函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析 （同济大学第六版高等数学）

一、填空题

1、设f(x)2xlglgx ，其定义域为。

2、设f(x)ln(x1) ，其定义域为。

3、设f(x)arcsin(x3) ，其定义域为。

4、设f(x)的定义域是[0，1]，则f(sinx)的定义域为。

5、设yf(x)的定义域是[0，2] ，则yf(x2)的定义域为。

x22xk4 ，则k=。

6、limx3x3x有间断点，其中为其可去间断点。 sinxsin2x

8、若当x0时 ，f(x) ，且f(x)在x0处连续 ，则f(0)。

xnnn22)。

9、lim(2nn1n2nn

7、函数y

10、函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0连续的条件。

(x31)(x23x2)。

11、limx2x55x

312、lim(1)n2nkne3 ，则k=。

x21

13、函数y2的间断点是。

x3x

214、当x时，1是比x3x1的无穷小。 x

15、当x0时，无穷小11x与x相比较是无穷小。

16、函数ye在x=0处是第类间断点。

31x

17、设yx1 ，则x=1为y的间断点。 x1

18、已知f13，则当a为时，函数f(x)asinxsin3x在x处连续。

333sinxx02x

19、设f(x)若limf(x)存在 ，则a=。

1x0(1ax)xx0xsinx2水平渐近线方程是。 20、曲线yx2

21、f(x)4x21x12的连续区间为。

xa,x0

22、设f(x) 在x0连续 ，则常数

cosx,x0a=。

二、计算题

1、求下列函数定义域 （1）y

（3）ye ；

2、函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ （1）f(x)lnx

（2）f(x)x

（3）f(x)1,

21 ；（2）ysinx ； 1x21x,g(x)2lnx ；

,g(x)x2 ；

g(x)sec2xtan2x ；

3、判定函数的奇偶性

（1）yx2(1x2) ；

（2）y3x2x3 ；

（3）yx(x1)(x1) ；

4、求由所给函数构成的复合函数 （1）yu

2（2）yu

（3）yu2,usinv,vx2 ；

,u1x2 ；

,uev,vsinx ；

5、计算下列极限 （1）lim(1n111123(n1)n) ；

（2）lim ；

n242n2

x25x22x1（3）lim ；

（4）lim ； 2x1x2x3x

111x32x2（5）lim(1)(22) ；

（6）lim ； 2xx2xx(x2)

1x21（7）limxsin ；

（8）lim ； 2x0x

（9）2xlimx(x1x) ；

6、计算下列极限 （1）limsinwxx0x ；

（3）limx0xcotx ；

（5）limx1x(x1)x1 ；

7、比较无穷小的阶

（1）x0时，2xx2与x2x3 ；

（2）x1时，1x与1(1x22) ；

x13x1x2）limsin2xx0sin5x ；

4）lim(xx1x)x ； 16）lim(1x)xx0 ；

（ （

（

8、利用等价无穷小性质求极限

tanxsinxsin(xn)（1）lim ；

（2）limx0x0(sinx)msinx

39、讨论函数的连续性

(n,m是正整数) ；

x1,x1 f(x)在x1。3x,x

110、利用函数的连续性求极限

（1）limln(2cos2x) ；

（2）lim(xxx2xx2x) ；

6（3）limlnx0sinx12x ；

（4）lim(1) ；

xxx

（5）设f(x)lim(1)nxnn,求limf(t11) ； t

1（6）limxln(xx1) ； x1

ex,x01

1、设函数f(x)

ax,x0应当怎样选择a ，使得f(x)成为在(，)内的连续函数。

12、证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

5（B）

1、设f(x)的定义域是[0 ，1] ，求下列函数定义域 （1）yf(ex)

（2）yf(lnx)

0,xo

2、设f(x)x,x0求

0,x0 g(x)2x,x0f[g(x)],g[f(x)] f[f(x)],g[g(x)],

3、利用极限准则证明： （1）lim1n11

1 （2）limx[]1 ；

x0xn

（3）数列2,

4、试比较当x0时 ，无穷小232与x的阶。

5、求极限

（1）limx(x1x) ；

（2）lim(xx22,222,的极限存在 ；

xx22x3x1) ； 2x

1（3）limx0tanxsinx ； 3x

axbxcxx（4）lim()x0

31(a0,b0,c0) ；

1,x0xsin

6、设f(x)

要使f(x)在(,)内连续， x2ax,x0应当怎样选择数a ？

x11,x0

求f(x)的间断点，并说明间断点类型。

7、设f(x)eln(1x),1x0

（C）

1、已知f(x)ex2,f[(x)]1x ，且(x)0 ，求(x)并写出它的定义域。

2、求下列极限：

1x)coslnx] ；（1）、lim[cosln(（2）、milxx01xnisxcosx ；

xxax3x252)9 ，求常数a。 sin ；（3）、求lim（4）、已知lim(x5x3xxax（5）、设f(x)在闭区间[a,b]上连续 ，且f(a)a,f(b)b ，

证明：在开区间(a,b)内至少存在一点 ，使f()。

第一章 函数与极限习题 解 析

（A）

一、填空题 （1）(1,2]

（2）(1,)

（3）[2 ，4]

（4）x2kx(2k1)（6）-3

（7）xk,kz（10）充分

（11）,kz

（5）[2,;x0

（8）2 （9）1

2]

1

3（12）

（13）x=1 , x=2 （14）高阶 22（15）同阶

（16）二

（17）可去

（18）2

（19）-ln2 （20）y=-2

（21）[2,1](1,2]

（22）1

二、计算题

1、（1）

(,1)(1,1)(1,)

（2）

[0,)

（3）(,0)(0,)

2、（1）不同，定义域不同

（2）不同，定义域、函数关系不同

（3）不同，定义域、函数关系不同

3、（1）偶函数

（2）非奇非偶函数

（3）奇函数

24、（1）y(sinx2)

2（2）[y1x]

（3）[ye2sinx] 

5、（1）[ 2 ]

（2）[]

（3）-9

（4）0

（5）2 （6）

（7）0

（8）2

2 （9）

6、（1）w

（2）2121 2212

1（3）1

（4）e

（5）e

（6）e 52

37、（1）2xx是xx的低阶无穷小

（2）是同阶无穷小

0,mn1

8、（1）

（2）1,mn

2,mn

9、不连续

10、（1）0

（2）1

（3）0

（4）e

（5）0

（6）-2

211、a=1

（B）

1、（1）提示：由0e1 解得：x(,0]

（2）提示：由0lnx1解得：x[1,e]

2、提示：分成xo和x0两段求。f[f(x)]f(x) ，g[g(x)]0 ， xf[g(x)]0 , g[f(x)]g(x)

4、（1）提示：11111111

（2）提示：x(1)x[]x

xxxnn

（3）提示：用数学归纳法证明：an222

2x3x22x13x1x

5、提示：

令21t（同阶）

xxx

1 （2）提示：除以2x ；e 21

（3）提示：用等阶无穷小代换 ；

26、（1）提示：乘以x21x ；axbxcxx（4）提示： ()

33xxxxxxa1b1c1a1b1c113ax1bx1cx13x1（3abc）

7、提示：limf(x)limf(x)f(0)

（a0）

x0x0

8、x1是第二类间断点 ，x0是第一类间断点

（C）

1、解：因为fxe2(x)1x ，故(x)ln(1x) ，再由ln(1x)0 ，

，x0 。 得：1x1 ，即x0 。所以：(x)ln(1x)1xsinxsin2x1xsinxcos2x

2、解：原式=lim=lim

x0x0x(1xsinxcosx)2xsinx(xsinx)=0 x0x2

23、解：因为当x时 ，sin~，

xx=lim123x2523x2526x2106sin=lim=lim2则lim=

x5x3xxx5x3x5x3x5a1xaxeax=a=e2a )=lim

4、解：因为：9=lim(aexxax1x所以e2ax9 ，aln3

5、证明：令F(x)f(x)x ，F(x)在a,b上连续 ，且

F(a)f(a)a0 ，F(b)f(b)b0 。由闭区间上连续函数的零点定理 ，在开区间(a,b)内至少存在一点(a,b) ，使F()0 ，即f() 。

函数极限习题

函数极限与连续习题(含答案)

多元函数的极限与连续习题

函数极限

函数极限

函数极限

函数与极限(上)

函数极限与连续

第一章函数与极限

第一章函数与极限

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