考研线代公式总结

1、行列式

1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2.代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3.代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAijAij(1)ijMij

4.设n行列式D：

n(n1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1(1)

2

D； n(n1)将D顺时针或逆时针旋转90

，所得行列式为D2，则D2(1)2

D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D； 5.行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)

2

；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积； n(n1)④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2

；

⑤、拉普拉斯展开式：

AOACAB、CAOA

(1)mnCBOBBOBC

AB ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

n

6.对于n阶行列式A，恒有：EAn(1)kSnkk，其中Sk为k阶主子式；k

12、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）； r(A)n（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax0有非零解； bRn，Axb总有唯一解； A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为0； ATA是正定矩阵；

A的行（列）向量组是Rn的一组基； A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2.对于n阶矩阵A：AA*A*AAE 无条件恒成立； 3.

(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)* (AB)TBTAT

(AB)*B*A*

(AB)1B1A1

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A1若A



A2



，则： 

As

Ⅰ、AA1A2As； A11

Ⅱ、A1



1

1A2

； 

As1

O

；（主对角分块） B1

A1AO

②、

OBO

OOA③、1

BOA

A1AC④、

OBO

11

1

B1

；（副对角分块） O

A1CB1

；（拉普拉斯） B1

O

；（拉普拉斯） B1

A1AO

⑤、11

CBBCA

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：Fr

O

对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB； 2.行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A,E)(E,X)，则A可逆，且XA1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)(E,A1B)；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且xA1b； 4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1

②、



r

r

E

O

； Omn

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

c

2





，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；

ii



n

1

111

1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)E(i,j)，例如：1；

11

11

1

11

④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))E(i())，例如：k

k1



1

1k



(k0)； 1

kk11



⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：11(k0)；

11

5.矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m,n)；

②、r(AT)r(A)；

③、若AB，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※） ⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※） ⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；

6.三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如1ac01b

的矩阵：利用二项展开式；

001

二项展开式：(ab)n

C0an

C1an1b1

Cmanm

m

nn

n

n

bC

n11n1n

ab

Cbn

n

mmnm

n

Cnab；m0

注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

Ⅱ、Cmn(n1)(nm1)n!

n123m

m!(nm)!

C0nnCn1

Ⅲ、组合的性质：Cm

Cnmn

n

C

m

m1n

rn1

CC

mnn

C

n

2n

rCrnCr1

nn1

； r0

③、利用特征值和相似对角化： 7.伴随矩阵：

r(A)n①、伴随矩阵的秩：r(A*)

n

1

r(A)n1； 

0r(A)n1

②、伴随矩阵的特征值：A

1

(AXX,A*AAA*X

A



X)；

③、A*AA

1、A*A

n

18.关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程； 10.线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

4、向量组的线性相关性

1.

m个n维列向量所组成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)； 1TTTT

构成mn矩阵B2； ,,mm个n维行向量所组成的向量组B：1T,2

Tm

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2.①、向量组的线性相关、无关 Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出（线性方程组） Axb是否有解；③、向量组的相互线性表示 （矩阵方程） AXB是否有解；

3.矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14) 4.5.

r(ATA)r(A)；(P101例15)

n维向量线性相关的几何意义： ①、线性相关0；

②、,线性相关 ,坐标成比例或共线（平行）；

③、,,线性相关 ,,共面；

6.线性相关与无关的两套定理：

若1,2,,s线性相关，则1,2,,s,s1必线性相关；

若1,2,,s线性无关，则1,2,,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版P74定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

r(A)r(A,B)（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P85定理2推论） ①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）； 9.对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10.若AmsBsnCmn，则：

cr

8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使AP1P2Pl；

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

11.齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解；

②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；

12.①、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm r(A)m、Q的列向量线性无关；（P87）

②、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEn

r(A)n、P的行向量线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1.正交矩阵ATAE或A1AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTiaij

j

1

0

ij

(i,j1,2,n)； ②、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且A1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1a1；

b2a2

[b1,a2]

[bb1 1,b1]



b[b1,ar]rar

[bb[b2,ar]b[b1,ar]

12rbr1; 1,b1][b2,b2][br1,br1]

3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4.①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

PAQB，P、Q可逆； r(A)r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 CTACB，其中可逆；

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 P1APB； 5.相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6.A为对称阵，则A为二次型矩阵；

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