a).

caba（a,c）因为a,ca,b，所以由中值定理知1，使

f(c)f(a) ，

caf(b)f(a)从而有 f\'(1).

ba f\'(1)情形二 f(c)g(c)，此时

f(b)f(a)f(b)f(a)(ca)f(b)f(c)g(b)g(c)baf(b)f(a)， bcbcbaba即

f(b)f(c)f(b)f(a).

bcba因为c,ba,b，所以由拉格朗日中值定理，2(c,b)使得

f\'2从而有

f\'2fbfc，

bcfbfa.ba综上所述，在a,b内至少有一点使原式成立.证毕. 许多证明题都不能直接应用定理进行证明．利用拉格朗日中值定理证明问题时，如何构造辅助函数，是证明的关键.

6

3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用

3.1 泰勒中值定理

泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的开区间a,b内有直到n1阶导数，则对任一点x0(a,b)，有

f\'\'(x0)f(n)(x0)f(n1)()2nf(x)f(xo)f\'(xo)(xx0)(xx0)(xxo)(xx0)n12!n!(n1)! 其中是x0与x之间的某个值，上式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函数展开点x(a,b)的不同情况来证明不等式.3.2 利用泰勒公式证明不等式 3.2.1 中点取值法

选区间中点展开是较常见的一种情况，然后在泰勒公式中取x为适当的值，通过两式相加，并对某些项进行放缩，便可将多余的项去掉而得所要的不等式.下面以实例说明.例3.1[5] 设在区间a,b内，f\'\'(x)>0，试证：对于a,b内的任意两个不同点x1和x2，有 f(x1x2f(x1)f(x2)).22f\'\'xx02，

2!证明 将f(x)分别在a及b处展开，得

fxfx0f\'x0xx0其中是x0与x之间的某个值.上式中分别取xx1及x2，

f\'\'1x1x02,x1,x0； 2!f\'\'2x2x02,x0,x2. fx2fx0f\'x0x2x02! fx1fx0f\'x1x0上面两式相加，得

fx1fx22fx0f\'\'1x1x02f\'\'2x2x02.2!2!因为f\'\'(x)0，所以，fx1fx22fx0，即

7

xxfx1fx2 f12.

22注 (1)若题中条件“f\'\'(x)0”改为“f\'\'(x)0”，而其余条件不变，则结论改为

xxfx1fx2 f12.

22(2)若例1的条件不变，则结论可推广如下：

对a,b内任意n个不同点x1,x2xn及1，2，,n(0,1)且11，有

i1nnn fixiifxi.

i1i1例3.2 设函数f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，且f(ab)0，证明 2abMbafxdx,其中Mmaxf\'\'x.

axb243证明 将f(x)在x0ab处展开，得 2 fxfx0f\'x0xx0其中是 x0与x之间的某个值.因为f(f\'\'xx02.2!ab)0，所以有 2 fxf\'x0xx0上式在a,b作定积分，然后取绝对值

f\'\'xx02， 2!abfxdxf\'\'2f\'xxxxx000dx a2!b1 2baf\'\'x-x02Mdx2M3x-xdxb-a.0ab224 即

bafxdxMba3.2

48

3.2.2 端点取值法

当条件中出现f\'(a)f\'(b)0，而欲证式中出现厂f(a),f(b),f\'\'()，展开点常选为区间两端点a,b,然后在泰勒公式中取x为适当的值，消去多余的项，可得待证的不等式.例3.3 函数f(x)在区间[a，b]上二阶可导，且f\'(a)f\'(b)0，证明：在a,b内至少存在一点，使得f\'\'4fbfaba2. 证明 将f(x)分别在a及b处展开，得

f\'\'1xa2,1a,x； 2!f\'\'2xb2,2x,b. fxfbf\'bxb2!ab上面两式中取x，

2 fxfaf\'axabaf\'\'1baab ffaf\'a；

22!222baf\'\'2baba ffbf\'b.

222!22上面两式相减，并由f\'(a)f\'(b)0，得

2bafbfa8(ba)2f\'\'2f\'\'1.f\'\'2f\'\'18 记

f\'\'maxf\'\'1f\'\'2.其中，1或2.于是，有

2bafbfa4f\'\',即f\'\'4fbfaba2. 3.2.3 极值取值法

当题中不等式出现函数的极值或最值项，展开点常选为该函数的极值点或最

9

值点.例3.4[6] 设函数f(x))在区间a,b内二阶可导，且存在极值f(c)及点p(a,b)，使f(c)f(p)0，试证：至少存在一点(a,b)，使f\'(c)f\'\'()0. 证明 将f(x)在x0c处展开，得

fxfcf\'cxc其中， 介于c与x之间.上式取xp，并由f\'(c)0，得

fpfcf\'\'pc2， 2!f\'\'pc2， 2！其中介于c与p之间.两边同乘以f(c)，得

fpfcf2cf\'\'2fcpc， 2!ab（1）当x0a,时，上式取xa，得

2fx0即

f\'\'ax02baf\'\',a,x0.2!82f\'\'8ba2fx0.ab （2）当x0a,时，上式取xb，同理可得

2f\'\'8ba2fx0,x0,b.由(1)及(2)得，存在(a,b)，使得

f\'\'8maxfx.

ba2xa,b再由f\'\'(x)的连续性，得

10

maxf\'\'xxa,b8ba2xa,bmaxfx

注 (1)当题中条件“连续”去掉，而其他条件不变时，结论可改为在a,b内至少存在一点 ，使得

f\'\'8ba2xa,bmaxfx成立

(2)当题中条件添加maxf(x)0时，结论可改为：在a,b内至少存在一点

xa,b，使得f\'\'()8maxf(x)成立.2xa,b(ba)3.2.4 任意点取值法

当题中结论考察f(x),f\'(x),f\'\'(x)的关系时，展开点常选为该区间内的任意点，然后在泰勒公式中取x为适当的值，并对某些项作放缩处理，得所要的不等式.例3.5[7] 函数f(x)在区间a,b上二阶可导，且f(x)≤A，f\'\'(x)≤ B，其中A，B为非负常数， 试证：f\'x2ABba，其中x(a,b).ba2f\'\'xx02， 2! 证明 将f(x)在x0(a,b)处展开，

fxfx0f\'x0xx0其中介于x0与x之间. 上式中分别取xa及b，

fafx0f\'x0xx0fbfx0f\'x0xx0f\'\'1ax02,1a,x0； 2!f\'\'2bx02,2x0,b.2! 上面两式相减，得

fbfaf\'x0ba122f\'\'2bx0f\'\'1ax0.2

11

即

f\'x0fbfa122f\'\'2bx0f\'\'1ax0.ba2ba故

f\'x01fbfa1f\'\'2bx02f\'\'1ax02 ba2ba2ABbx02x0a2 ba2ba  2ABb-a.b-a22AB即f\'xba，再由x0的任意性，

ba2故有

f\'x2ABba，其中x(a,b).ba2例3.6 函数f(x)在区问a,b上二阶可导，且f(a)f(b)0，Mmaxf\'\'(x)，试证x[a,b]baMbafxdx.123证明 将f(x)在ta,b处展开，

fxftf\'txt其中车于t与x之间.上式中分别取xa及b，

faftf\'txtf\'\'1at2,1a,t； 2!f\'\'2bt2,2t,b.fbftf\'txt2!f\'\'xt2， 2!

上边两式相加，得

ft1122f\'tab2tf\'\'1atf\'\'2bt.24上式两端在a,b上对t作积分，

12

ba1b1b22ftdtf\'tab2tdtf\'\'1atf\'\'2btdt

2a4ab1b22ftdtf\'\'1atf\'\'2btdt.a4a于是有

ba1b22ftdtf\'\'1atf\'\'2btdt，

8aba1b2ftdtaf\'\'1atdt8b2 [f\'\'bt]dt2abMb2 aatdt8即

Mba.btdta1232baMbafxdx.

123注 从不等式的特点出发，应用实际范例给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点，已知区间的两端点，函数的极值点或最值点，已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好地运用泰勒中值定理证明不等式.

13

4 柯西中值定理在不等式证明中的应用

4.1 柯西中值定理

柯西中值定理 设函数fx，gx满足

（1）在闭区间a,b上连续；

（2）在开区间a,b内可导；

（3）对任一xa,b有gx0，

则存在a,b， 使得fbfa/gbga=f\'/g\'.4.2 利用柯西中值定理证明不等式

例4.1 设函数fx在-1,1内可微，f00,f\'x1，证明：在-1,1内，fx1.

证明 引入辅助函数gxx,在0,x或x,o上x1,1应用柯西中值定理，得

fx-f0f\'f\'.gx-g01

因为f00,g00,且fx1,所以

fxf1fxx1.gx例4.2[8] 证明不等式1xlnx1x21x2x0.证明 令fxxlnx1x2,gx1x21,则上式转化为fxgxx0.由于上应用柯西中值定理，得



fxfxf0f,gxgxg0g于是fxgx又转化为f\'g\'.

14

因为

2ln1fg1212112ln12

1而当x0时，12ln120,所以

f1fgfxgx, g即

1xlnx1x21x2.例4.3[9]

若0x1x2x2x1

2，求证：ex2ex1cosx1cosx2ex1.

x1ex2ex1ex1， 证明 证明eecosx1cosx2e，实际上只需证

cosx1cosx2设ftet,gtcost,则ft,gt在x1,x2上，满足柯西中值定理条件， 所以

fx2fx1f\'c cx1,x2.gx2gx1g\'cex2ex1ee即

0x1cx2.cosx2cosx1sinc2ex2ex1cosx1cosx2ec1cosx1cosx2eccosx1cosx2ex1.sinc其中用到11及ex是单调增加函数.sinc

15

5 积分中值定理证明不等式

5.1积分中值定理

定理5.1(积分第一中值定理) 若fx在区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点使得

fxdxfba,ab.

ab 定理5.2(推广的积分第一中值定理) 若fx,gx在闭区间a,b上连续，且gx在a,b上不变号，则在a,b至少存在一点，使得

fxgxdxfgxdx,ab.

aabb5.2 利用积分中值定理证明不等式

例5.1[11]

11x91dx. 证明

1010201xb 证明 估计积分fxgxdx的一般的方法是:求fx在a,b的最大值Ma和最小值m，又若gx0，则

mgxdxfxgxdxMgxdx.

aaabbb本题中令

fx因为

111，x0,1.21x10x1.,gxx90，1x所以

111119x919dxxdxdxx.0001010221x例5.2 证明2e14ex2xdx2e2.

02 证明 在区间0,2上求函数fxex2x的最大值M和最小值m.

16

fx2x1ex2x，令fx0，得驻点x1.21112上的最小值，而f2e2为比较f，f0，f2知fe4为fx在0，222上的最大值.由积分中值定理得 fx在0，e即

14200exxdxe220，

222eex2xdx2e2.

0142注 由于积分具有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如1和2例题时，可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.

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结束语

深入挖掘渗透在这一定理中的数学思想，对于启迪思维，培养创造能力具有重要 意义.伟大的数学家希尔伯特说“数学的生命力在于联系” ．数学中存在着概念之间的亲缘关系，存在着理论结构各要素之间的联系，存在着方法和理论之间的联系， 存在着这一分支邻域与那一分支邻域等各种各样的联系，因此探索数学中各种各样的联系乃是指导数学研究的一个重要思想．实际上，具体地分析事物的具体联系，是正确认识和改造客观世界必不可少的思维方式在一定的意义上说，数学的真正任务就在于揭示数学对象之间、数学方法之间的内在固有联系，这一任务的解决不断推动数学科学向前发展．

中值定理在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明.今后应当注重研究中值定理各定理之间的联系，更好的应用中值定理解决不等式的证明.

中值定理是一条重要定理，它在微积分中占有重要的地位，起着重要的作用，

18

参考文献

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致谢

从2008年9月到现在，我在黄淮学院已经渡过接近四年的时光．在论文即将完成之际，回想起大学生活的日日夜夜，百感交集.在大学学习的四年时间里，正是老师们的悉心指导、同学们的热情关照、家人的理解支持，给了我力量，从而得以顺利完成学业．在此对他们表示诚挚的谢意! 本论文是在导师钟铭的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.他对数学理论在经济，金融领域中的应用的想法和建议，使学生受益匪浅、铭刻终生.本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血.在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！

感谢数学科学系其他老师讲授的数学基础课程，为我夯实了数学研究的理论基础，他们是李东亚老师、魏本成老师、庞留勇老师、侯亚林老师等．感谢数学系全体领导、老师、同学创造了一个宽松，自由的学习环境.此外我还感谢室友冯克飞、王宁对我的论文完成过程中给我的指导，她们深厚的数学功底以及对数学应用软件操作等方面的知识给了我很大的帮助．

最后深深地感谢我的父母，把最诚挚的感谢送给他们，感谢他们无微不至的关心和支持，感谢他们的无私奉献以及为我所做的一切．

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推荐第7篇：有关中值定理的证明题

中值定理证明题集锦

1、已知函数f(x)具有二阶导数，且limx0f(x)0，f(1)0，试证：在区间(0,1)内至少x存在一点，使得f()0.证：由limf(x)，由此又得00 ，可得limf(x)0，由连续性得f(0)x0x0xf(x)f(0)f(x)f(0)limlim0，由f(0)f(1)0及题设条件知f(x)在[0,1]x0x0x0x上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 c(0,1)，使得f(c)0，又因为f(0)f(c)0， 并由题设条件知f(x)在[0,c]上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点，使得f()0.

2、设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)0，证明：存在一点(0,a)，使得f()f()0.

证：分析：要证结论即为：[xf(x)]x0.

令F(x)xf(x)，则F(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且F(0)F(a)0，因此故存在一点(0,a)，使得F()0，F(x)xf(x)在[0,a]上满足罗尔中值定理的条件，即f()f()0.注1：此题可改为：

设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)0，证明：存在一点(0,a)，使得

nf()f()0.

)nf()（0给分析：要证结论nf()f()等价于nn1f(nn1n，而nf()f()0即为[xf(x)]x0.nf()f()两端同乘以n1）故令F(x)xf(x)，则F(x)在[0,a]上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论.注2：此题与下面例题情况亦类似：

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0，x(0,1)，有f(x)0，证：nnN，(0,1)，使得

nf()f(1)成立.f()f(1)分析：要证结论可变形为nf()f(1)f()f(1)0，它等价于nfn1()f()f(1)fn()f(1)0(给nf()f(1)f()f(1)0两端同乘以fn1())，而nfn1(f)f()(fn1f)(即)为(1)0[fn(x)fx1(x，用罗尔中值定理)]0.以上三题是同类型题.

3、已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1)0，f()1，证明： （1）存在一点(,1)，使f().（2）存在一点(0,)，使f()1.

（3）存在一点x0(0,)，使f(x0)1(f(x0)x0).证：（1）分析：要证结论即为：f()0.

12121211111显然F(x) 在[,1]上连续，且F()f()0，F(1)f(1)110，

2222211因此F(x) 在[,1]上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在(,1)，使F()0，

22令F(x)f(x)x，则只需证明F(x)在(,1)内有零点即可。 即f().

（2）又因为F(0)f(0)00，由(1)知F()0，因此F(x) 在[0,]上满足罗尔中值定理条件，故存在一点(0,)，使F()0，即f()10，即f()1.（3）分析：结论f(x0)1(f(x0)x0)即就是F(x0)F(x0)或F(x0)F(x0)0，F(x0)F(x0)0ex0[F(x0)F(x0)]0，即[exF(x)]xx00.故令G(x)exF(x)，则由题设条件知，G(x)在[0,]上连续，在(0,)内可导，且G(0)e0F(0)0，G()eF()0,则G(x)在[0,]上满足罗尔中值定理条件，命题得证.

4、设f(x)在[0,x]上可导，且f(0)0，试证：至少存在一点(0,x)，使得f(x)(1)ln(1x)f().证：分析：要证结论即为： f(x)f(0)(1)[ln(1x)ln1]f(),也就是f(x)f(0)f()，因此只需对函数f(t)和ln(1t)在区间[0,x]上应用柯西中值定理1ln(1x)ln11即可.

5、设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，且g(x)0，证明：至少存在一点(a,b)，使得f()g()f()g().证：分析：要证结论即为： f()g()f()g()0,等价于

f()g()f()g()0，2g()即就是[即可.f(x)f(x)在区间[a,b]上应用罗尔中值定理]x0，因此只需验证函数F(x)g(x)g(x)

6、设f(x)在[x1,x2]上可导，且0x1x2，试证：至少存在一点(x1,x2)，使得x1f(x2)x2f(x1)f()f().

x1x2f(x2)f(x1)f(x)()xx2x1x证：分析：要证结论即为： ,因此只需对函f()f()111()xx2x1x数f(x)1和在区间[x1,x2]上应用柯西中值定理即可.xx此题亦可改为：

设f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，若0ab，试证：至少存在一点(a,b)，使得af(b)bf(a)[f()f()](ab).

7、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)0，试证： （1）(a,b)，使得f()f()0； （2）(a,b)，使得f()f()0.

证:（1）令F(x)xf(x)，利用罗尔中值定理即证结论.（2）分析：f()f()0e[f()f()]0[e22x22f(x)]x0，因此令F(x)ex22f(x)，利用罗尔中值定理即证结论.

8、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)1，试证：,(a,b)，使得e[f()f()]1.

[exf(x)]xe[f()f()]证：分析：要证结论即为1，即就是1.xe(e)x令F(x)ef(x)，令G(x)e，则F(x)和G(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知： xxebf(b)eaf(a)ebea，即就是e[f()f()].(a,b)，使得F()babaebeaebea，即就是e.(a,b)，使得F()babae[f()f()]因此，有1，即就是e[f()f()]1.e

9、设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a)，f(b)g(b)，试证：(a,b)，使得f()g().

0.证：分析：要证结论即为[f(x)g(x)]x令F(x)f(x)g(x)，

（1）若f(x)、g(x)在(a,b)内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c点处取得最大值，则F(a)F(c)F(b)0(acb)，则F(x)分别在[a,c]、[c,b]上满足罗尔中值定理条件，故1(a,c)，2(c,b)使得F(1)0，F(2)0.

由题设又知，F(x)在[1,2]上满足洛尔定理条件，故存在(1,2)，使得F()0，即就是f()g()].

（2）若f(x)、g(x)在(a,b)内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设f(x)在p点处、g(x)在q点处取得最大值，且pq，则F(p)f(p)g(p)，F(q)f(q)g(q)0，由零点定理知，c(p,q)(0,1)，使得F(c)0，由此得 F(a)F(c)F(b)0(acb)，后面证明与（1）相同.

10、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(x)0，若极限limxaf(2xa)存在，

xa试证：（1）存在一点(a,b)，使得

b2a2baf(x)dx22； f()22b（2）在(a,b)内存在异于的点，使得f()(ba)f(x)dx.；

aa证：（1）令F(x)xaf(t)dt，G(x)x2，则F(x)、G(x)在[a,b]上满足柯西中值定理

b2a2ba条件，故存在一点(a,b)，使得

b2a2af(t)dtf(t)dta2成立，即就是f()bab222成立，即就是2f(x)dx(ba)f()成立.af(x)dxf()（2）由（1）知，2ba22因此要证f()(ba)f(x)dx(b2a2)f()，

2bf(x)dx.，aa即要证f()(ba)221a(b2a2)f(，)即要证f()(a)f(，)由已知

xalimf(2xa)f(2xa)0，可得，lim从而得f(a)0，因此要证f()(a)f()，xaxa即要证f()(a)f()f(a)，显然只需验证f(x)在[a,]上满足拉格朗日中值定理条件即可。

推荐第8篇：第一讲 微分中值定理

第一讲 微分中值定理

教学内容：

1.罗尔定理；

2.拉格朗日中值定理； 3.柯西中值定理.教学目的与要求：

1.深刻理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；

2.熟练掌握用罗尔定理和拉格朗日中值定理证明等式或不等式解题方法.【教学重点】

拉格朗日中值定理.【教学难点】

与中值定理有关的证明.

§3.1 微分中值定理

一、罗尔定理（Rolle）

1.定理：

条件：（1）f(x)在闭区间[a,b]上连（3）f(a)f(b).结论：至少存在一点∈(a,b)，使f'()0（即方程f(x)0在

（2）f(x)在开区间(a,b) 内可导；

(a,b)内至少有一实根）.2、几何意义：在满足条件（1）（2）（3）的曲线弧上，至少有一点在该点处曲线的切线平行于x轴（如下图）

3.证明：分析：根据几何图形，预计值f(x)0的点可能是f(x) 在[a,b]上的最大值或最小值.证：由f(x)在[a,b]上连续存在M，m，使m≤f(x)≤M，x(a,b).

（1） 若mM,则f(x)≡M, 从而f(x)0，此时，任取一点

∈(a,b)，都有f'()0.（2）若Mm, 则M、m至少有一个不等于f(a)和f(b)，不妨设 即至少有一点∈(a,b)，Mf(a)f(b),则最大值M在[a,b]的内部达到，使Mf().下面证明f()0.由于Mf()为最大大值，所以, x(a,b)有f(x)f()0,于是

f(x)f()保号性 0， f'() f'()limxx可导另一方面，

f(x)f() f'() f()limxx可导'保号性0，

所以 0f'()0f()0.综上所述知，当条件成立时，至少有一点(a,b)，使f()0.

或者说f(x)0 在(a,b)内至少有一个实数根.例1 设a0aaa12n1an0，试证明方程 n1nn12a0xna1xn1an0

在0与1之间至少有一个实数根.证 （关键是构造一个函数f(x)，确定闭区间，使之满足罗尔定理的条件，且所作的函数f(x)应该使

f(x)a0xna1xn1an. 作函数f(x)a0n1a1naxxn1x2anx，取闭区间为[0,1]，显然， n1n2f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，又

f(0)0f(1)a0a1an， n1n于是，由罗尔定理知，至少存在一点

(0,1)，使f()0.即a0na1n1an0.即方程a0xna1xn1an0在(0,1)内至少有一个实数根.

二、格朗日中值定理

1、定理：

条件：（1）f(x)在闭区间[a,b]上连续；

（2）f(x)在开区间(a,b) 内可导.结论：至少存在一点∈(a,b)，使f()f(b)f(a).

ba

2、几何意义：在满足（1）、（2）的曲线段AB上，至少有一点处的切线平行于弦AB.

3、证明：

方法1：作函数(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa)（曲线与弦的

ba纵坐标之差），在[a,b]用罗尔定理即可证得结论.

方法2：分析：证明的关键是寻找一个满足罗尔定理条件的函数，寻找的方法是将结论式变形为f(b)f(a)(ba)f()0，令

F(x)f(b)f(a)(ba)f(x)，

由此可得F(x)(f(b)f(a))x(ba)f(x).

证：作函数F(x)(f(b)f(a))x(ba)f(x).显然F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导，又

F(b)F(a)(f(b)f(a))x(ba)f(b)[(f(b)f(a))a(ba)f(a)]

(f(b)f(a))(ba)(ba)(f(b)f(a))0，

即F(b)F(a)0.所以由罗尔定理知，至少存在一点(a,b)，使F()C.即f(b)f(a)(ba)f()f()，或

'f(b)f(a).

ba注：当ba时，公式也成立.

4、拉格朗日结论式的另外几种形式

（1）f(b)f(a)f(a(ba))(ba)，01.（这是因为ab0aba0aba1，令

aba即可.）

（2）f(xx)f(x)f()x(f(xx)x)，(x,xx) （取bxx,ax即可）

（3）yf(xx)x， 01.注：（3）式是y的精确表达式，而dyf(x)x只是y的近似表达式.故拉格朗日中值定理也称为有限增量定理或微分中值定理.

5、有关定理

定理 若x(a,b)，有f(x)0，则f(x)C.反之也真（显然）.即

f(x)0f(x)C.证：取一定点x0(a,b)，x(a,b)，只须证明f(x)f(x0)即可.因为f(x)在(a,b)内可导，所以f(x)在以x0和x为端点的闭区间上连续，开区间内可导，从而由拉格朗日中值定理知，存在在x0与x之间，使

f(x)f(x0)f()(xx0)0，

即f(x)f(x0).再由x0的固定性和

x的任意性知，x(a,b)，均有f(x)f(x0)，f(x)f(x0)（常数）.推论 若x(a,b)，有f(x)g(x)，则f(x)g(x)C（作F(x)f(x)g(x)，用上面的定理即可得证）.例2 验证f(x)x在[0,1]上拉格朗日中值定理的正确性.解 显然f(x)x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故至少存在一点

22(0,1)，使f(1)f(0)f()(10)， 下面求出具体的，由f(1)f(0)f()(10)

1102(0,1)，

2即确实存在(0,1)，使f(1)f(0)f()(10)成立.

三、柯西中值定理

定理： 条件：

1.f(x),F(x)在闭区间[a,b]上连续， 2.在开区间(a,b) 内可导，且 F(x)0；

f(b)f(a)f()结论：至少存在一点(a,b)，使成立.F(b)F(a)F()几何意义和证明过程详见教材P70.

四、三个定理之间的关系

因为在柯西中值定理中，取F(x)x即变为拉格朗日中值定理，在拉格朗日中值定理中，加条件f(b)f(a)即可得罗尔定理，故它们之间的关系是 罗尔定理特例f(a)f(b)推广拉格朗日中值定理

特例F(x)x推广柯西中值定理

小结

1.罗尔定理；

2.拉格朗日中值定理；

3.柯西中值定理.4.三个定理之间的关系

作业

练习： p71

习题 3.1: 1，2； 作业: p71习题 3.1: 6，7，9；

p97—99 第3章 (自测题) 1 (1)，(2)，(3)，(4)， 2 (1)，(2)，5.预习：第三章§3.2 p71—74,

推荐第9篇：【考研数学】中值定理总结

中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。

1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法

例 1 设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)f(1)f(0)0 试证至少存在一点(a,b)使得f()2f()1分析：把要证的式子中的  换成 x，整理得f(x)xf(x)2f(x)0(1) 由这个式可知要构造的函数中必含有f(x)，从xf(x) 找突破口 因为[xf(x)]xf(x)f(x)，那么把(1)式变一下： f(x)f(x)[xf(x)f(x)]0f(x)f(x)[xf(x)]0 这时要构造的函数就看出来了F(x)(1x)f(x)f(x)②原函数法

例 2 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，f(a)f(b)0，又g(x)在[a,b]上连续 求证：(a,b)使得f()g()f()分析：这时不论观察还是凑都不容易找出要构造的函数，于是换一种方法 现在把与f 有关的放一边，与g 有关的放另一边，同样把  换成 x

f(x)两边积分x)g(x)dxlnCf(x)Ceg(x)dxf(x)g(x) lnf( f(x)eg(x)dxC 现在设C0，于是要构造的函数就很明显了 F(x)f(x)eg(x)dx③一阶线性齐次方程解法的变形法

对于所证式为fpf0型，（其中p为常数或x 的函数）可引进函数u (x)epdx，则可构造新函数F(x)fepdx例：设f(x)在[a,b]有连续的导数，又存在c(a,b)，使得f(c)0 求证：存在(a,b)，使得f()f()f(a)ba分析：把所证式整理一下可得：f()f()f(a)ba0 [f()f(a)]1ba[f()f(a)]0，这样就变成了fpf0型1x 引进函数u (x)e－－xbadx＝eba （令C=0），于是就可以设F(x)eba[f(x)f(a)] 注：此题在证明时会用到f(c)f(b)f(a)ba0f(b)f(a) 这个结论

2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日

1 例 3 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 证明至少存在一点(a,b)使得bf(b)af(a)baf()f()

分析：很容易就找到要证的式子的特点，那么下可以试一下，不妨设 F(x)xf(x),用拉格朗日定理验证一 F()f()f()bf(b)af(a)ba(x1,x2)至少存在一点②柯西定理

例 4 设0x1x2，f(x)在[x1,x2]可导，证明在 1c，使得ex2x1ex2ex1f(c)f(c)ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要证的式子e1f(x2)eex1f(x1)f(c)f(c)e 这题就没上面那道那么 发现e1f(x2)exx2容易看出来了分子分母同除一下

f(x1)是交叉的，变换一下，ex1x2f(x2) ex2f(x1)e1x11x2于是这个式子一下变得没有悬念了eex1 用柯西定理设好两个函③k值法

仍是上题数就很容易证明了分析：对于数四，如果对柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那题该怎么办呢？ 在老陈的书里讲了一个 第一步是要把含变量与 以此题为例已经是规范 设常量的式子分写在等号的形式了，现在就看常k 整理得ex1两边量的这个式子x2

ex1f(x2)eex1x2x2f(x1)e[f(x1)k]e[f(x2)k] 很容易看出这是一个对 那么进入第二步，设称式，也是说互换x1x2还是一样的F(x1)F(x2)F(x)ex[f(x)k]，验证可知。 记得回带k，用罗尔定理证明即可④泰勒公式法

老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。

3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理

2 例 5 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，f(a)f(b)1 试证存在，(0,1)使得e[f()f()]1分析：首先把与分开，那么就有e[f()f()]e 一下子看不出来什么， 很容易看出那么可以先从左边的式子下手试一下xe[f()f()][ef()]，设F(x)ef(x) 利用拉格朗日定理可得F()eaef(b)ef(a)baexbba

再整理一下 e[f()f()]ebbaa只要找到eaba与e的关系就行了得到 这个更容易看出来了， G()e令G(x)e则再用拉格朗日定理就e[f()f()]ba②柯西定理（与之前所举例类似）

有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。

ebe

一、高数解题的四种思维定势

1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

二、线性代数解题的八种思维定势

1、题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。

2、若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。

4、若要证明一组向量a1,a2,„,as线性无关，先考虑用定义再说。

5、若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。

6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

7、若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。

8、若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

推荐第10篇：考研数学 中值定理问题的证明分析方法

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在考研数学中，有关中值定理问题的证明是一个比较难的考点，很多考生反映在做中值定理证明时没有思路，虽然看例题能明白，但自己做题时还是比较困难，之所以出现这种情况，主要原因在于这些同学没有掌握中值定理证明题的分析方法和技巧，没有掌握其证明规律，为了使大家能够掌握恰当的方法，下面中公考研数学辅导老师就以几个证明题为例来跟大家谈谈如何做分析证明题。

一、中值定理问题的证明分析方法

首先，做证明题同其它题一样，也要先仔细审题，认真解读题目的条件和要证的结论，理解其含义;

其次，做证明题需要先进行分析推理，分析的方向有两个，一个是根据题目的条件来向结论所在方向推导，另一个是由结论倒推条件，直到结论与条件挂上钩，二者联系在一起;

最后，也是做中值定理证明题不同于其它问题的地方，就是要充分理解各个中值定理的关键使用条件和方法，必要时作相应的辅助函数来进行证明。

二、中值定理问题证明实例

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此等式变形为某一个函数的导数的形式，并以此函数作为辅助函数来证明结论。对于中值定理问题的证明，大家还应该多做一些练习题来进一步提高解题能力。最后预祝各位学子在2016考研中能实现自己的梦想。

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第11篇：高等数学 极限与中值定理 应用

(一)1.xsinlimxlimxsin2xx1 22xx1(洛必达法则)1x2

=lim2x22xx1

2

2. xx limxlimsinxcosx1

1

3.x0sinxlimcosxx0limtanxsinxx3

sinx3limx sinx(1cosx)x0xcosx3

x3lim23x0x12

4.limxsinx3x0lim16x1cosx3x2 x0

（二） 1.若

limsinxeaxx0(cosxb)5，求常数a，b

lim(cosxb)xea sinx(cosxb)limxx0ea x0sinx由等价无穷小可得a=1

=lim(cosxb)xsinxexx05

b4

2.若x0,(x)kx,(x)21xarcsinxcosx

是等价无穷小，求常数K lim1xarcsinxkx2cosxx01

lim1xarcsinxcosxkx(1xarcsinx1xarcsinxcosx2kx2x02cosx)

limx0

x2arcsinxlimx0sinx1x4kx1x

)cosx\'lim31x2(x01x4k2

4k3k41

3.证明当X>02

时，(x1)lnx(x1)222

f(x)(x1)lnx(x1)则f(x)2xlnxx2xlnxx\'\'\'

1x2(x1)1x2

1x2f(x)2(lnx1)1

2lnxln1x21x211

x210\'再倒推可得：f(x)0

22f(x)0f(x0)，所以 (x1)lnx(x1)

（三）

1.设f(x)在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，且

f(a)0，，证明：(0,a)，使得f()f()0。

\'求原函数F(x)xf(x)

F(0)F(a)0满足罗尔定律，所以F(x)0

\'即 f()f()0\'

2.设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）上可导。且

f(0)0,f(1)1，证明

（1）c(0,1).推出f(c)1c （2），(0,1)有f()f()=1（）\'\'

（1）F(x)f(c)c1

F(0)1,F(1)1

由零点定理得c(0,1)有F(c)=0

所以c(0,1).推出f(c)1c （2）设(o,c),(c,1)得

f()f()\'\'f(c)f(0)c0f(1)f(c)1c1ccc1c\'

\'所以 ，(0,1)有f()f()=1（）

第12篇：微分中值定理的证明题[1]

微分中值定理的证明题

1.若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，f(a)f(b)0，证明：R，(a,b)使得：f()f()0。

证：构造函数F(x)f(x)ex，则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，

（a,b)，使F()0 且F(a)F(b)0，由罗尔中值定理知： 即：[f()f()]e0，而e0，故f()f()0。

2.设a,b0，证明：(a,b)，使得aebbea(1)e(ab)。

1111 证：将上等式变形得：ee(1)e()

baba1x11b11a111111作辅助函数f(x)xe，则f(x)在[,]上连续，在(,)内可导，

baba 由拉格朗日定理得：

11f()f()baf(1) 1(1,1) ，

11baba11b1a1ee1a(1)e

1(1,1) ，

即 b11baba

即：

aebbea(1)e(ab)

(a,b)。

3.设f(x)在(0,1)内有二阶导数，且f(1)0，有F(x)x2f(x)证明：在(0,1)

内至少存在一点，使得：F()0。

证：显然F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又F(0)F(1)0，故由罗尔定理知：x0(0,1)，使得F(x0)0

又F(x)2xf(x)x2f(x)，故F(0)0， 于是F(x)在[0，x0]上满足罗尔定理条件，故存在(0,x0)， 使得：F()0，而(0,x0)(0,1)，即证 4.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，f(0)0，f(1)1.证明： (1)在(0,1)内存在，使得f()1．

(2) 在(0,1)内存在两个不同的点，使得f/()f/()1

【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）

令F(x)f(x)1x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在(0,1), 使得F()0，即f()1.（II）在[0,]和[,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，存在两个不同的点(0,),(,1)，使得f()于是，由问题（1）的结论有

f()f()f()1f()11.11f()f(0)f(1)f()，f()

015.设f(x)在[0，2a]上连续，f(0)f(2a)，证明在[0,a]上存在使得

f(a)f().【分析】f(x)在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到

f(a)f()f(a)f()0f(ax)f(x)0

【证明】令G(x)f(ax)f(x)，x[0,a]．G(x)在[0,a]上连续，且

G(a)f(2a)f(a)f(0)f(a)

G(0)f(a)f(0)

当f(a)f(0)时，取0，即有f(a)f()；

当f(a)f(0)时，G(0)G(a)0，由根的存在性定理知存在(0,a)使得，G()0，即f(a)f()．

6.若f(x)在[0,1]上可导，且当x[0,1]时有0f(x)1，且f(x)1，证明：在(0,1) 内有且仅有一个点使得f() 证明：存在性

构造辅助函数F(x)f(x)x

则F(x)在[0,1]上连续，且有F(0)f(0)00，F(1)f(1)10，

由零点定理可知：F(x)在(0,1)内至少存在一点，使得F()0，即：f()

唯一性：（反证法）

假设有两个点1,2(0,1)，且12，使得F(1)F(2)0

F(x)在[0,1]上连续且可导，且[1,2][0,1] 

F(x)在[1,2]上满足Rolle定理条件

必存在一点(1,2)，使得：F()f()10

即：f()1，这与已知中f(x)1矛盾

假设不成立，即：F(x)f(x)x在(0,1)内仅有一个根，

综上所述：在(0,1)内有且仅有一个点，使得f()

17.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f()=1。试

2(x)=1。 证至少存在一个(0，1)，使f¢分析：f\'()=1f\'(x)=1f(x)=xf(x)x=0 令 F(x)= f(x)x 证明： 令 F(x)= f(x)x

F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导， F(1)= f(1)110(f(1)0) F(11111)= f()0(f()1) 222221由介值定理可知，一个(，1)，使

2 F()=0 又 F(0)=f(0)0=0 对F(x)在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使

F\'()=0 即 f\'()=1 8.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1)试证存在和.满足01，使f()f()0。

证 由拉格朗日中值定理知，

1f()f(0)12f() (0,)

12021f(1)f()12f()(,1)

121211f()f(0)f(1)f()20 f()f()211229.设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导(0ab),f(a)f(b), 证明: ,(a,b)使得 f()abf().(1) 2证: (用(ba)乘于(1)式两端,知)(1)式等价于

f()f()2(ba)(ba2).(2) 12

为证此式,只要取F(x)f(x),取G(x)x和x在[a,b]上分别应用Cauchy中值定理,则知

2f()f()2(ba)(ba2), f(b)f(a)12其中,(a,b).10.已知函数f(x)在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，0ab，证明存在,(a,b)，使32f/()(a2abb2)f/()

f/()f(b)f(a)解：利用柯西中值定理 2333ba而f(b)f(a)f/()(ba)

则

f/()f(b)f(a)f/()(ba)f/()（后面略） 22333323babaaabb/11.设f(x)在xa时连续，f(a)0，当xa时，f(x)k0，则在(a,af(a))k内f(x)0有唯一的实根

/解：因为f(x)k0，则f(x)在(a,af(a))上单调增加 kf(a)f(a)f/()/f(a)f(a)f()f(a)[1]0（中值定理）

kkk而f(a)0故在(a,af(a))内f(x)0有唯一的实根 k12t0tsin12.试问如下推论过程是否正确。对函数f(t)在[0,x]上应用拉tt00格朗日中值定理得：

1x2sin0f(x)f(0)111xxsinf()2sinc(0sx)

ox0x0x

即：cos12sin1xsin1)

(0x

x1xsin limx00，il2nsi0

因0x，故当x0时，由m010 x

得：limcosx0

10，即limcos010

解：我们已经知道，limcos010不存在，故以上推理过程错误。

首先应注意：上面应用拉格朗日中值的是个中值点，是由f和区间[0,x]的

端点而定的，具体地说，与x有关系，是依赖于x的，当x0时，不 一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使limcosx010成

立，而limcos010中要求是连续地趋于零。故由limcosx010推不出

0limcos10

13.证明：0x2成立xtgxx。cos2x

证明：作辅助函数f(x)tgx，则f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，

由拉格朗日定理知：

f(x)f(0)tgx1(0,x) f()x0xcos2即：tgx1x(0,)(0,)，因在内单调递减，故在cosx22cosx22cos111xxx即： cos20cos2cos2xcos2cos2x内单调递增，故

即：xtgx1。 cos2x

注：利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先由不等式出发，选择合适的函数f(x)及相应的区间[a,b]，然后验证条件，利用定理得

f()(ba(a,b)

f(b)f(a)，再根据f(x)在(a,b)内符号或单调

证明不等式。 14.证明：当0x时，sinxtgx2x。

2

证明：作辅助函数(x)sinxtgx2x

则(x)cosxsec2x2

12 cos2x1cos2x2 2cosxcosxx(0,)

2

(cosx0

12) cosx

故(x)在(0,)上单调递减，又因(0)0，(x)在(0,)上连续，

22

故 (x)(0)=0，即：sinxtgx2x0，即：sinxtgx2x。

注：利用单调性证明不等式是常用方法之一，欲证当xI时f(x)g(x)， 常用辅助函数(x)f(x)g(x)，则将问题转化证(x)0，然后在I上

讨论(x)的单调性，进而完成证明。

15.证明：若f(x)二阶可导，且f(x)0，f(0)0，则F(x),内单调递增。)

(0

f(x)在 x证明：因F(x)xf(x)f(x)，要证F(x)单调递增，只需证F(x)0， 2x

即证xf(x)f(x)0。

设G(x)xf(x)f(x)，则G(x)xf(x)f(x)f(x)xf(x)，因为

f(x)0，x0，故G(x)是单调递增函数，而G(0)0f(x)00，因此G(x)G(0)，即：xf(x)f(x)0，

即：F(x)0，即F(x)当x0时单调递增。

第13篇：中值定理题目分析总结答案

一：待证结论中只有ξ时采用还原法进行证明

工具：f’(x)/f(x)=[lnf(x)]’

第一题：分析xf’(x)+f（x)=0 f’(x)/f(x)+2/x=0 所以[lnf(x)]’+[lnx²]’=0 证明：构造辅助函数为ln后面的数相乘

令φ（x）=x².f（x） φ（x）∈[0,1]，φ（x）在（0,1）内可导φ0=φ1=0 ∃ξ

∈（0,1）使得φ’ ξ=0 而φ’x=2xf(x)+x²f’(x) ∴2ξf（ξ）+ξ²f’ (ξ)=0 ∵ξ≠0 ∴2f（ξ）+ξf’(ξ)=0 第二题方法相同此处省略答案解析 第三题（a，a+b/2） 和（a+b/2，b）分别应用零点定理，然后在应用Rolle可证 第四题若题目中出现数值相加的情况一定应用介值定理 f（x）∈（1,2）→fx [1,2]有m，M m≤[f（1）+f(2)]/2小于等于M ∃c∈[1,2]使得f（c）=[f(1)+f(2)]/2→f(1)+f(2)=2f(c) ∴f（0）=f（c） ∴∃ξ∈（0，c）⊂（0,2）是得f’(ξ)=0 第五题 由于我要一个个的码字太麻烦了提示一下应用柯西 第六题拉格朗日

第14篇：考研数学 中值定理证明题技巧

为学生引路，为学员服务

2018考研数学 中值定理证明题技巧

在考研数学中，有关中值定理的证明题型是一个重要考点，也是一个让很多同学感到比较困惑的考点，不少同学在读完题目后不知从何下手，不会分析证明，找不到思路，之所以会出现这样的情况，主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识，对其分析和证明方法没有完全理解和掌握，为了协助这样的同学克服这方面的困难，下面本文对这类题的特点和证明方法做些分析总结，供各位考生参考。

一、中值定理证明题的特点

中值定理证明题主要有以下一些特点：

1.中值定理证明题常常需要作辅助函数；

2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点，分别是：连续函数在闭区间上的性质（包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理），微分中值定理和积分中值定理；

3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次，比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理；

4.从历年考研数学真题变化规律来看，证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理则用得很少。

二、中值定理证明题的常用方法

中值定理证明题有不同的类型，对不同的类型需要运用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下几种：

1.如果题目条件中出现关于函数值的等式，而函数是连续的，则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明；对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质；

2.如果题目条件中出现关于定积分的等式，则可能需要运用积分中值定理；

3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明：

6、如果是要证明两函数差值比的中值等式，或证明两函数导数比的中值等式，则可能需要利用柯西中值定理进行证明。

对于上面总结介绍的各种证明方法，在实际问题中要根据具体情况灵活运用，另外，对于需要作辅助函数的证明题，常常通过还原法分析找出需要的辅助函数，对于含积分等式的证明题，常常需要作变积分限的函数作为辅助函数，这种方法也是证明积分等式或不等式的主要方法之一，这些分析总结希望对大家提高中值定理证明题的解题能力有所帮助。最后预祝各位考研成功、金榜题名！

第15篇：考研数学重点：中值定理证明题解题技巧

凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构

2018考研数学重点：中值定理证明题解

题技巧

考研数学中证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及，在此着重说说应用拉格朗日中值定理来证明不等式的解题方法与技巧。

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根据以上的攻关点拨和典例练习，相信同学们对该题型的解题训练有了一定的掌握。

需要提醒考生们，数学题目多，而且考查的知识点很综合，很多人担心自己做的少，碰到的知识点就会少一些，从而加快了解题速度，实际上考生最重要的是要注重对题目的理解，对基本知识的概括和各种题型解题技巧的能力训练，因此大家可以根据以上的攻关点拨和典例练习，这样加以积累练习，为以后的快速准确解题打下基础。

另外，数学试题切忌眼高手低，实践出真知，只有自己真正做一遍，印象才能深刻，才能了解自己的复习程度，疏漏的内容，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之后再抛弃答案自己再把题目独立地做一遍，一定要力求全部理解和掌握所考查的知识点。

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第16篇：习题课4—中值定理、洛比塔法则、泰勒、不等式证明

宁波工程学院

高等数学AI教案

习题课4——中值定理、法则、泰勒、不等式证明

1、必达法则求下列极限.lntan7x（1）lim

x0lntan2x

（2）limxex2x2

xx12lim()lim(cosx)（3）

（4）

x1x1lnxx02e2xex（5）lim

x3ex2e2x

2、lim{(aaa)/n}nxx1x11x11x21xn(ak0)（书后疑难）

1x21xn提示：limlnylimnx{ln(aaa)lnn}

xxttttln(a1ta2an)lnna1tlna1a2anlnanlimnlimnlna1a2an tttt0t0ta1a2an

3、已知f(x)在(, )内可导，且limf(x)e，（Lagrange定理）

x lim(xxcx)lim[f(x)f(x1)]，求c的值。

xxc提示：lim(xxcx2C)lim(1)xxcxcxc2c2cxce2c，

1。 2f(x)x

4、设函数f(x)具有二阶导数，f(0)0，f(0)1，f(0)2试求 limx0x2

5、① 设f(x)于`[0,)上有连续的一阶导数，且limf\'(x)a，则limf(x)； 由Lagrange定理，有f(x)f(x1)f()，于是，e2ce，cxx ② 设f(x)于`[0,)上可微且limf\'(x)0，则limxxf(x)0； xex1x

36、泰勒公式求极限lim 6x0sinx3高等数学课程建设组 解: （方法1）limex3ex31x62x3x0sinx3xe3limex31xx63x0lim3xe2x33x25x06x

lim1x02x3lim3x06x21。 2163166361xxo(x)1xxo(x)x3e1x12limlim2。 （方法2）lim2x0sin6xx0x0x6x6

7、证明：不等式arcsinxarccosx2(1x1)

8、设f(x)在[a,b]上二阶可导, 且f(a)f(b)0, f(x)0, 证明在(a,b)内f(x)0

9、证明三次代数方程至少有一个实根；

10、证明xx10只有一个实根；

11、设函数f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)f(b)0，令F(x)(xa)f(x)，证明在(ab),使F//()0.

12、设f(x)于[a,b]上连续，(a,b)内可导，ba0，则存在(a,b)使5f(b)f(a)f\'()lnb；a

13、求证：harctanhh,(h0)。21h提示：arctanharctan0h 1

214、设limf(x)1，且f(x)0，证明：f(x)x。

x0x证明：∵f(x)0，∴f(x)二阶可导，从而f(x)连续，

∴f(0)limf(x)limx0f(x)f(x)f(0)f(x)x0，f(0)limlim1，

x0x0xx0x0xf()2f()2xxx，介于0与x之间。 2!2!由泰勒公式得f(x)f(0)f(0)x

∵f(x)0，∴f()0，∴f(x)x。

高等数学课程建设组

第17篇：考研数学之高数考点预测：中值定理证明_毙考题

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2018考研数学之高数考点预测：中值定理证明

中值定理证明是高等数学重点难点，今年很有可能会考到，冲刺时间不多，小编带大家来把这些考点回顾巩固下： 中值定理是考研数学的重难点，这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质来证明(介值或零点定理)，若有导数则采用微分中值定理来证明(罗尔、拉格朗日、柯西定理)，这个大方向首先要弄准确，接下来就待证结论中有无导数分两块来讲述。

一、结论中无导数的情况

结论中无导数，接下来看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。

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第18篇：定理与证明

定理与证明(一)

教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

2、重点、难点分析

重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．

难点：推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．

（二） 教学建议

1、四个注意

（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据．

（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．

（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等．

（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由．

2、逐步渗透数学证明的思想：

（1）加强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为„„，所以„„”句式，“如果„„，那么„„”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．

（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图(垂线、平行线)的能力和在对要证命题的理解(如分清题设、结论)的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法．

（3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练．首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至

三、四步的推理．在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题．

教学目标：

1、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤．

2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论．

3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力．教学重点：证明的步骤与格式．

教学难点：将文字语言转化为几何符号语言．

教学过程：

一、复习提问

1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？

2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）

3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）

二、例题分析

例

1、证明：两直线平行，内错角相等．

已知：a∥b，c是截线．

求证：∠1＝∠2．

分析：要证∠1＝∠2，

只要证∠3＝∠2即可，因为

∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，

易得出∠3＝∠2．

证明：∵a∥b（已知），

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．

∵∠1＝∠3（对顶角相等），

∴∠1＝∠2（等量代换）．

例

2、证明：邻补角的平分线互相垂直．

已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，

OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．

求证：OE⊥OF．

分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．

证明：∵OE平分∠AOB，

∴∠1＝ ∠AOB，同理 ∠2＝ ∠BOC，

∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC）＝ ∠AOC＝90° ，∴OE⊥OF（垂直定义）．

三、课堂练习：

1、平行于同一条直线的两条直线平行．

2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

四、归纳小结

主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识．然后见投影仪．

五、布置作业

课本P143

5、（2）,7.六、课后思考：

1、垂直于同一条直线的两条直线的位置关系怎样？

2、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线位置关系怎样？

3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线位置关系怎样？

第19篇：定理与证明

《定理与证明》学案

【学习目标】

1．了解定理，证明的定义。

2．知定理必须证明是正确的命题后才可运用。 (重点)

3．会用几何语言证明一个命题。 (难点)

【问题导学】

1．阅读课本55页，写下并记忆五个基本事实。

1）两点确定一条直线；2）两点之间，线段最短；3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行。

2．认真阅读课本56页后回答：

① 什么是定理？定理的作用是什么？

数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断他们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

作用：揭示客观事实的本质属性，作为进一步确认其他命题真假的依据。

② 认真完成“思考”的问题，参照云图中的提示，判断结论的正确与否：可知第一个结论不正确.23571113159509 第二个结论不正确.钝角三角形 第三个结论正确.

对上面不正确的结论举反例说明。

③什么是证明？哪些可以作为证明的依据呢？

根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。

3．阅读“直角三角形的两锐角互余”的证明后回答：

③ 写出这个命题的条件和结论，总结证明命题的步骤。

④ 仿照例题步骤证明定理“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”

4.阅读课本57页读一读，写出证明的依据有哪些？

定义、基本事实、已经学过的定理，等式的性质、等量代换

【课堂检测】

课本练习的第一题和第二题【学习小结】

第20篇：定理与证明

定理与证明(二)

一、教学目标

1．了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据．

2．了解综合法证明的格式和步骤．

3．通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力．

4．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．

5．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法．

二、学法引导

1．教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合．

2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现．

三、重点·难点及解决办法

（－）重点

证明的步骤和格式是本节重点．

（二）难点

理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证．

（三）解决办法

通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点．

四、课时安排

l课时

五、教具学具准备

投影仪、三角板、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过引例创设情境，点题，引入新课．

2．通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授．

3．通过提问的形式完成小结．

七、教学步骤

（－）明确目标

使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。

（二）整体感知

以情境设计，引出课题，引导讨论，例题示范讲解新知，以练习巩固新知．

（三）教学过程

创设情境，引出课题

师：上节课我们学习了定理与证明，了解了这两个概念．并以证明“两直线平行，内错角相等”来说明什么是证明．我们再看这一命题的证明（投影出示）．

例1已知：如图1， ， 是截线，求证： ．

证明：∵ （已知），∴ （两直线平行，同位角相等）．

∵ （对项角相等），∴ （等量代换）．

这节课我们分析这一命题的证明过程，学习命题证明的步骤和格式．

［板书］2.9定理与证明

探究新知

1．命题证明步骤

学生活动：由学生分组讨论以上命题的证明过程，按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步．

【教法说明】根据上一节“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明过程让学生讨论、分析、归纳命题证明的一般步骤，一是可以加深对命题证明的理解，二是培养学生归纳总结能力。在总结步骤时，学生所说的层次不一定有逻辑性，或不太严密，教师要注意引导，使学生分清命题证明几个步骤的先后层次．

根据学生讨论，回答结果．教师归纳小结，师生共同得出证明命题的步骤（出示投影）：第一步，画出命题的图形．

先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出．还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步，结合图形写出已知、求证．

把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．

第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程．

学生活动：结合“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明，理解以上命题证明的一般步骤（给学生一定时间理解记忆）．

【教法说明】在以上第二个步骤中，将文字语言转化为符号语言是教学中的难点，要注意在练习中加强辅导，第三步由学生独立完成有困难，要逐步培养训练，现阶段暂不要求学生独立完成．

反馈练习：（1）画出证明命题“两直线平行，同旁内角互补”时的图形，写出已知、求证．

（2）课本第112页A组第5题．

【教法说明】由学生依照例1“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明画出图形，写出已知、求证，巩固命题证明的第

一、二步．

2．命题的证明

例2证明：邻补角的平分线互相垂直．

【教法说明】此例题完全放手让学生独立完成有一定困难，但教师也不能包办代替，最好通过让学生分步讨论，同桌互相磋商，分步完成的方法，使学生对命题证明的每一步都进一步理解，教师可以给学生指明思考步骤．

（1）分析命题的题设与结论，画出命题证明所需要的图形．

邻补角用图2表示：

图2

添画邻补角的平分线，见图3：

图3

（2）根据命题的题设与结论写出已知、求证．邻补角用几何符号语言提示： ，角平分线用几何符号语言表示： ， ，求证邻补角平分钱互相垂直，用符号语言表示： ．

（3）分析由已知谁出求证途径，写出证明过程．

有什么结论后可得 （ ），由已知可以推导 吗？学生讨论思考．

【教法说明】以上步骤的完成教师只提供思路，具体结论的得出与操作要由学生独立完成．找一个学生到黑板上板演，其他同学在练习本上写出完成整过程．

已知：如图， ， ， ．

求证：

证明：∵ （已知），又∵ ， （已知），∴ ．

∴ （垂直定义）．

证明完成后提醒学生注意以下几点：

①要证明的是一个简单叙述的命题，题设和结论不明显，可以先根据题意画出图形．如例2，结合图形分析命题的题设和结论．

②在写已知、求证的内容时，要将文字语言转化为符号语言来表示，转化时的写法也不是惟一的，要根据使用的方便来写，如： 与 互为邻补角，在已知中写为 ，角平分线有几种表示方法，如 是 的平分线， ， ，根据此题写成 较好，方便于下面的推理计算．

③对命题的分析、画图，如何推理的思考过程，证明时不必写出来，不属于证明内容．

反馈练习：按证明命题的步骤证明：“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角相等．”

【教法说明】由学生独立完成，找学生板演，发现问题教师及时纠正．

3．判定一个命题是假命题的方法

师：以上我们的推理是说明一个命题是真命题的判定方法．那么如何判定一个命题是假命题呢？如“相等的角是对项角”，同学们都知道这是一个假命题，如何说明它是一个假命题呢？谁能试着说明一下？

【教法说明】教师先不告诉学生判定一个命题是假命题的方法，而是由很明显的“相等角是对顶角”这一假命题，让学生自己尝试着去说明，体验从反面去说明一个问题的方法，然后教师归纳小结．

根据学生说明，教师小结：

判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，也就是说你所举命题符合命题的题设，但不满足结论．如“同位角相等”可如图， 与 是同位角但不相等就说明“同位角相等是假命题”．

反馈练习：课本第111页习题2.3A组第4题．

【教法说明】在做以上练习时一定让学生学会从反面思考问题的方法，再就是要澄清一些错误的概念．

反馈练习

投影出示以下练习：

1．指出下列命题的题设和结论

（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

（2）两个角的和等于直角，这两个角互为余角．

（3）对项角相等．

（4）同角或等角的余角相等．

2．画图，写出已知，求证（不证明）

（1）同垂直于一条直线的两条直线平行．

（2）两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

3．抄写下题并填空

已知：如图， ．

求证： ．

证明：∵ （），

∴ （）．

∴ （）．

【教法说明】以上练习让学生独立完成，第1题主要是训练学生分清命题的题设和结论；第2题是训练学生把命题转化为几何语言、几何图形的能力；第3题是让学生进一步体会命题证明的三个步骤．

总结、扩展

以提问的形式归纳出本节课的知识结构：

八、布置作业

（－）必做题

课本第110页习题2.3A组第3（2）、（3）、（4）题．

（二）思考题

课本第112页B组第l、2题．

作业答案

A组（略）

B组1．已知两直线平行，同旁内角互补。

（两直线平行，同旁内角互补） （同角的补角相等）．

2．已知：如图， ，、分别平分 与 ．求证： ．

《中值定理证明.doc》

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