证明极限存在

推荐第1篇：极限的证明

极限的证明

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2

且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

推荐第2篇：极限 定义证明

极限定义证明

趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于

2这两个用函数极限定义怎么证明?

x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|sinx/√x-0|=|sinx/√x|

|sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2,

∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，

所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|

同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|

需要0

|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|

由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.

注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M

注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0

同理，存在Ni，当x>Ni时，0

取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

(a/M)^n

所以a/M

对n取极限，所以a/M

令x趋于正无穷，

a/M

注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。

令M趋于正无穷，b趋于a;

有a

这表明limg(x)=a;

证毕;

证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。

还有个看起来简单些的方法

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

g(x)=max{f1(x),....fm(x)};

然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。

其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

有种简单点的方法，就是

max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。

多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，

故极限可以放进去。

2一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

2

推荐第3篇：证明极限不存在

证明极限不存在

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点

沿着两条直线y=2x

y=-2x趋于(0,0)时

极限分别为-3和-1/3不相等

极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等

所以极限不存在

3lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

证明该极限不存在

lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因为不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

极限不存在

4

如图用定义证明极限不存在~谢谢!!

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，

取ε=1/2，

在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，

使|sin-L|

和|sin-L|

同时成立。

即|1-L|

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。

推荐第4篇：函数极限证明

函数极限证明

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/MN2时，0Ni时，0

那么当x>N,有

(a/M)^n

推荐第5篇：极限平均值的证明

1、设limanA，证明：limna1a2anA。nn

证明：因为limanA，所以对任意的0，存在N0，当nN时，有 n

|anA|，于是

|a1a2anaa2aNaN1anA||1A| nn

a1a2aNaN1annA| n

a1a2aNNAaan(nN)A||N1| nn

a1a2aNNA1|[|aN1A||anA|] nn|||

|a1a2aNNAnN| nn

因为lim|a1a2aNNA|0（注意分子为常数），所以存在N1N，当nn

aa2aNNAnN1时，有|1|，于是当nN1时，有 n

aa2aNNAnNa1a2anA||1|2， nnn|

有极限的定义有lima1a2anA。 nn

n

2、设limanA且an0,A0，证明：lim12nA。n

证明：因为a1a2ana1a2an， n

a1a2ann111aa2an1111， a1a2anna1a2ana1a2an， n所以111a1a2an

111aa2an1111lim， 又因为lim，利用第1题结论，有lim1

nnananAAnn

所以limn

111a1a2annA，同理lima1a2anlimanA，由夹逼定理nnn得

lima1a2anA。 n

3、设an0，且liman1A，证明：limanA。nnan证明：limanlimnnaaa1a2nlimnA。 1a1an1nan1

推荐第6篇：中心极限定理证明

中心极限定理证明

一、例子

高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.

如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且

那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.

二、中心极限定理

设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立

称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.

解:服从中心极限定理,则表明

其中.由于,因此

故服从中心极限定理.

三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理

在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则

用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,

由此即得

第一类问题是已知,求,这只需查表即可.

第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.

第三类问题是已知,求.

解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.

抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?

解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.

已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:

的随机变量.求.

解:

因为很大,于是

所以

利用标准正态分布表,就可以求出的值.

某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.

如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,

查表得,,故取.于是

取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.

解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.

由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有

其中,即有

四、林德贝格-勒维中心极限定理

若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有

证明:设的特征函数为,则

的特征函数为

又因为,所以

于是特征函数的展开式

从而对任意固定的,有

而是分布的特征函数.因此,

成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.

设有个数,它们的近似数分别是,.,.令

用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,

以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有

设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.

证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有

由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.

作业:

p222EX32,33,34,3

5五、林德贝尔格条件

设为独立随机变量序列,又

令,对于标准化了的独立随机变量和

的分布

当时,是否会收敛于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时

(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有

(2)若是离散型随机变量,的分布列为

如果对于任意的,有

则称满足林德贝尔格条件.

以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.

证明:令,则

于是

从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有

这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.

六、费勒条件

设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.

七、林德贝尔格-费勒中心极限定理

引理1对及任意的,

证明:记,设,由于

因此,,其次,对,

用归纳法即得.由于,因此,对也成立.

引理2对于任意满足及的复数,有

证明:显然

因此,

由归纳法可证结论成立.

引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地

证明定义随机变量

其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.

林德贝尔格-费勒定理

定理设为独立随机变量序列,又.令,则

(1)

与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.

证明:(1)准备部分

记

(2)

显然(3)

(4)

以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)

这时

因此林德贝尔格条件化为:对任意,

(6)

现在开始证明定理.设是任意固定的实数.

为证(1)式必须证明

(7)

先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:

(8)

事实上,由(3)知,又因为

故对一切,

把在原点附近展开,得到

因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有

(9)

这时

(10)

对任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.

(2)充分性

先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,

(13)

右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.

其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,

当时,

当时,

因此

(14)

对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.

(3)必要性

由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,

(15)

上述被积函数的实部非负,故

而且

(16)

因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得

故林德贝尔格条件成立.

八、李雅普诺夫定理

设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有

则对于任意的,有

推荐第7篇：如何证明极限不存在

如何证明极限不存在

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，

取ε=1/2，

在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，

使|sin-L|

和|sin-L|

同时成立。

即|1-L|

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。

反证法：

一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在

假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)

矛盾

所以原命题成立

令y=x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y

=lim(x趋于0)x^3-x^2/x^2=-1

两种情况极限值不同，故原极限不存在

2答案：首先需要二项式定理：

(a+b)^n=∑C(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)

用数学归纳法证此定理：

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

a+b

故此，n=1时，式一成立。

设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：

(a+b)^n1=∑C(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)

则，当n=n1+1时:

式二两端同乘(a+b)

*(a+b)=*(a+b)

=(a+b)^(n1+1)=∑C(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)

因此二项式定理(即式一成立)

下面用二项式定理计算这一极限：

(1+1/n)^n(式一)

用二项式展开得：

(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n

由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：

(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)

当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。

推荐第8篇：极限的计算、证明

极限的论证计算，其一般方法可归纳如下

1、直接用定义N,等证明极限

0例、试证明limn1n

证：要使0，只须n，故 

11nN0，N，，有10 n1n1

2、适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限

an

0，a0例、证明：limnn!

证：已知a0是一个常数

正整数k，使得ak aaa0 ，n n!n!k!k1nk!nk!nanakaaakk1

ak11，当nN时，有 0,Nk!

an0 n!

3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限

例、求limn352n1 2462n解：1352n13572n11462n12462n1 2462n2462n22n352n12n1352n14n

1352n11  2462n4n2

两边开2n次方：

11352n11211

1

2462n4n22n

1352n11

2462n由两边夹：limn

4、利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问

题

例、设Snl0n，p0为常数，求证：Snln

p

p

证：0SnlSnl0 ，得 Snln记 Snln，其中 n0n

n

再记Snlnl1l



p

p



l1n，其中nn0n l

则有Snl1np。 若取定自然数Kp，则当n1时1n1np1n

K

K

l1nl1npSnl1n

p

K

p

p

p

K

由两边夹得证。

5、通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易

求极限

例、求极限limsinn21

n



sinnn21n解：limsinn21lim

n

n



1sinn1n lim1sinlimn

n



n

2

n1n

n

0

6、换变量后利用复合函数求极限法则求极限例、求极限lim

x0

1x

x

1K

1

，其中K是自然数

解：令 y1x1

当x1时，有 1x1x1x，所以x0y0利用复合函数求极限法则可得lim

x0

1K

1K

1x

x

1K

1

lim

y0

y

1yK1

lim

y0

y

Ky

KK1y2yK

1 K

7、进行恒等变形化成已知极限进行计算

xx2

例、lim

1cosx2sin2sinx0x2limx0x2

lim1x021 x22

8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限例、求极限lim

1cosx

x0

1cos

x2

解：1cosx～12x2，1cosx2～12x

2

x0

12

lim1cosx

x

x01cosxlimx01x24 222

9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限例、x1xn

n1

x

，n1,2,，x1a0 n2

证明：limn

xn存在，并求此极限。证明：xn0x1n1

xxn21xn

2 n2xnx1x

2x2

nn1xnnx2xn2x0，xn1xn

nn

且 xn2，limn

xn存在令 llimxn，有 l1ln

l2

，l22，l2

10、利用海涅定理解决极限问题

例、试证明函数fxsin1x

当x0时极限不存在证：取x1n

，yn

2n2n

0 n 

02

而 fxn1，fyn0，得证

11、把求极限问题化为导数问题计算例、求极限lim

1x

1K

1

x0x，其中K是自然数

1解：lim

1xK

1

x0

x

1

xK\'1x1K 

12、利用洛必达法则求极限

例、limtgx2x

x

0解：令Alimtgx2x

x

0lnAlnlimtgx2xlimlntgx2x

x

 2

0x2

0

lim2xlntgxlimlntgx

sec2xx

2

0x2

0

2x1

lim

x

0

22x2

tgx

lim12x2

142xx202sinxcosx2lim0x20sin2x



所以limtgx2x

Ae01 x

0

13、把求极限的表达式化为积分和的形式，用定积分进行计算

例、设Sn

1n11n21

2n

，求limnSn解：S111

n11nn1n22n，lim

S11ni1n1in01x

ln2 n

14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题

例、求lim

xn

n

01xdx解：由第一积分中值定理

1

xn1

01xdx

1n



n0

xdx

11

，0n1 nn1

所以lim

xn

n

01xdx0

15、利用收敛级数的必要条件求极限

例、求xn

limnn!

解：已知指数函数的幂级数展开式x



xn

e!

对于一切xR收敛n0n而收敛级数的一般项趋于0，故得lim

xn

nn!

0

16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限

例、limxx2ln1

x



1x

解：xx2

ln11xxx2111011o1

2x2xx2x

2x2

原式

1、利用柯西收敛准则处理极限问题

17

例、用Cauchy收敛准则证明xn1证:取00,N0,任取nN,pn,有

xnpxnx2nxn

11

2n12n3



1135



无极限.2n1

15

1nn1

.4n14n14n4

故由Cauchy收敛准则知,xn为发散数列.

推荐第9篇：定义证明二重极限

定义证明二重极限

就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A

关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2

且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

推荐第10篇：极限不存在的证明

不如何证明极限不存在

一、归结原则

原理:设f在U0(x0;\')内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于

xx0

U(x0;)且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。

\'

n

例如：证明极限limsin

x0

1x

不存在

12n

证：设xn

1n

,xn



2

(n1,2,)，则显然有

xn0,xn0(n)，si由归结原则即得结论。



00,si11(n)xnxn

二、左右极限法

原理：判断当xx0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)arctan(因为limarctan(

x0



1x

)

当x

0

时的极限不存在。

1x)

1x

)



2

x=0，limarctan(

x0





2

，limarctan(

x0



1x

)limarctan(

x0

1x

)，

所以当x0时，arctan(

1x

)的极限不存在。

三、证明x时的极限不存在

原理：判断当x



时的极限，只要考察x与x时的极限，如果两者

相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)ex在x

x



时的极限不存在

x

x

xxxx

因为lime0，lime；因此，limelime

x

所以当x

四、柯西准则



时，ex的极限不存在。

0\'

原理：设f在U(x0;)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给

xx0

0

，存

在正数()，使得对任何x,xU0(x0;)，使得f(x)f(x)0。 例如：在方法一的例题中，取01，对任何0，设正数n

x1

n,x1

n1，令

2即证。

五、定义法

原理：设函数f(x)在一个形如(a,)的区间中有定义，对任何AR，如果存在

00，使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)A0,则f(x)在x

x时没有极限。 例如：证明limcosx不存在

设函数f(x)cosx，f(x)在(0,)中有定义，对任何AR，不妨设A取0120,，于是对任何0，取00 反证法（利用极限定义） 数学归纳法

第11篇：数列极限的证明

例1 设数列xn满足0x1,xn1sinxnn1,2,。 （Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n

xn1xn（Ⅱ）计算lim。 n

xn

解 （Ⅰ）用归纳法证明xn单调下降且有下界， 由0x1，得

0x2sinx1x1，

设0xn，则

0xn1sinxnxn，

所以xn单调下降且有下界，故limxn存在。

n

记alimxn，由xn1sinxn得

x

asina，

所以a0，即limxn0。

n

（Ⅱ）解法1 因为

sinxlimx0

x

1xlime

x0

1sinxlnx2x

lime

x0

1cosx1



2xsinxx

xsinx6x2

xcosxsinx

lime

x0

2x3

lime

x0

e



16

又由（Ⅰ）limxn0，所以

n

1xn

xn1sinxnxn2

limlimnnxxnn

sinx

limx0x

解法2 因为

1xxe



6

sinxx

sinxx



sinxx1x

xsinxx



x3

，

又因为

limsinxx1sinxx,lim1x0x36x0x

xnxsinxxe，

sinx6所以lim， ex0x1

故

11xlimn1nxnxnsinxnlimnxn

sinxlimx0xxn1x e1

6.

第12篇：数列极限的证明

数列极限的证明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|Xn+1-A|

以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|

|Xn-1-A|

……

|X2-A|

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|

2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1

设x(k)

x(k+1)=√

3当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

4

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第13篇：数列极限的证明

数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会

|Xn+1-A|

|X2-A|

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1

x(k+1)=√[2+3x(k)]

1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x\'/(t^x)\'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。

第14篇：ln2极限的证明

111()ln2.证明：limnn1n22n

Pf：①利用积分放缩，再用迫敛性：

1 首先，观察图像 ynx

S1是以1和其中，

21n11S2dx0nx为边长的矩形的面积，

11，S31nxdx，显然有S2S1S3，因此有

1ln(n2)ln(n1)ln(n1)lnn，

n11ln(n3)ln(n2)ln(n2)ln(n1)同理， n21ln(n4)ln(n3)ln(n3)ln(n2)…

n31ln(2n1)ln2nln2nln(2n1)，

2n所以，

n11ln(2)ln(2n1)ln(n1)ln2nlnnln2，

n1i1ni111()ln2.由夹逼准则得limnn1n22n证毕

②利用幂级数展开以及收敛数列的子列收敛于同一极限： 首先，在(1,1]上，有以下的幂级数展开：

(1)ln(x1)nn1n112(1)xxx2nnn1xn.令x1，有

1(1)k11(1)k1ln21lim[1].k2k2kk1k11(1)1(1)令ak12k，那么数列{ak}{12k}收敛于ln2.现在，取数列{ak}的偶数项组成数列{bn}n1，即

11b1a21，

2211111b2a41，

23434…

1(1)bna2n1 22n111122n12n 111111(1)2()

22n12n242n11111(1)(1)

22n12n2n1111 n1n22n12n2n1由于数列{bn}n1是数列{ak}的一个子列，因此

limbnlimakln2.

nk证毕

第15篇：函数极限存在的条件

§3 函数极限存在的条件

教学目的与要求：

掌握函数极限存在的判定方法，能熟练运用各种判定方法讨论函数极限的存在性。 教学重点，难点：

各种判定方法的证明和理解，单调有界性定理Cauchy准则的证明

教学内容：

一、归结原则

定理3.8(归结原则)设f在U0x0;内有定义.limfx存在的充要条件是: 对xx0

任何含于U0x0;且以x0为极限的数列xn, 极限limfxn都存在且相等.n

分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列xn,且limxnx0,xnx0,有n

limfxnA,则limfxA.因为在已知条件中,具有这种性质的数列xn是任意的nxx0

(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设limfxA,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列 xx0

{xn},limxnx0,xnx0,但是limfxnA,与已知条件相矛盾.于是充分性得到nn

证明.注1 归结原则也可简述为

limfxA对任何xnx0n有limfxnA.xx0n

注2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如

limf(x)f(x)xx0若limf(x)A,limg(x)B(B0), 则lim.xx0xx0xx0g(x)limg(x)

xx0

证已知limf(x)A与limg(x)B,根据海涅定理的必要性,对任意数列xn,且xx0xx0

limxnx0,xnx0,有limfxnA,limgxnB.由数列极限的四则运算,对任意nnn

数列xn,且limxnx0,xnx0,有limnnf(xn)A.再根据海涅定理的充分性,由g(xn)B

limf(x)f(xn)Axf(x)x0注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为limlimxx0g(x)ng(x)Blimg(x)nxx0

证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以x0为极限的数列xn,

使limfxn不存在,或找到两个都以x0为极限的数列xn与xn,使limf(x\'n)与

n

n

)都存在而不相等,则limf(x)不存在.limf(xn

n

xx0

例1证明极限limsin

x0

不存在.x

函数ysin

的图象如图3-4所示,由图象可见,当x0时,其x

函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.

对于xx0,xx0,x和x为四种类型的单侧极

限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以xx0这种类型为例

阐述如下：

定理3.9 设函数f在点x0的某空心右邻域U(x0)有定



f(x)A的充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列xnU义.lim(x0),有

xx0

limf(xn)A.

n

注5定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取



nmin{,xn1x0},以保证所找到的数列xn能递减的趋于x0.

n

二、单调有界定理

相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以



这种类型为例叙述如下： xx0

f(x)存在.定理3.10设f为定义在U(x0)上的单调有界函数,则右极限lim

xx0

注6 (1)设f为定义在U(x0)上的有界函数.若f递增,则f(x00)inf0

若f递减,则f(x00)sup

(2) 设f为定义在U

xU(x0)

f(x);

f(x).xU(x0)

(x0)上的递增函数,则

xU(x0)

f(x00)supf(x), f(x00)inf0

xU(x0)

f(x)

三函数极限的柯西收敛准则

定理3.11(柯西准则) 设函数f在U(x0;\')内有定义.limf(x)存在的充要条件是：

xx0

任给0,存在正数(\'),使得对任何x\',xU(x0;)有f(x\')f(x).[分析]充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁——海涅定理来证.分两步：1)对任何以x0为极限的数列xnU(x0;), 数列f(xn)的极限都存在; 2)证明对任何以x0为极限的数列xnU(x0;),数列f(xn)的极限都相等.

注7 可以利用柯西准则证明函数极限limf(x)的不存在:

xx0

设函数f在U(x0;\')内有定义.limf(x) 不存在的充要条件是：存在 00,对任

xx0

意正数(\'),存在x\',xU(x0;), 有f(x\')f(x)0.

如在例1中我们可取0

1

1,对任何0,设正整数n,令



211

, x\',x

nn2

则有x\',xU(0;),而sin

111

sin10于是按柯西准则,极限limsin不存在.

x0xx\'x

小结

1.证明函数极限存在或求函数极限的方法.

(1) 用定义证明函数极限的方法且limf(x)A,尤其是分段函数的分段点.

(2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在.

(3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值.

(4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值.(5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.

(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在.2.证明函数极限不存在的主要方法:

(1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在,

(2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.

(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在.(4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.

复习思考题、作业题： 1，2，3，5

第16篇：极限存在准则,两个重要极限

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】

1、了解函数和数列的极限存在准则；

2、掌握两个常用的不等式；

3、会用两个重要极限求极限。

【教学内容】

1、夹逼准则；

2、单调有界准则；

3、两个重要极限。

【重点难点】

重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。

【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

引入：考虑下面几个数列的极限

1000

1、limni

1n1ni1

ni221000个0相加，极限等于0。

2、limni1无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、lim

xn，其中xn=n

x1=

对于

2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：

一、极限存在准则

1.夹逼准则

准则Ⅰ如果数列xn,yn及zn满足下列条件:

(1)ynxnzn

n(n1,2,3)n(2)limyna,limzna,

n 那么数列xn的极限存在, 且limxna.证：yna,zna,0,N10,N20,使得

当nN1时恒有yna, 当nN2时恒有zna,

取N=max{N1,N2},上两式同时成立,即ayna, azna, 当n>N时，恒有 aynxnzna,即xna成立, limxna.n

上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则Ⅰ′ 如果当xU(x0,) (或xM)时,有

o

(1)g(x)f(x)h(x),

(2)limg(x)A,limh(x)A,

xx0(x)

xx0(x)

那么limf(x)存在, 且等于A.

xx0(x)

准则 和准则 \'称为夹逼准则。

【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出yn与zn，并且yn与zn的极限是容易求的。

例

1求n

+

++

解：

n

11n

++

n

lin

1,

又lim

n

nnn

lim 1,lin

n1



1n

2由夹逼定理得：lim(

n

1n1



1n2



1nn

)1.

【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用

2.单调有界准则

准则Ⅱ单调有界数列必有极限.

加的；如果数列xn满足条件x1x2x3xnxn1，就称数列xn是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。

几何解释:

如果数列xn满足条件x1x2x3xnxn1，就称数列xn是单调增

例2

证明数列xn=【分析】已知xn1

23nn1

A

n重根式）的极限存在

2xn，x12，求limxn。首先证明是有界的，然后证明是

n

单调的，从而得出结论

证：

1、证明极限存在 a) 证明有上界

x12，设xnxn12，则xn12xn2

2所以对任意的n，有xn2 b) 证明单调上升

xn1xn2xnxnxnxnxn2xnxnxnxnxn0

所以limxn存在

n

2、求极限

设limxnl，则l

n

2l，解得l2（l1舍去）

所以limxn=

2n

二、两个重要极限

1.lim

sinx



1x0x

如右图所示，设单位圆O,圆心角AOBx,(0x



)，

作单位圆的切线，得ACO.扇形OAB的圆心角为x,OAB的高为BD,于是有sinxBD,

x弧AB,

tanxAC,

sinx

1,上式对于x0也成立.

sinxxtanx, 即cosxx2xx2x

2当0x时,0cosx1cosx 2sin,2() 

2222



sinxx2

1.lim0, lim(1cosx)0,limcosx1, 又lim11, lim

x0x0x0x0x02x

例3求下列极限 （1）lim

1-cosx

.

x®0x2

2sin2

解：原极限=lim

x®0

xxx

sin2sin

1lim()2 112 1.1lim

222x0(x)22x0xx2

22

（2）limxsin

x

x

解：原极限=lim

1siny

=1（令y=）

y0xy

（3）lim

x

sinx x

解：原极限=lim

sin(x)1； xx

1x1n

2.lim(1)e，lim(1x)xe，lim(1)e；“1”型

xnx0xn

【说明】

（1）上述三种形式也可统一为模型lim1x

(x)0

(x)

e

（2）第二个重要极限解决的对象是1型未定式。 例如，lim2x

x1

2x1



lim1x1x1e2 x1

例4求下列极限 （1）lim(1-x

1x).x

x

解：原极限=lim[(1+

1-x-1

] lim

x-x

11

.xe(1)

x

x2

（2）lim

xx3

5解：原极限=lim1xx3



x



x35x

5x

3=e

5xxx3lim

=e



5【补充】“1”型计算公式：lim1f(x)

xx0

g(x)

e

xx0

limg(x)f(x)

其中xx0时，f(x)0,g(x)。

证明：lim1f(x)

xx0

g(x)

limeg(x)In1f(x)exx0

xx0

limg(x)In1f(x)

e

xx0

limg(x)f(x)

例5求下列极限

（1）lim(1tanxsinx)

x0

x

【分析】是幂指数函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式

x



解：lim(1tanxsinx)=e

x0

1x

tanxsinxx0xlim

=e

sinx(1cosx)

x0xcosxlim

=e

x3

x02xlim

=1

（2）lim(cosxsinx)

x0

【分析】是幂指函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式。

21

2x

12x

sin2xx02xlim



解：原极限lim(cosxsinx)

x0

lim(1sin2x)

x0

ee。

（3）lim(

x

x2x

) x3





【分析】是幂指数函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式，但它不是标准型，通过“加1减1”变成标准型。

5xxlim

lim(1)=ex3e5 解：原极限=xx3

【思考题1】设有k个正数a1，a2，„，ak，令a=max{a1，a2，„，an}，求

nn

（“大数优先”准则）。 lima1na2ak

nn

ana1na2akananankanka

5x

n

解：a

nnn

而limkaa，所以由夹逼准则：limna1a2aka n

n

【思考题2】设x00，xn1

12

(xn)，求limxn

n2xn

212

2，所以数列{xn}有下界。 (xn)xnxn2xn

解：显然 xn0。因为xn1

121xn2xn

又因为xn1xn(xn)xn0，所以数列{xn}单调下降，即

2xnxn22xn

n

limxn存在。设limxn=l，则l

n

12

(l)，解得l2，所以limxn=2

n2l

【思考题3】求limcos

n

xxx

cos2cosn； 222

解：原极限=lim

n

sinx2nsin

x

2n

lim

sinx

1(x0)

nx

【思考题4】求极限lim39

x



x

1xx

解：lim39

x



x

1xx

lim9

x

1xx

11

x1 9lim1x

x33

x

3x



13x

9e9

n

【课堂练习】求 lim

i

n

2

in

ni

。

1

解：

n(n1)212n

n2nnn2nnn2nnn2

nn

?

12n2+n+1n2+n+2++n

n2+n+n

?

12nn(n+n2+n+1

n2+n+1++n2+n+1=1)2

n2

+n+1

而n(n1)21n(nlimn2nn2，

limn1)2nn2n112

所以 原极限1

【内容小结】 o

1、夹逼准则

当

xU(x0,)时，有

f(x)g(x)h(x)xlimxf(x)A=limh(x)，则lim0

xx0

xxg(x)A。

2、单调有界准则

（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。

3、两个重要极限（1）lim

sinx

x0x

1

(x为弧度）；

（2）lim(111

x

)x

e，limx0(1x)xxe

且

，

第17篇：数列极限存在的条件

§1.3 数列极限是否存在的条件

在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考察该数列是否有极限(极限的存在性问题)；

若极限存在，再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题)。这是极限理论的两个基本问题。

在实际应用中，解决了数列{an}极限的存在性问题之后，即使极限的计算较为困难，但由于当n充分大时，an能充分接近其极

限a，故可用an作为a的近似值。

为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每一个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。

若数列{an}的各项满足关系户式anan1(anan1)则称{an}为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。

定理1（单调有界定理） 单调有界数列必收敛（必有极限）。 证明：不妨设{an}为有上界的递增数列。

由确界原理，数列{an}有上确界，记asup{an}。下面证明limana。事实上，0，按上确界的定义，存在{an}中某一项aN，n

使得aaN。又由{an}的递增性，当nN时有aaNan。

另一方面，由于a是{an}的一个上界，故对一切an都有

anaa。从而当nN时有aaNana。

ana。 这就证明了limn

同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限为它的下确界。

aimxn.例1 a0,x10.xn11xn.求ln2xn

a

解：由均值不等式, 得xn11xn

2

xn

xn

a

a.{xn}有下xn

界;

不偿失注意到对n,有xna, 并且

xn11a1an

111.x↘···, 22xn2xn2( a )

故

例2

limxna.

n

n

1数列1单调有界性.

n

证明: 设

1

xn1.应用二项式展开，得

n

1n(n1)1n(n1)(n2)1n(n1)321123nn2!3!n!nnn

n

xn1n

11

11112112n1

111111， 2!n3!nnn!nnn

xn111

11112111 2!n13!n1n1

+

注意到

11n

11; (n1)!n1n1

11

11, nn1

22

11, nn1

n1n1

,11.

nn1

且xn1比xn多一项

0xn11

11n110, xn1xn, (n1)!n1n1

即xn↗.

11111111 2!3!n!1223(n1)n

111111

1111113.xn有界.

n223n1n

综上, 数列{xn}单调有界.

单调有界定理只是数列收敛的充分条件。下面给出在实数系

中数列收敛的充分必要条件。

定理2（柯西Cauchy收敛准则） 数列{an}收敛的充要条件是：

0,N0，使得当n,mN时有|anam|。

这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题。 柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。

柯西收敛准则把N定义中an与a的关系换成了an与am的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其收敛性。

例3：证明任一无限十进小数a0.bb12bn的n位不足近似所组成的数列

bb1b1b2bb

,2,,122nn, 101010101010

(2)

满足柯西条件(从而收敛)，其中bk为0,1,2,,9中的一个数，

k1,2,。

证明： 记an

|anam|

bb1b2

2nn101010

。不妨nm，则有

bm1bm2bn911

1m1m2nm1nm11010101010101111

1mnmm

101010m



对任给的0，取N



，则对一切nmN有|anam|。这就证

明了数列(2)满足柯西条件。

利用Cauchy收敛准则求极限的例子。

例3：设x1y11，xn1xn2yn，yn1xnyn，求lim

n

xnyn

；

解： 设an由于an1

xnyn

，显然an1.

, 则

xn1xn2yn1

1yn1xnyn1an

an1an

11



1an1an1

anan1



11

anan1n1a2a144

于是

1an1an1.

anpananpanp1anp1anp2an1an

anpanp1anp1anp2an1an

1

np2414n1

1p11n1a2a1n1a2a1144

14

1



a2a10(n).3

xn存在，把它记为a.由Cauchy收敛准则知：limn

由极限的四则运算，在an11

a22．

11an

两端同时取极限n，得

注意到an1，故lim

n

xn

liman2． ynn

注：Cauchy收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性.

第18篇：函数极限存在的条件

§3 函数极限存在的条件

重点难点

1.归结原则也称为海涅定理, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理, 从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性质.2.单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法.一般情形, 运用单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.3.柯西准则是函数极限存在的充要条件.函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的.该准则在数列极限、极限和广义积分理论中, 占据了重要的地位.因此应当认真理解柯西准则, 并能用柯西准则讨论某些比较简单的问题.

基本内容

在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定理”和“柯西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？

本节的结论只对xx0这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。

首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。

一、归结原则

定理3.8(归结原则) 设f在U0x0;内有定义.limfx存在的充要条件是: 对

xx0任何含于U0x0;且以x0为极限的数列xn, 极限limfxn都存在且相等.

n分析 充分性的证法:只须证明,若对任意数列xn,且limxnx0,xnx0,有

nlimfxnA,则limfxA.因为在已知条件中,具有这种性质的数列xn是任意的nxx0(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设limfxA,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列

xx0{xn},limxnx0,xnx0,但是limfxnA,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证nn明.注1 归结原则也可简述为

limfxA对任何xnx0n有limfxnA.

xx0n注2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如

limf(x)f(x)xx0若limf(x)A,limg(x)B(B0), 则lim.xx0xx0xx0g(x)limg(x)xx0证 已知limf(x)A与limg(x)B,根据海涅定理的必要性,对任意数列xn,xx0xx0且limxnx0,xnx0,有limfxnA,limgxnB.由数列极限的四则运算,对任nnn意数列xn,且limxnx0,xnx0,有limnnf(xn)A.再根据海涅定理的充分性,由g(xn)Blimf(x)f(xn)Axf(x)x0.limlimxx0g(x)ng(x)Blimg(x)nxx0注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以x0为极限的数列xn,使limfxn不存在,或找到两个都以

nx0为极限的数列xn与xn,使limf(x\'n)与limf(xn)都存在而不相等,则limf(x)不

nnxx0存在.例1 证明极限limsinx01不存在.x函数ysin1的图象如图3-4所示,由图象可见,当x0时,其x函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.对于xx0,xx0,x和x为四种类型的单侧极限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以xx0这种类型为例阐述如下：

0定理3.9 设函数f在点x0的某空心右邻域U(x0)有定

f(x)A的充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列xnU义.lim(x0),有xx0

limf(xn)A.n注5 定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取nmin{,xn1x0},以保证所找到的数列xn能递减的趋于x0.n

二、单调有界定理

相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以这种类型为例叙述如下： xx0f(x)存在.定理3.10 设f为定义在U(x0)上的单调有界函数,则右极限limxx00注6 (1)设f为定义在U(x0)上的有界函数.若f递增,则f(x00)inf0若f递减,则f(x00)sup(2) 设f为定义在U00xU(x0)f(x);

f(x).

0xU(x0)(x0)上的递增函数,则

xU(x0)f(x00)supf(x), f(x00)inf00xU(x0)f(x).三

函数极限的柯西收敛准则

定理3.11(柯西准则) 设函数f在U(x0;\')内有定义.limf(x)存在的充要条件是：

xx0任给0,存在正数(\'),使得对任何x\',xU(x0;)有f(x\')f(x). [分析] 充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁——海涅定理来证.分两步：1)对任何以x0为极限的数列xnU(x0;), 数列f(xn)的极限都存在; 2)证明对任何以x0为极限的数列xnU(x0;),数列f(xn)的极限都相等. 注7 可以利用柯西准则证明函数极限limf(x)的不存在:

xx0设函数f在U(x0;\')内有定义.limf(x) 不存在的充要条件是：存在 00,对任

xx0意正数(\'),存在x\',xU(x0;), 有f(x\')f(x)0.

如在例1中我们可取011

,对任何0,设正整数n,令

211, x\',xnn2则有x\',xU(0;),而sin111sin10于是按柯西准则,极限limsin不存在.

x0xx\'x

小结

1.证明函数极限存在或求函数极限的方法.(1) 用定义证明函数极限的方法且limf(x)A,尤其是分段函数的分段点.(2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在.(3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值.(4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值.(5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在.2. 证明函数极限不存在的主要方法: (1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在, (2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在.(4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.

第19篇：一个重要_数列的极限存在问题_的证明总结完成

一个重要数列的极限存在问题的证明总结

摘要：用两种方法对一个重要的数列的极限存在问题的证明总结，这个重要的数列是{yn=(1+1n)} n

关键词：数列，极限，存在问题

在《数学通报》，2006.6一期中，有一篇《一个重要的极限的证 明》。对数列{yn=(1+)n}的极限的存在问题给出了一种新的简明证 法。下面，我对这个极限的存在问题的证法进行总结。

n

1n*(n1)1n*(n1)(n2)3*2*11yn=1+n*+*2++ nn2!n!nn

11112112=1+1+(1-)+(1-)(1-)++（1-）（1-）2!nnnn!nn3!n1（1-） n1n证法一：对{yn=(1+)n}应用二项式展开，可得：

yn-1=1+1+

1-1111211(1-)+(1-)(1-)++(1-)(2!n13!n1n1n1(n1)!2n)(1-) n1n1

11但，(1-)﹤(1-) nn1

22(1-)﹤(1-) nn1 

n1n1 （1-）﹤（1-） nn1

所以,yn中的每一项都小于yn+1中的相应项,而yn+1中还多出最后一项.且,这项显然大于零,因此,yn﹤yn+1故{yn}是单调

增加数列.现在来证明{yn}的有界性,因 yn的展开式的每一项括号内的因子都是小于1的,所以有, 0﹤yn﹤1+1+

111111+++﹤1+1+ +++2!3!n!1*22*3(n1)*n

=1+1+（1-）+（-）++（=1+1+1-

1n

12112311-） n1n

)ne 存在。 即,{yn}为有界数列,根据夹值定理, lim(1n

证法二:预备知识：基本不等式——a1*a2*an(

n

1n

a)(ai0)

ii1

n

n

11

令xn=(1+ )n则由基本不等式——a1*a2*an(

nn111nnn11

（n+1+*n）]n+1 [n1n1n+1

=(1+)

n1

a)

ii1

n

n

得，

xn=1*（1+）（1+）（1+）

=xn+1

于是，数列{xn}单调不减

令zn=（1+）n+1则再由上面的不等式有：（

n1n*(n1)n+2

）n+1[(1+)] n1n1n2

n2n+2 =()n1

1n

又由于幂级数的运算法则——“底数颠倒，指数反号，其值不变”，有， yn =（1+）n+1 >=(

nn2n+2

) n1

= yn+1

于是，对任意给定的 n 属于N,均有yn4 ，又由于

xn=(1+

1n1

)（1+）n+1= yn+1 nn

故数列{xn}单调不减且有上界（上界为4） 根据数列极限的 存在准则，数列{xn=(1+

1n

) }极限存在 n

由于这个极限首先被瑞士科学家欧拉（L.Euler

)ne 1707-1783）记为e,因此有：lim(1n

1n

参考文献：陈传璋等编，《数学分析》（第二版）上册，高等教育出版

社，1983年7月 《数学通报》 2006年6月

第20篇：函数极限的定义证明

习题13

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.

x2x12

1证明 (1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明 因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明 因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明 因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明 因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.

证明 (1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.

证明 因为 0, X(2)分析

sinxx0

12

, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.

x2x322

1x

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明 因为0, X

2

, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.

0, 所以lim

x

0.

3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|

解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|

解 要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.

x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.

xx

证明 因为

x

limf(x)limlim11,

x0x0xx0x

limf(x)limlim11,

x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

x0

所以极限limf(x)存在.

x0

因为

lim(x)lim

x0

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

x0

lim(x)lim(x),

x0

x0

所以极限lim(x)不存在.

x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.

x

证明 因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,

x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A| ;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A| .

取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.

x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明 先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0

|f(x)A|

因此当x0

|f(x)A|

这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0

取min{1, 2}, 则当0

| f(x)A|

即f(x)A(xx0).

9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.

解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|

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