数列极限的证明

例1 设数列xn满足0x1,xn1sinxnn1,2,。 （Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n

xn1xn（Ⅱ）计算lim。 n

xn

解 （Ⅰ）用归纳法证明xn单调下降且有下界， 由0x1，得

0x2sinx1x1，

设0xn，则

0xn1sinxnxn，

所以xn单调下降且有下界，故limxn存在。

n

记alimxn，由xn1sinxn得

x

asina，

所以a0，即limxn0。

n

（Ⅱ）解法1 因为

sinxlimx0

x

1xlime

x0

1sinxlnx2x

lime

x0

1cosx1



2xsinxx

xsinx6x2

xcosxsinx

lime

x0

2x3

lime

x0

e



16

又由（Ⅰ）limxn0，所以

n

1xn

xn1sinxnxn2

limlimnnxxnn

sinx

limx0x

解法2 因为

1xxe



6

sinxx

sinxx



sinxx1x

xsinxx



x3

，

又因为

limsinxx1sinxx,lim1x0x36x0x

xnxsinxxe，

sinx6所以lim， ex0x1

故

11xlimn1nxnxnsinxnlimnxn

sinxlimx0xxn1x e1

6.

数列极限的证明

数列极限的证明

数列极限

数列极限

数列极限

数列极限四则运算法则的证明

数列极限1

11,12数列极限

122 数列极限

第二章数列极限

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