高等数学 极限与中值定理 应用

(一)1.xsinlimxlimxsin2xx1 22xx1(洛必达法则)1x2

=lim2x22xx1

2

2. xx limxlimsinxcosx1

1

3.x0sinxlimcosxx0limtanxsinxx3

sinx3limx sinx(1cosx)x0xcosx3

x3lim23x0x12

4.limxsinx3x0lim16x1cosx3x2 x0

（二） 1.若

limsinxeaxx0(cosxb)5，求常数a，b

lim(cosxb)xea sinx(cosxb)limxx0ea x0sinx由等价无穷小可得a=1

=lim(cosxb)xsinxexx05

b4

2.若x0,(x)kx,(x)21xarcsinxcosx

是等价无穷小，求常数K lim1xarcsinxkx2cosxx01

lim1xarcsinxcosxkx(1xarcsinx1xarcsinxcosx2kx2x02cosx)

limx0

x2arcsinxlimx0sinx1x4kx1x

)cosx\'lim31x2(x01x4k2

4k3k41

3.证明当X>02

时，(x1)lnx(x1)222

f(x)(x1)lnx(x1)则f(x)2xlnxx2xlnxx\'\'\'

1x2(x1)1x2

1x2f(x)2(lnx1)1

2lnxln1x21x211

x210\'再倒推可得：f(x)0

22f(x)0f(x0)，所以 (x1)lnx(x1)

（三）

1.设f(x)在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，且

f(a)0，，证明：(0,a)，使得f()f()0。

\'求原函数F(x)xf(x)

F(0)F(a)0满足罗尔定律，所以F(x)0

\'即 f()f()0\'

2.设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）上可导。且

f(0)0,f(1)1，证明

（1）c(0,1).推出f(c)1c （2），(0,1)有f()f()=1（）\'\'

（1）F(x)f(c)c1

F(0)1,F(1)1

由零点定理得c(0,1)有F(c)=0

所以c(0,1).推出f(c)1c （2）设(o,c),(c,1)得

f()f()\'\'f(c)f(0)c0f(1)f(c)1c1ccc1c\'

\'所以 ，(0,1)有f()f()=1（）

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