高中数学教学与信息技术整合的探索

高中数学教学与信息技术整合的探索 ——记数学教学“整合”实验二例 浙大附中陈金康姚绮

一、问题的提出

随着社会资源信息化进程的推进，中学的数学教学呈现了一个新的领域——数学教学与信息技术的整合。

学生是学习的主体，在数学学习中，有算式，算理的运算与推理，有对事物的数量、形状、运动状态的分析；还有用数学概念进行的“数”“形”的转化。 学生在学习中思维状态要对很多事物进行归纳、探究、验证。

学生在学习中需要与教师交流，学生之间也需要交流，甚至有学生之间的解题比赛。 这些操作、思考与交流中若与信息技术整合起来，可较大地提高教学的效果。 那么，数学教学与信息技术整合需要哪些准备呢？ 整合的教学理念是什么。 整合的教学条件是什么。

二、整合的教学理念

学生是学习的主体，教师的主导作用是构建教学的情境。让学生在一定的条件下去思考，操作与交流。从而提升学生的数学素养，科学素养。就是说，让学生在一种积极主动的状态下学习，通过有目的的，自觉的数学思维与操作学习数学，成为整合课的关键。而这种整合主要依靠教师的教学整合设计和教学过程的调控，使学生发现数学的内在规律，形成内在联系。达到对数学本质的理解和应用。这就是整合的全过程。 信息技术为创设这种情境提供了可能。

信息技术为“多元联系表示”提供了较为有力的工具。

信息技术为复杂、重复的运算、制图，提供了简洁、快速的工具。 “多元联系表示“就是使用多种方法来表示同一数学的概念，其中不同的表示方法有不同的侧重。

在《直线与圆位置关系》这一堂公开课中： 直线与圆相交————两个公共点 直线与圆相切————一个公共点 直线与圆相离————无公共点

距离d，圆半径r——当d=r时，直线与圆相切 当dr时，直线与圆相离

直线的平行移动————方程系数的不同赋值。 在《线性规划的应用问题》这堂公开课中： 二元一次不等式组————平面区域

直线方程的斜率，截距————直线的倾斜角、直线与y轴的交点 目标函数————直线

不等式的变化————不等式系数的不同赋值。

学生通过对这些数学概念内涵的不同侧重面的理解与表达，了解了同一个数学概念有“数”与“形”两种不同的意义。它可以帮助学生把握数学概念、法则在不同情况下的特征。扩大了他们思考的空间，从而大大地增强了他们对事物特征的理解与把握。

信息技术还为“数学实验”提供了广阔的天地。在《直线与圆位置关系》中，学生可以用在圆周上取任意一点，验证圆周上点与直线的距离d与圆半径r的关系，使学生掌握“事物是运动着的”这一重要的哲学思想。在《线性规划的应用问题》中同样学生可对目标函数的系数赋不同的值来反复探究哪一条表示目标函数的直线能使我们找到最值。

这种“验证”与“探究”使学生慢慢提升科学求证的素养。信息技术的运用比只靠纸与笔的反复运算作图不知提高了多少倍的效率。使“验证”与“探究”在中学教学成为一种可能。 信息技术还为师生、生生交流提供了一个舞台。这两堂课教师可以通过监控随时了解每位学生操作的过程，也为学生之间互相交流提供了条件。教师可以随时打开某位学生操作的显示屏供大家评价。让学生之间互相借鉴，取长补短，也能欣赏与品尝别人与自己的学习成果。 信息技术还能使学习环境变得丰富多彩。在这两堂课中，很多学生在“显示直线”、“显示平面区域”中采用了自己喜欢的不同色彩，使显示屏中的图线漂亮且引人注目，大大提高了学习的效果。

在整合过程中，学生的数学思维得到了充分展示。在《直线与圆位置关系》这堂课中，圆周上不同点的验证，直线的反复移动，让学生自己总结出一般的结论。然后又用这一般的结论去解决类似的其他问题。归纳、验证→一般结论→演绎→解决具体问题。这样的思维轨迹比传统的套用公式与结论丰富得多，深刻得多。这样的思维轨迹若能不断地演习，能在提高学生的科学素养方面起到极大的作用。

三、整合的教学条件 当然，硬件是一个必要的条件，这几年教育投入的加大为学校在电脑等设备的配置上提供了保障。还有更可喜的是社会，特别是家庭大都配置了电脑，很多学生的计算机操作是校外学会与提高的。学校开设的信息技术课更是让每一位学生得到了平等的教育。

但从目前的情况来看，要把数学教学与信息技术整合起来，对师资提出了更高的要求；教师不仅要能熟练地操作电脑，还要能很合理地把数学概念、法则在信息技术中构建多元联系的表示，充分发挥信息技术的这个有力的工具。譬如，《直线与圆位置关系》与《线性规划的应用问题》这两堂课中所使用的几何画板与线性规划模块要靠几位教师自己去开发肯定是不行的。最好能有专门的人员从事这类问题的制作。 任何一种教学不能缺少的是评价机制。目前阶段我校的实验也仅仅是初创阶段，只局限于一些感性的评价。我们想在继续进行整合实验的基础上深入研究整合教学的评价体系。

总之，整合教学的条件是：

1、硬件的配置；

2、数学教学多元联系的构建与设计；

3、基础软件的开发；

4、评价体系的建立。

目前还存在的问题，教师建议信息技术课程也必须进行配套的改革。譬如，一些数学及其他学科常用的一些基本模块的使用，如几何画板等的使用应该在信息技术课程中实施教学。实际上整合教学应该是中学教学中的系统工程。

还有在整合教学中师生的情感交流往往会显得比较缺乏，整合教学中有机机对话，人机对话；缺少人与人之间的情感交流会使得课堂缺乏生气和活力。这也是我们下阶段在实验中有待研究的一个主要问题。

数学教学与信息技术的整合毕竟是大势所趋，不管困难有多大，只要有心去研究肯定会给中学数学教学带来革命性的变化。 附两课例：

数学教学与信息技术整合课例一

——用几何画板辅助进行直线与圆位置关系的教学

一、教学目标：

掌握直线与圆的三种位置关系及其判定方法。

掌握利用数形结合解决与直线、圆有关问题的思想方法。

会利用“几何画板”形象地展示问题，加深对问题的理解并探寻解题的思路。 会使用“几何画板”求解一些简单的数形结合问题。

培养学生观察、探究、动手能力以及发散性思维和创造性思维。

二、教学重点、难点：

1、教学重点：如何求解“圆上到直线距离为a(a>0)的点的个数”问题。 解决方法：

①利用“几何画板”求解（让学生有一个感性的认识）：作出圆和直线的图形，在圆上取一点，度量出点到直线的距离，然后让点在圆上移动，观察满足条件的点的个数。

②利用“几何画板”探寻解题思路，通过“几何画板”的演示，启发和引导学生将问题逐渐转化：

点到直线的距离→两平行直线间距离

圆上一点P到直线l的距离的最值问题→过P点的直线与圆相切的问题

圆上到直线距离为a(a>0)的点的个数→到直线的距离为a的两条平行线与圆的交点个数 通过具体问题的分析、讲解，由学生归纳出一般结论，最后用于指导具体问题的操作。 在该问题的解决过程中，采用“几何画板”求解和常规方法求解相结合，同时培养学生的探索精神、动手能力和学生的基本技能以及解题能力。 教学难点：

学生能熟练使用“几何画板”，对于一些简单的问题会设计过程、寻找思路并解得答案。 解决方法：

事先通过培训使学生掌握一些基本的操作方法，了解“几何画板”所能解决的问题。在课堂上通过例题的讲解和示范，使学生对如何将一个数学问题中的条件在“几何画板”中呈现出来，对问题答案的求解又可以通过“几何画板”中的什么操作来完成这整一个过程有一个清晰的认识；然后在老师的指导下让学生对类似问题的求解进行操练并且不断深化，使学生基本掌握使用“几何画板”求解一些简单的数形结合问题的方法和过程。

三、教学过程

1、直线与圆的位置关系

按直线与圆的交点个数分：相交（两个公共点）、相切（一个公共点）、相离（无公共点） 判别方法（根据圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系）： 相交（dr）

2、直线与圆位置关系的应用（数形结合问题） 例

1、

[分析] 借助“几何画板”，在圆上取一点P，度量出它到直线的距离，通过动态演示，对所求点的位置给学生一个直观印象。

将点到直线的距离转化为两条平行线（过P点作已知直线的平行线）间的距离，而当两条平行线间距离最大时，过P点的直线与圆刚好相切，此时距离为r+d（其中d为圆心到直线的距离）。进一步将结论推广：直线截圆所得的劣弧上的点到直线的距离的最大值为r-d（该结论由学生自己得出）。

例1的结论为后续应用作了铺垫。 例

2、的点的个数。

[分析] 利用“几何画板”求解：作出圆和直线的图形，在圆上取一点，度量出点到直线的距离，然后让点在圆上动，观察满足条件的点的个数。

另解：到直线的距离为1/2的点的轨迹是两条平行线，这两条平行线与圆的交点就是满足条件的点。（该结论为利用常规方法解此类型问题提供了思路。）

巩固练习（在老师的指导下，让学生自己利用“几何画板”对类似问题的求解进行操练，增强动手能力）： （该练习由学生作图、求解，然后让一位同学演示结果） 将上述问题一般化，提出：

已知圆C与直线l，讨论圆上到直线距离为a(a>0)的点的个数。

为降低难度，先考虑问题：已知圆C与直线l相交（设直线不过圆心），圆半径为r，圆心C到直线l的距离为d(d>0)，讨论圆上到直线距离为a(a>0)的点的个数。考虑到到直线的距离为a的点的轨迹是两条平行线，因此这两条平行线与圆的交点个数即满足条件的点的个数。制作动画，让两条平行线从与直线l重合的位置向两侧平移，通过该动画让学生观察这两条平行线与圆的交点个数与a、r以及d的关系，最后由学生自己总结出一般结论： 当0

当a=r-d时，3个(其中1个是点B，另两个点在优弧上)； 当r-dr+d时，0个。

通过这一结论的得出可以有效地培养学生的观察、探究和归纳总结的能力。这一结论又为我们提供了利用常规方法解决该类问题的一种具体操作模式和求解方法。 作为该方法的一个具体应用，再看下面一个练习：

[略解] 满足条件的点有4个。

对该问题的讨论我们最先由一个具体例子引出，然后归纳出一般结论，最后用于指导具体问题的操作，是一个从归纳到演绎的过程。

同时该问题又可以进一步深化和推广：当圆与直线l相切或相离时，讨论圆上到直线距离为a的点的个数。（此问题留给学生课后思考）

四、教学特点：

该课是对信息技术与数学课堂教学相结合的尝试，着重培养学生利用“几何画板”解决数学问题的能力，并且兼顾常规的基本技能的培养。

整个教学过程师生共同完成，体现学生自主学习，同时学会探究问题，贯彻启发式教学，体现以学生为主体的教学原则。 信息技术与数学教学整合课例二

——用线性规划作图模板学习线性规划的应用问题 教学目标：

掌握用二元一次不等式表示平面区域。

学会用线性规划作图模板做简单的线性规划式题和简单的实际应用问题。 了解生活中的线性规划。

理解线性规划中“数”和“形”结合的思想。 培养学生探究、动手的能力和创造性思维。 教学重点、难点：

教学重点：二元一次不等式表示平面区域。 解决方法：

1）通过老师在教师机上演示用线性规划作图模板作图，使得学生对用二元一次不等式表示平面区域有个感性的认识。（同时，通过老师演示教学生如何使用此作图工具）

2）让学生利用线性规划作图模板自己动手在电脑上作图，进一步增强对此的理解。 教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答。 解决方法：

老师先做一个应用问题给学生，指出解决线性规划应用问题的一般步骤：根据题意列表——设出变量，找出目标函数——列出满足题意的线性约束条件（二元一次不等式组）——用线性规划作图模板作出可行域，得到目标函数值。 学生自己在教师题库中找题应用。 教学准备：

线性规划作图模板，线性规划教师题库（网上共享），网络教室。 教学流程：

学习目标—朝花夕拾—简单式题—应用问题—实践一刻—数学生活—作业 教学过程：

1、提出学习目标：线性规划简单式题应用； 线性规划实际应用问题； 生活中的线性规划。

2、朝花夕拾：直线划分平面区域：

使学生明白：二元一次不等式组——平面区域

直线方程的斜率、截距——直线的倾斜角、直线与y轴的交点 目标函数——直线

不等式的变化——不等式系数的不同赋值

3、简单式题：

实践一刻：（学生利用多媒体师生互动平台和线性规划模板实践）

4、应用问题：

例：某基金会准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份是由金融投资70万元，房地产投资90万元，电脑投资75万元组成。进取型组合投资每份是由金融投资40万元，房地产投资90万元，电脑投资150万元组成。已知每份稳健型组合投资每年获利25万元，每份进取型投资每年获利30万元，若可用资金中，金融资金不超过290万元，房地产资金不超过450万元，电脑资金不超过600万元，那么这两种组合投资各投入多少份，能使一年获利总额最多？ 分析：先根据题意列表——再设变量，确定目标函数——用线性规划作图模板作出线性约束条件表示下的可行域——用平移直线的方法找到目标函数的最优解。 再次实践：

练习：北京华欣公司计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK智能型”洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品有关数据如下表： 试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？ 以上实践一刻中实践具体安排：

分组选题：进入教师题库，分组选题，组长定题。

组内实践：每位同学分别实践，组长快速完成后检查组员答题情况，并确定同学进行展示。 交流结果：每组选一位同学通过互动平台用自己的计算机展示过程和结果，其它同学核对和质疑。

5、数学生活：

迟到所引起的焦虑可以规划吗？

迟到的经验似乎已成为不少都市人生活的一部分。但对于一个有责任感的赴约者，迟到始终会引起焦虑不安的感觉。利用线形规划（linear programming）把这种焦虑更具体地描绘出来，或许有助改善迟到的情况。

假若A君和B君互订以下的商务约会协议：

（一）双方必须在约会时间过后的30分钟内到达约会地点，

（二）若一方到达时不见对方，最多只会等候10分钟。根据这两个条件，设x 和 y分别为两人抵达约会地点的时间（约会时间为0），便可用以下的不等式（inequalities）把约会的约束条件（constraints）描述出来：

设I为焦虑指标，并定义为一部分比（partial variation），一部分比与x成正比，而另一部分则与 y成正比，以表示两人约会时须共同承担迟到而引起的焦虑。根据这定义，I= f(x,y)=ax+by ， a与b为正常数。

得到结论：在生活中诸如此类的一些约会中，即使符合所有约会协议的条件，最后一秒才赶到，始终须承担最大的焦虑。若然双方皆不失约的话，准时到达约会地点才是最理想的做法。

6、作业：

教师题库内自选两题完成（一个式题，一个应用题） 自编一个线性规划的应用题

六、教学特点：

1、利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能的使用各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。线性规划是一个与生活实际联系比较大的知识，它要求学生在学习线性规划简单内容的基础上，发现周围生产和生活实际中的线性规划问题（比如物资调运问题，产品安排问题，下料问题等），并予以解决。

2、整个教学过程由师生共同完成，学生自主动手学习，学会探究问题，解决问题的的能力，体现以学生为主体的教学原则。

信息技术与高中数学教学整合的探索[文献综述]

现代信息技术与高中数学教学的整合

信息技术与药理学教学整合的探索

探索信息技术与初中语文教学的整合

信息技术与化学教学整合的探索

化学教学与信息技术整合的探索

高中数学教学与信息技术整合的探究 (3)

信息技术与学科整合的探索

信息技术与课程整合的探索

信息技术与学科教学整合的实践探索

《高中数学教学与信息技术整合的探索.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印

推荐度：

点击下载文档