函数极限

数学之美2006年7月第1期

函数极限的综合分析与理解

经济学院 财政学 任银涛 0511666

数学不仅仅是工具，更是一种能力。一些数学的方法被其它学科广泛地运用。例如，经济学中的边际分析、弹性分析等方法。函数极限是高等数学中的一个重要问题。极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，欢迎批评指正。

一、函数极限的定义和基本性质

函数极限可以分成x→x0，x→∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知

极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以xx0的极限为例，fx在点x0以A极限的定义是：0,0,使当0xx0时，有f(x)A(A为常数).问题的关键在于找到符合定义要求的，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。

函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若lim存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明xx0

\'\'即如果fxnA，fxn，fx在x0处的极限不存在。B（n,xn和xnx0）

则fx在x0处的极限不存在。

运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式fxPxPx,Qx均为多项式，Qx0）。设Px的次数为n,Qx的Qx次数为m， 当x时，若nm，则fx0;若nm，则fxPx与Qx的最高次项系数之比；若nm，则fx。当xx0时,f(x)P(x0)(Q(x0)0)。 Q(x0)

二、运用函数极限的判别定理

最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数gx与

hx，并且要满足gxfxhx，从而证明或求得函数fx的极限值。

三、应用等价无穷小代换求极限

掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了，让求解过程变得简明迅速。

x0时，sinx与x，tanx与x，arcsinx与x，arctanx与x，1cosx与x2，

xa

，ax1与xlna，1a与ax（a0）等等可ln1x与x，loga1x与lna

以相互替换。特别需要注意的是，等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积

sinxx

因子，而对于加减法运算则不能运用。例如lim，不能直接把sinx替换

x0x

3sinxx

1成x，得出极限值为0，实际上lim。

x0x36

四、运用洛必达法则求函数极限

设函数fx，gx在点a的某空心邻域可导，且g\'(x)0。当xa时，

fxf\'x，fx和gx的极限同时为0或时才适用\'A（A为常数或）

gxgx洛必达法则。洛必达法则实际上把求函数极限问题转化为学生较为拿手的求导数

0、00、1、0等类型则需要问题。这使得求解思路简单程序化。而对于、

0

对式子进行转化，或通分或取倒数或取对数等转化为型，再使用洛必达法

0

则求极限。例如fx

gx

的极限转化为求egxlnfx的极限等等。然而，对于数列，

则必须转化为函数再运用洛必达法则。这是因为如果把数列看作是自变量为n的函数时，它的定义域是一系列孤立的点，不存在导数。这是使用洛必达法则时必须要注意的一点。参见附例3。

五、泰勒公式的运用

对于使用洛必达法则不易求出结果的复杂函数式，可以考虑使用泰勒公式。这样将函数式化为最高次项为相同或相近的式子，这时就变成了求多项式的极限值（接着求值见上文所述方法），使计算一目了然。因此掌握和记忆常用基本初

等函数的麦克劳林展开式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln1x等等。至于展开式展开多少，则要与题干中的自变量x最高次项保持一致。如

cosxelimx0x4x4)。

x

2利用泰勒公式展开cosx,e



x22

，展开到x4即可(原式x最高次项为

六、利用微分中值定理来求极限

f(x)在a,b上连续，在a,b上可导，则至少存在一点a,b，使

f\'()

f(b)f(a)\'f(b)f(a)

,f()即可看成特殊的极限，用来求解。一般需

baba

要函数式可以看成同一函数的区间端点的差，这样可以使用微分中值定理。参见附例4。

另外，一些重要的结论往往在求极限时可以直接加以引用，例如

lim(1x)e，lim

x0

1x

sinx



1，

1，1等等。

x0nnx

求极限的方法和技巧更多的在于实践中的摸索和探讨，上述方法只是笔者在高等数学学习和练习的一些心得，求极限的方法还有很多。局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，敬请批评指正。

南开大学张阳和张效成老师的课堂教学给了笔者很大的启发，在此向两位老师表示感谢。

附：例1：对任意给定的0,1，总存在正整数N,使得当nN时，恒有。 xna2，是数列xn收敛于a的（）

A 充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件

解析：这道题是1999年全国考研试卷(二)的数学选择题，这道题直接考察了对极限定义的掌握和理解。

例2：若x1a，y1b（ba0），xn1xnyn，yn1明数列xn,yn有相同的极限。（见习题册1 Page.18）

解析：由已知条件易知，by1y2……yn1xn1……x1a，数列

xn1yn

1，试证

2文中习题册是指南开大学薛运华，赵志勇主编的《高等数学习题课讲义（上册）》，为学生用数学练习册。

xyn

limyn1linxn，yn单调有界，可以推出xn，yn收敛。nn

n

。设

limynA，limxnB，则A

n

AB

,AB。 2

12

例3：求lim(ntan)n的值。（见课本2 Page.153）

nn

1

解析：这是数列。设fxxtan，则对limfx可以运用洛必达法则，

xx且原式=limfx。

x

x2

aa

arctan),a0

nnn1

arctan解析：如例题3，设fxa，则在x,x1上fx连续，在x,x1内

x

例4：求limn2(arctan

可导。于是，x,x1,f\'()arctan

aaaarctan2（使用微分中x1xa2

a

)a。 22

a

值定理可得）。x,则,原式=lim2(



参考书目

[1] 张效成主编，《经济类数学分析（上册）》，天津大学出版社，2005年7月 [2] 薛运华，赵志勇主编，《高等数学习题课讲义（上册）》，南开大学 [3] 张友贵等，《掌握高等数学（理工类、经济类）》，大连理工出版社，2004年11月

[4]《硕士研究生入学考试试题》，1984—2005

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文中课本是指笔者使用的天津大学出版社05年7月版的《经济类数学分析（上册）》张效成主编

函数极限

函数极限

函数极限习题

函数极限概念

12函数极限

2.3函数极限

函数极限证明

习题课2—函数极限

函数与极限(上)

函数极限连续试题

《函数极限.doc》

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