用余弦定理证明勾股定理并非循环论证

用余弦定理证明勾股定理并非循环论证

大家都知道，勾股定理不过是余弦定理的一种特例，所以用余弦定理证明勾股定理就很容易；但是长期以来，有一种观点认为，余弦定理不能用来证明勾股定理，原因是余弦定理是用勾股定理证明出来的，然后用余弦定理又来证明勾股定理就是循环论证，说到这里，我就纳闷了，难道证明余弦定理非要直接或者间接的用到勾股定理？NO ！简直是谬论，出于兴趣，偶在网上找到了一种证明余弦定理的方法，证明的过程和勾股定理扯不上一点关系。据说是伟大的科学家爱因斯坦在12岁时, 在未学过平面几何的情况下, 基于三角形的相似性, 找到的这一巧妙和简单的证明余弦定理的方法。天才就是天才，汗……

让我们看看天才是怎样一步一步证明余弦定理的：

如图, 在△ABC 中, 过C 点作线段CD, CE 交AB 于D, E, 使∠ACD = ∠B, ∠BCE = ∠A。显然有：

因为 △ACD ∼ △ABC ∼ △CBE, 所以：

AC*AC = AD * AB, ①

BC*BC = BE * AB，②

∠ADC = ∠CEB，△CDE是等腰三角形

AC / AB = CE / BC = CD / BC，

即: CD = AC * BC / AB③

而∠CDE = ∠CED = ∠A + ∠B, 由余弦定义知,

cos(A + B) = cos ∠CDE =（1/2 * DE）/CD.

于是 DE = 2 *（CD * cos∠CDE）= 2 * CD * cos(A + B)。

将③代入得 :

DE = 2AC*BC/AB* cos(A + B)④

根据①②④，便可以推导出：

AC*AC + BC*BC

= (AD + BE) * AB将①②代入

= (AB − DE) * AB

= AB*AB − DE * AB

= AB*AB − 2AC*BC/AB*cos(A+B) * AB将④代入

= AB*AB −2AC·BC cos(A+B)

= AB*AB + 2AC·BC cos∠ACB。

即：AC*AC + BC*BC = AB*AB + 2AC·BC cos∠ACB。⑤

⑤便是众所周知的余弦定理啦

如此便证明了余弦定理。在图中, 若D,E重合到虚线的位置, 则∠ACB 为直角, 余弦定理变为勾股定理，因此，用类似的方法也可以证明勾股定理。由以上看到，证明余弦定理并非一定要涉及到勾股定理。

所以用余弦定理证明勾股定理不存在所谓的循环论证。所以说，请不要认为用余弦定理证明勾股定理的方法是错误的，除非事先说明不允许用余弦定理，否则偶认为用余弦定理证明勾股定理是最简单的一种证明方法，大家都知道 a = 90°时 cos(a) = 0，代入余弦定理便得到勾股定理。

参考文献：再談畢氏定理與餘弦定理的證明

用复数证明余弦定理

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