证明数列极限

推荐第1篇：数列极限的证明

例1 设数列xn满足0x1,xn1sinxnn1,2,。 （Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n

xn1xn（Ⅱ）计算lim。 n

xn

解 （Ⅰ）用归纳法证明xn单调下降且有下界， 由0x1，得

0x2sinx1x1，

设0xn，则

0xn1sinxnxn，

所以xn单调下降且有下界，故limxn存在。

n

记alimxn，由xn1sinxn得

x

asina，

所以a0，即limxn0。

n

（Ⅱ）解法1 因为

sinxlimx0

x

1xlime

x0

1sinxlnx2x

lime

x0

1cosx1



2xsinxx

xsinx6x2

xcosxsinx

lime

x0

2x3

lime

x0

e



16

又由（Ⅰ）limxn0，所以

n

1xn

xn1sinxnxn2

limlimnnxxnn

sinx

limx0x

解法2 因为

1xxe



6

sinxx

sinxx



sinxx1x

xsinxx



x3

，

又因为

limsinxx1sinxx,lim1x0x36x0x

xnxsinxxe，

sinx6所以lim， ex0x1

故

11xlimn1nxnxnsinxnlimnxn

sinxlimx0xxn1x e1

6.

推荐第2篇：数列极限的证明

数列极限的证明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|Xn+1-A|

以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|

|Xn-1-A|

……

|X2-A|

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|

2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1

设x(k)

x(k+1)=√

3当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

4

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

推荐第3篇：数列极限的证明

数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会

|Xn+1-A|

|X2-A|

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1

x(k+1)=√[2+3x(k)]

1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x\'/(t^x)\'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。

推荐第4篇：数列极限

《数学分析》教案--第二章 数列极限

xbl

第二章 数列极限

教学目的：

1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；

2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的 数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的 并能运用

概念.深刻理解定义证明有关命题，语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；

教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 用.教学时数：16学时

定义及其应

§ 1 数列极限的定义

教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。 教学时数：4学时

一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——

二、讲授新课：

（一）数列：

1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.

- 《数学分析》教案--第二章 数列极限

xbl

2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.

（二） 数列极限: 以 为例.定义 ( 的 “

”定义 ) 定义 ( 数列 收敛的“

”定义 ) 注：1.关于 ：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.

（三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法.例1

例2

例3

例4

证

注意到对任何正整数

时有

就有

-

- 9- 10- 11- 12- 13- 14- 15- 16- 17- 18- 19 -

推荐第5篇：数列极限

若当n无限增大时数列能无限的接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限，不具有这种特性的数列不是收敛数列

收敛数列的特性是随着n的无限增大，数列无限接近一个常数a，这就是说，当n充分大时，数列的通项与常数a之差的绝对值可以任意小

推荐第6篇：数列极限

§2.1 数列极限概念

第二章数列极限

§1 数列极限概念

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.

Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 数列极限概念.

难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.

Ⅲ.讲授内容

若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称

f:NR或f(n), nN

为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作

a1,a2,,an,,

或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．

例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)： 第一天截下111，第二天截下2，„„，第n天截下n，„„这样就得到一个数列 22

21111,2,,n,．或n.2222

不难看出，数列{11}的通项随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数2n2n

列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．

收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N

时有|ana|则称数列

n

{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作

limana，或ana(n).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．

定义1常称为数列极限的—N定义．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

例2证明lim证由于

|

0，这里为正数

nn

110|, nn



1故对任给的>0，只要取N=1



这就证明了lim



1，则当nN时，便有 

111|0|.即nNn

0.

nn

例3证明

3n2

3.lim2

nn

3分析由于

3n299

|2(n3).(1)|2

n3n3n

因此，对任给的>o，只要

9，便有 n

3n2

3|,(2)|2

n3

即当n

9



时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取

Nmax{3,

9



证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有（2）式成立.于是本题得证.

9



注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整

数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．例4证明limq=0，这里|q|

n

n

证若q=0，则结果是显然的．现设0

|q0||q|

n

n

1，则h>0． |q|

, n

(1h)

并由(1h)n1+nh得到

11

.(4)

1nhnh1

,则当nN时，由（4）式得|qn0|.这对任给的0,只要取Nh

|q|

n

就证明了limq0.

n

n

注本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：

对任给的>0(不妨设

lg

（这里也假定0|q|1).lg|q|

于是，只要取N

lg

即可。 lg|q|

例5证明lima1=1，其中a>0．

n

证(ⅰ)当a1时，结论显然成立.

(ⅱ) 当a1时，记a1，则0.由

a(1)1n1n(a1)

1n

1n

n

1n

得a1

a1

(5) n.

1n

任给0，由(5)式可见，当n

a1



N时，就有a1，即|a1|.所以

1n

lima1.

n

(ⅲ) 当0a1时，,

1n

１

a

－１则0.由

11

(1)n1n1n1aa

a111a1

得1a（6）1

na1.1n1a1n1a

任给0，由（6）式可见，当n１所以lima1.

n

a11



N时，就有1a，即|a1|.

1n1n

关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度．然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既时任意小的正数，那么



,3或2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式



|ana|中的可用,3或2等来代替．同时，正由于是任意小正数，我们可限定

小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定

|ana｜＜也可改写成|ana|.

2．N的相应性一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的，因为对给定的，比如当N=100时，能使得当•n>N时有|ana|，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成nN．3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给>0，若在U(a;)之外数列{an}中

N，

n

则当n>N时有anU(a,)，即当n>N时有|ana|

定义1任给>0，若在U(a,)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an

\'

收敛于极限a．

由定义1，可知，若存在某０0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,0)之外，则{an}一定不以a为极限．

例6证明{n2}和{(1)n}都是发散数列．

证对任何aR，取01，则数列{n}中所有满足na1的项(有无穷多个)显然

都落在U(a;0)之外，故知{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列.

至于数列{(1)n}，当a1时取01，则在U(a;0)之外有{(1)n}中的所有奇数项；当a1时取0

|a1|,则在U（a;0)之外有{(1)n}中的所有偶数项．所以2

{(1)n}不以任何数a为极限，即{(1)n}为发散数列．例7设limxnlimyna，做数列{zn}如下：

n

n

{zn}:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,.证明limzna.

n

证， 因limxnlimyna,故对任给的0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;)之外

n

n

的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．故由定义1\'，证得limzna．

n

例8设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．

\'

证设{an}为收敛数列，且limana．按定义1，对任给的>0，数列{an}中落在

n

U(a;)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;)之{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，外的项也至多只有有限个．这就证得limbna．

n

现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项之

后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散．在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．

n

由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出limana和liman不存在的“—N”定义.n

n

Ⅴ 课外作业: P２７

2、

3、

4、

6、

7、8.

推荐第7篇：数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明

设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)

首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.

根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C.(即常数列的极限等于其本身)

法则1的证明: ∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.

为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数) 证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.

由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的话更好证)

法则2的证明: lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn) (法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B.

为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④ 设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε =ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.

法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A) =limAn+lim(-A) (法则1) =A-A (引理2) =0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn) =lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB) =lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1) =0+B·liman+A·limbn+limAB (引理

3、引理2) =B×0+A×0+AB (引理1) =AB.

引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.

证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|

引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.

证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可

法则4的证明: 由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.

由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对∀ε>0,∃正整数N2和N3,使得: 当n>N2,有|An-A|N3,有|Bn-B|max(N1,N2,N3)时,有 |An/Bn-A/B| =|An*B-Bn*A|/|B*Bn| =|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn| ≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0) ≤ε(M+K)/((M+K+1)

法则5的证明: lim(An的k次方) =limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次) =(limAn)的k次方 =A的k次方.

推荐第8篇：数列极限1

（一）迭代数列的极限

1.设x11，xn11xn(n2,3,)。证明limxn存在，并求其值。 n1xn

2.设x10，xn111 (xn)(n1,2,3,)。证明limxn存在，并求其值。 n2xn

1A (xn)(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。 n2xn一般情形：设A0，x10，xn1

3.设x10，xn13(1xn)(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。 n3xn

A(1xn)(n1,2,)，其中A0。证明limxn存在，并求其值。 nAxn

n一般情形：设x10，xn14.设x1

6，xn1

5.设x10，xn13n1,2,3,)。证明limxn存在，并求其值。 4(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。 nxn

n6.设数列xn满足1x1，xn1sinxn(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。

变式：求limsin[sin(sinx)]。 n

（二）n项和式（乘积）的极限

n1111k2); 1.（1）llim；(2）llim；（3）lim(n3nn154n1k112kk1(k1)!n

nn1(k1)32k

(4) lim;(已知lim, a1;e)(5)lim2knnn1k0k!k1(k1)!k!(k1)!k0an

(6) lim1111.) ; (提示: 22n2n12n12n2nk1

nnaak312)(a0).(7) limln3;(8) limnnnnn1k1k2

2.（1）llimcosn2cos

22cos2n2n；（2）llim(1a)(1a)(1a)，其中|a|1； n22n（3）llim(1a)(1a)(1a)，其中|a|1。 n

3.设a11，a22，当n3时，anan1an2，证明：（a）an1an2an1；（b）lim

3210。 nan

4.设

1a01,an

(提示:令a0cos

5.求极限limnn1,2,...)，求lim4n(1an)和lim(a1a2an).nn(0).) (1)k1nk11.3k2

(nN), 求a1a2an.nn6.设a00, 定义an11sin(an1)

7.设sin1xsinx0,sinnxsin(sinn1x)(n

2,3,...)，求极限limxnx.x3

o(x3)(x0).)(提示: 用Stolz定理, 并已知sinxx3!

8.设limn(anan1)0, 若极限limna1a2anA(有限), 则limanA.nnn

a1a2an的极限.) n(提示: 令bnanan1,则anb1b2bn,考虑an

19.设Sn2nlnC

k0nknk,其中为Cn组合数.求limSn.n

10.设m,b是常数且|b|1.又设x0m,xn1mbsinxn(nN), 证明{xn}有极限a, 且a

是满足方程xmbsinx的唯一解.(提示: 存在性用Cauchy准则.)

11.设limanan20, 证明nanan10.(提示: 现估计相邻两项差的大小,再用极限定义.) nn

12.设0xn1xn1(p1,nN).证明数列{xn}收敛.np

(提示:用极限定义验证确界原理保证的确界为其极限.)

13.设0xnmxnxm(n,mN).证明数列{xn}收敛.(提示同上题.) n

14.设xn1xn2yn,yn1xnyn(nN),x1y11,求nxn.yn(提示: 记an

xn1, 则|an1an||anan1|.) 4yn

推荐第9篇：11,12数列极限

高等数学课外习题1－1，1－2 数列极限

一、填空题

答案：

1）xn(1)n1n12n1，xn。 n2n32）0， 0， 2， 1，不存在， 不存在

二、

1、提示： 利用 unauna反之，如un(1n)

2、pnp12(p2p1) 3

五、a) 不存在。 b）不一定，如xnynn

c)不一定，如xnn,yn

n1。 nnd) 不对，结论是必有limxnlimyn， 如：xn

11,yn。n2n

推荐第10篇：122 数列极限

1-2-2 数列极限

题型二 求数列的极限

类型1 对概念、性质的理解

例1 数列xn收敛于a等价于（）

A.对0，在(a,a)内有数列的无穷多项

B.对0，在(a,a)内有数列的有穷多项

C.对0，在(a,a)外有数列的无穷多项

D.对0，在(a,a)外有数列的有穷多项

[答案：D]

练习：

①设函数f(x)在(,)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（）

A.若xn收敛，则f(xn)收敛；B.若xn单调，则f(xn)收敛；

C.若f(xn)收敛，则xn收敛； D.若f(xn)单调，则xn收敛；

[答案：B]

类型2 利用函数极限求数列极限

若anf(n)，则limanlimf(n)limf(x) nnx

例1 Ilimtann

[答案：e]

练习： 4n2 4n

①[2008十七] 已知曲线fxn在1,1处的切线与x轴的交点为xn,0，则x

limfx(n)。[答案：e1] n

②曲线ytanx在点(

n2n4,1)处的切线在x轴上的截距为xn，求limy(xn)[答案：e1] n

1③Ilimnsin[答案：e6] nn

11④[北航P19]Ilimntan [答案：e3] nnn21

⑤设xe11nn1，其中n为正整数，求limx1

nn

nn[答案：2]

⑥[2012精解

P4]n1)（a0）[答案：0]

n

a1⑦设f(x)在xa的某邻域内可导且f(a)0，求Ilimnn

f(x)dx

na

f(a) 



f\'(a)

[答案：e

2f(a)

]

类型3 通项是n项和的数列的极限 方法一：先求出数列和，再求极限 方法二：利用定积分的定义

1n①limfi1

i1n0f(x)dx nn②limbanf

baanibnni1

a

f(x)dx 方法三：两边夹法则

例1 ①[2011二十] lim(11n11211231

12n)

Sol:u11211

n12n12()n2,3,4,n(n1)n(n1)nn1

2原式=lim[11111131

3n(12)(23)(n

n1)lim(n2n1)2

练习： n

①lim

n[答案：1] i1

i(i1)②lim(

1n

2!23!34!n(n1)!

)[答案：1] 例2 两边夹法则

①lim(3n

4n

nn

n

5)[答案：5]

②设u1nn2n12n2n2n

n2nn

，求limnun

[答案：1

] 练习：

1①lim(1n2n

n

10n)n

[答案：10]

n

②lim

i

n2[答案：1i1ni

2] ③[2002十二] lim21nn11

[答案：0]

n212n222n2n2

④设u1nn

，求limnu1n[答案：4]

⑤limn



[答案：1] 例2 利用定积分的定义求数列极限

①Ilim(1111nn1n2n3nn

)[答案：ln2]

②Ilim1nn(sin

2nsin22nsin32nsinn2n)[答案：2



] 练习：

①[2012考研数一]Ilim(

nn21nn

n222nn232n

n2n2)[答案：

4]

②lim

n

[答案：] 6n

③[2005十四] 极限lim1

xn

k2nkk1

n

④Ilim

n

i

22 i1ni

⑤[2002数二研]

Ilim1nn

⑥lim

n

 ⑦lim1p2pnp

nnp1

（

p1）

例3 两边夹法则+定积分定义

①Ilim(

n

3333

)

111n1nnn23n

n

n2n3nnn

②Ilim练习：

i

22nni1i1

①[北航P31]Ilim

n



i1

n

i21n

n

isin ②Ilimnii1

nn

n

③[2012精解P5] Ilim(

n

12n

) 222222

n11n22nnn

n

类型4 通项是n项之积的数列的极限（xnai，求limxn）

i1

n

方法一：求出连乘积，再求极限（分子分母同乘一个因子，使分子、分母可进行化简；拆通

项或因式分解，使之成为两因式之积）

方法二：利用对数恒等式化为n项和的极限 方法三：利用两边夹法则

例1 ①[2010第二届全国赛区赛]设xn(1a)(1a)(1a)，其中a1，求limxn

n

2n

②Ilim1练习：

n

111

1122223n

2n

①当x1时，求lim(1x)(1x)(1x)

n

②设xn(1)(1)(1

214

12

2n

)，求limxn

n

③[2011全国赛区赛]设ancos



22xxx

④设0x，求limsecsecsecn

n242

例2 ①xn1

cos



cos2



n

，求liman

n

12n

xn 11，求limnnnn

n

1其它形式：Ilim

I

nnn②设f(x)在[0,1]上连续且f(x)0，则

In练习：

1222n2

①[北航P28]lim1212

12

n

nnn

1n

②Ilim

n

n

ba

，求n

b]n等分，每点为ax0x1xnb，x

③设对区间[a,

I

n④[2002十二] 设fx是a,b上恒正的可积函数，finfai





ba

，则n

。

n1

ln(f(1)f(2)f(n))

nn3

1x

⑥[2010P11] 函数f(x)a（a0且a1），求Ilim2ln(f(1)f(2)f(n))

nn

⑦[2012精解P5]

In⑤[2011二十] 函数f(x)3x，lim

例5 ①[

北航P30]若an②若an

，求liman n132n1

，求liman

n242n

n

例6求证：若a1

a2ak0，

则limaaa0（10分）

类型5 通项由递推公式给出的数列的极限（xn1f(xn)，求limxn）

n

一般思路：先用单调有界准则证明极限存在，再令limxna，通过递推公式建立关于a的

n

方程，求出a。

例1 设数列xn满足0x1，xn1sinxn（n1,2,3,），（1）证明：limxn存在

n

xn1xn2

并求该极限；（2）计算lim nxn

练习：

①设x1

1，xn

limxn

n

②（本题10分）设u11,u22,n3时，unun1un2。（1）(6分)求证：

31un1un2un1；（2）(4分)求lim。

nu2n

③设x1

10，xn1

，求limxn n1,2,3,）

n

④设0x1

3，xn1例2 设x11，xn

练习：

，求limxn n1,2,3,）

n

xn13

（n1,2,3,），求limxn

nxn11

，求证：极限limfn存

nx2

①[2002十二] 设fx在1,有连续导数，且0fx在 （10分）

②[2008十七] 设正值序列xn满足lnxn

1，证明limxn存在，并求其值。

nxn1

（８分）

类型6 通项由积分表示的数列的极限 方法一：将积分算出，求极限

方法二：利用积分中值定理去积分号，再求极限

方法三：利用积分估值得出数列通项满足的不等式，再用两边夹法则

例1 设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且f(x)0，g(x)0（x[a,b]），

求

Ilim

na

g(x)dx

例2 [北航P41]设f(x)在[0,)上单调减少且为非负连续函数，

anf(i)f(x)dx，求证：an的极限存在。

i1

n

n

6

第11篇：第二章数列极限

第二章数列极限

第1节数列极限概念

一、教学目标：

1.了解数列极限的具体概念

2.掌握数列极限的计算方法

二、教学重点：

1.数列极限的定义

2.数列极限的计算

3.证明数列的敛散性

三、教学难点：

1.数列极限的—N定义

2.证明数列的敛散性

四、教学过程：

1.创设问题情景，引入课题

（1）知识回顾：

若函数f的定义域为全体正整数集合N,则称

f:NR或f(n), nN

为数列。因正整数N的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写成

a,a,...,a,...,12n

或简单地记为｛an｝，其中an称为该数列的通项。

（2）关于数列极限，先举一个我国古代有关的例子。

例1 古代哲学家庄周所著《庄子*天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制的持续下去。

把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：

1

1第一天截下，第二天截下

2

2个数列

，......，第n天截下

n

n

n

，......这样就得到一

1111,,...,,...或｛｝ 222211

不难看出，数列 ｛｝的通项 随着n的无限增大而无限接近于0.一

22

般的说，对于数列｛a｝,若当n无限增大时 a能无限的接近某一个常数a,则

n

n

n

n

称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限。

下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义。

2.具体教学内容及例题

定义1设｛an｝为数列，a为定数。若对任意的正数，总存在正整数N，使得当n>N时有

|an-a|

则称数列｛an｝收敛于a，定数a称为数列｛an｝的极限，记作

limaa或aa(n)

n

n

n

读作“当n趋于无穷大时，｛an｝的极限等于a或an趋于a”。

若数列｛an｝没有极限，则称｛an｝不收敛，或称｛an｝为发散数列。

定义1常称为数列极限的—N定义

例2证明lim0，这里为正数。

n

n

证分析：这一题运用定义1来解决。由于

11|0| nn1

]1,当n>N时，便有 故对任给的>0，只要取N[

111

即 |0| nNn1

这就证明了0 

n

n

例3证明

3n

3 lim

n

3n

分析由于

3n99|3|(n3)（1） n3n3n

9因此，对任给的>0，只要，便有

n3n

||（2）

n3

22

222

即当n



9



时，（2）式成立。又由于（1）式是在n3时成立，所以应该取

Nmax{3,（3）

9



证任给

学生思考：1.为什么（1）中要求n3？

q0，这里|q|1。

n

0，取Nmax{3,，当n>N时有（2）式成立。

9

2.N一定要求是正整数？

例4证明lim

n

证若q0，则结果是显然的。现在设0|q|1。记

1h1，则h0我们有

|q|

|q0||q|

(1h)

n

n

n

并由(1h)

n

1nh得到

n

11

|q|（4）

1nhnh

对任给0，只要取N，则当nN时，由（4）式得

h

|q0|。这就证明了limq0

n

n

n

学生思考：本例还有其他的解题方法？

（提示：可以运用对数函数y讨论）

lgx的严格增性来证明，留给同学们课下

3.对于定义的深入探讨

关于数列极限的

N定义，通过上面的几个例子，我们已经有了初步的

认识。但是，我们还需注意下面的几个重要的性质：

i .的任意性定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近的愈好；而正数可以任意小，说明an与a可以接近到任何程度。然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时被确定下来，依



靠它求出N.又 既是任意小的正数，那么，3或 有事任意小正数。所



以|aa| 中可用，3或来代替。同时，正因为是任意小

的正数，我们可以限定小雨一个确定的正数。

ii.N的相应性一般来说，N随的变小而变大，由此，我们常把N写成N()，来强调N是依赖的。但这并不是意味着N是由唯一确定的，因为给定的，比如当N=100时，当n>N时有|aa|，则当N=101或者更大，

n

n

此不等式均成立。这里注重的是N的存在性，而不是它值的大小

iii.从几何意义上看，“当n>N时有|an

N的项都落在U(a;

a|”意味着：所有下标大于

n

)内。而在U(a;)之外，数列{a}中的项最多只有有

限个。由此，我们可写出数列极限的一种等价定义：

定义1任给

\'

0，若在U(a;)之外数列{a}中的项至多只有有限

n

n

项，则称数列{an}收敛于极限a

例5证明{n

}和{(1)}都是发散数列

证对任何aR，取0

1，则数列{n}中所有满足na1的无

穷多项显然都落在U(a;)之外，故{n}不以任何数a为极限，即{n}为发散数列。

{(1)}为发散数列，给学生自己证明。

n

五、课堂小结与评价

1.这节课我们主要讲解了数列极限的定义，同学们要掌握定义的内容，同时能够解决极限的计算问题。

2.能够证明一个数列的敛散性。

六、作业

学号：09020124 班级：09数本（2）班 姓名：徐洋

第12篇：1.2 数列极限

第一章函数与极限

第二节 数列极限

教学目标数列极限的定义、数列极限性质、存在准则 教学重点数列极限的定义、数列极限性质、存在准则 教学难点数列极限的定义

教学过程

一、数列 的极限定义

１数列的定义

定义1:按照某一法则,对每个自然数n对应一个确定的实数xn，这些实数xn按照下标n对从小到大排列得到一个序列

x1,x2,,xn,

就叫数列,简记数列为xn

其中,数列中的每一个数叫做数列的项,

例１1,1111,,,,(1) 通项为xn 23nn

123nn,,,,,(2) 通项为xn 234n1n1第n项叫做数列通项。

143n(1)n1n(1)n12,,,,,,(3) 通项为xn 234nn

2,4,8,,2n,(4) 通项为 xn2n

1,1,1,,(1)n1,(5) 通项为xn(1)n

1注：1)数列就是自变量取正整数的函数xnf(n),nN函数值按自变量从小到大排列。 项数n就是函数xn的自变量，第n项xn就是函数值。

2)微积分对数列研究的重要内容是当项数n无限增大时n,xn是否无限接近某个数值若能够的话，这个数值是什么？

换句话说就是一个数列是否收敛，若收敛极限是什么？

这具有重要的理论和实际意义，如刘徽的割圆术

考察例１中数列的情况

又考察sin1,2sin

111

,,,nsin,xnnsin，n，xn? 2nn

n(1)n1

1特征 分析已知lim

nn

注意到xn与1的距离是xn1使xn1

11

，故欲使xn1只需n100时均成立，欲n100

1110

0n10只需时均成立，对欲使只需即可。 nxn1010

即它有特征：

“对0，存在正整数N只要nN就有xn1”（*） 通俗地讲就是：“要有多接近，从某项后就有多接近”

反之若对数列xn满足（*），则由于正数的任意性，关键是可任意小，可知当n时，xn越来越接近1。

故一般地若对数列xn满足：“对0，存在正整数N只要nN就有xna” ，就有当n时，xn越来越接近a。即数列以a极限。 2 数列极限的定义

定义2 若数列xn与及常数 a 有下列关系 :

对0，存在正整数N只要nN就有xna 则称该数列xn的极限为 a ,

记作limxna或limxna或xna(n)此时

n

也称数列收敛。若数列不以任何常数为极限，则称数列发散 .注（1）定义是说“对a的邻域，都能找到正整数N，使得从第N项以后数列所有项都在a的邻域”

由任意性关键是可任意小，从而使得落在a的邻域项越来越接近a，从而的确反映了数列xn以a为极限是当项数越来越大时项也越来越接近a这一事实。 由此定义中正数任意性不可少，关键是可任意小。

（2）定义的精妙之处不是首先看xn随n怎样变化，（A)而是先对极限a取任意邻域,(B)再确定数列从某项开始都在a的给定邻域内。 由此可以看到数列xn以极限为 a则必然有

（A)对a取任意邻域，数列有无穷多项在该邻域内。 (B)对a取任意邻域，数列只有有限项在该邻域外。 思考：由（A)或(B) 成立能否得出数列极限为a 。

（3）是a的邻域半径;都在a的所给邻域内。

正数任意小不可少。N是分界项数；从第N项以后所有项

通常N的大小与大小有关：“越小N越大”，另外对给定，N的取值不唯一。

故有时正整数N用N表示。

（4）这个定义使得我们有了判断数列xn以a为极限方法: “对0，寻求正整数N，使得当nN时xna”

(),1，在解这可以解通过不等式xna解出nN()，令NmaxN

xna时可以将xna放大。

在证明的书写中必需体现出：对0，取Nmax

N(),1

，当nN时

xna。

思考：(1)写出数列xn不以a为极限的定义

00,对任意自然数n,总存在自然数n0n使得

xn0a0

(2)能否说数列xn不以a为极限就意味着数列发散。 (3)

若limxna现改变数列xn有限项，得一新数列记为yn，yn是否收敛，

n

若收敛极限是什么？

n(1)n

,证明数列xn以1为极限 例2.已知xn

n

(1)n

例3.已知xn,证明limxn0.2n(n1)

例4.设q1,证明等比数列1,q,q2,,qn1,的极限为 0 .思考题：已知limxna，证明limxna

n

n

思考 (1)已知limxna，能否得出limxna或a

n

n

（2）已知limxn0，能否得出limxn0

n

n

二、收敛数列的性质

1.定理 收敛数列的极限唯一.例4.证明数列xn(1)n1(n1,2,)是发散的.2.定理 收敛数列一定有界.注此性质反过来不一定成立 .

n

1例 数列(1)虽有界但不收敛 .



3.收敛数列的保号性.

定理 若limxna, limynb,且ab.则存在自然数N，当nN时xnyn

n

n

注1）定理意思是说数列极限越大，则从某项开始项越大。

2）若limxna,且a0(a0)，则存在自然数N，当nN时xn0(xn0)。

n

亦即极限大于零（小于零），则从某项开始项也大大于零（小于零）。

定理存在自然数N，当nN时xnyn，且limxna, limynb,则ab.

n

n

注1）从某项开始项越大，则极限也越大。

2）若存在自然数N，当nN时xn0(xn0)，且limxna,则a0.a0

n

3）不能由xnyn得出ab.同理不能由xn0(xn0)得出a0.a0 4.定理收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .注由此性质可知若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例 xn(1)

n

则原数列一定发散 .

n1

(n1,2,)发散 !

n

n

思考题 limxnalimx2na,且limx2n1a

三、极限存在准则 1.夹逼准则

定理(1)ynxnzn(N,nN，)(2)limynlimzna，则limxna

n

n

n

例5.证明limn

n

111

22

n2nnn2

1 

注 利用夹逼准则求极限时关键是对xn进行缩和放：ynxnzn，且要保证新的两个数列极限相同。

2.单调有界数列必有极限 ( 准则2 )定理单调有界数列必有极限

n

例6 已知xn(11证明数列xn极限存在 .)(n1,2,),

例7.

设x1

xn1



limxn

n

*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

定理 数列xn收敛当且仅当对存在自然数N，当n,mN时有xnxm

内容小结

1.数列极限的 “  – N ” 定义及应用 2.收敛数列的性质:

唯一性 ;有界性 ;保号性; 任一子数列收敛于同一极限 3.极限存在准则:

夹逼准则 ;单调有界准则 ;柯西准则

练习题 1）a

0,求2

）求）已知a1求lim

n

，4）已知0求an

lim

lgn

n

1)提示 当a

1时，故可设1n

n0于是a1n1nn，从而有

n

0n

a1a1

,又lim0，由夹逼定理得limn

0,故lim1n1 nn

当0a

1时，1

n(n1)2n(n1)2n

nnn1n，2)提示

1n，n1n1nn

22

故0n

n

n(n1)2n

nnn得.思考：为什么不由n1n1nn

3)

提

示

设

n1n1nn

a1

0,

则有

an1

n

1n

n(n

212)n(n1)2n2n，故an，故0n 2

2a(n1)

nk

类似得lin0a1,kR，若设a10,

a

an11n

n

n(n1)(nk)k1

n故

k1!

k1!nkn(n1)(nk)k1

a，0n

ak1!k1(1)(1)(nk)nn

n

k1k

提示 对n1,有kN使得2n2，故lgnklg2k，从而



n2k12

k



02，

lgnk

2

kn

2

第13篇：数列极限教案

数列的极限教案

授课人：###

一、教材分析

极限思想是高等数学的重要思想。极限概念是从初等数学向高等数学过渡所必须牢固掌握的内容。

二、教学重点和难点

教学重点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画。

教学难点：数列极限概念的理解及数列极限N语言的刻画，简单数列的极限进行证明。

三、教学目标

1、通过学习数列以及数列极限的概念，明白极限的思想。

2、通过学习概念，发现不同学科知识的融会贯通，从哲学的量变到质变的思想的角度来看待数列极限概念。

四、授课过程

1、概念引入

例子一：(割圆术)刘徽的割圆术来计算圆的面积。

.........内接正六边形的面积为A1，内接正十二边形的面积为A2......

内接正62n1形的面积为An.

A1,A2,A3......An......圆的面积S.

用圆的内接正六n边形来趋近，随着n的不断增加，内接正六n边形的面积不断

1接近圆的面积。

例子二：庄子曰“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。

第一天的长度1

1 第二天的剩余长度

21 第二天的剩余长度

41 第四天的剩余长度 8

.....

1 第n天的剩余长度n1.......2

随着天数的增加，木杆剩余的长度越来越短，越来越接近0。

这里蕴含的就是极限的概念。

总结：极限是变量变化趋势结果的预测。例一中，内接正六n边形的边数不断增加，多边形的面积无限接近圆面积；例二中，随着天数的不断增加，木杆的剩余长度无限接近0.

在介绍概念之前看几个具体的数列：

1111（1）: 1,,,......； 23nn

1n1111:1,,,,,......； （2）n2345

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）1:1,1,1,1,......,1,......； nn

我们接下来讨论一种数列xn，在它的变化过程中，当n趋近于时，xn不断接近于某一个常数a。如随着n的增大，（1），（2）中的数列越来越接近0；（3）

（4）中的数列却没有这样的特征。

此处“n趋近于时”，“xn无限接近于数a”主要强调的是“一个过程”和一种“接近”程度。

可是只凭定性的描述和观察很难做到准确无误，所以需要精确的，定量的数学语言来刻画数列的概念。本节课的重点就是将数列的这样一个特征用数学语言刻画出来，并引入数列极限的概念。

2、内容讲授

（定义板书）设xn是一个数列，a是实数。如果对于任意给定的数0，总存在一个正整数N，当nN时，都有xna，我们称a是数列x

n的极限，

或者说数列xn收敛且收敛于数a。

写作：limxna或xnan。

n

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

注意：（1）理解定义中的“任意给定”：是代表某一个正数，但是这个数在选取时是任意的，选定以后就是固定的。不等式xna是表示xn与a的接近程度，所以可以任意的小。

（2）N的选取是与任意给定的有关的。 11以数列为例，欲若取，则存在N100，当nNxna； 100n

若取1，则存在N1000，当nN时，xna。 1000

数列极限的N语言：

limx

nna0,N,nNxna.数列极限的几何解释：

3、例题讲解

n211。 例题1用数列极限的定义证明limnnn

n21证明：设xn，因为 nn

n21212xn1nnnnn

0，欲使xn，只要22即n， n

2我们取N1，当nN时， 

n2122.nnNn

n21所以lim1.nnn

2注：N的取法不是唯一的，在此题中，也可取N10等。 

例题2 设xnC（C为常数），证明limxnC。 n

证明：任给的0，对于一切正整数n，

xnCCC0，

所以limxnC。 n

小结：用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.五、课后作业

第14篇：数列极限复习

数列极限复习题

姓名

242n

1、lim=；n139(3)n

an22n1a

2、若lim(2n)1，则=；nbn2b

1an

3、如果lim()0，则实数a的取值范围是；n2a

n

4、设数列{an}的通项公式为an(14x)，若liman存在，则x的取值范围是n

___；

a5．已知无穷等比数列n的前n项和

穷等比数列各项的和是；

6、数列an满足a1Sn1a(nN*)n3，且a是常数，则此无1，且对任意的正整数m,n都有amnaman，则数列an的

3所有项的和为；

7、无穷等比数列an的首项是某个自然数，公比为单位分数（即形如：数，m为正整数），若该数列的各项和为3，则a1a2；

8、无穷等比数列an的各项和为2，则a1的取值范围是

1的分m



9、无穷等比数列an中，

为；

lim(a2a3...an)

n

=1，则a1的取值范围

cosnsinn

10、计算： lim,[0,]

ncosnsinn

222na2n

111、若lim2n1，则实数a的取值范围是；2n

12a

23n2n(1)n(3n2n)

12、若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,„,则

lim(a1a2an)__________；

n

1

1n2012n(n1)

13、若an,Sn为数列an的前n项和,求limSn____;

n

31n2013n1

214、等差数列an，bn的前n项和分别为Sn,Tn且

an

 nbn

Sn2n

，则Tn3n

1lim

15、设数列an、bn都是公差不为0的等差数列，且lim

lim

b1b2b3n

na4n

an

3，则bn

16、已知数

列为等差数列，

且

，

则

a

117、设等比数列{an}的公比为q，且lim1qn），则a1的取值范围是

n1q

2__________；

18、已知等比数列{an}的首项a11，公比为q(q0)，前n项和为Sn，若

lim

Sn

11，则公比q的取值范围是.；

nSn

19、已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有nN*，有4Sn(an1)2，

n

（） 其中Sn表示数列{an}的前n项和．则limnan

A．0B．1C．D．

220、下列命题正确的是 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„()

（A） limanA, limbnB则lim

n

n

anA

(bn0,nN)

nbBn

（B） 若数列{an}、{bn}的极限都不存在，则{anbn}的极限也不存在 （C） 若数列{an}、{anbn}的极限都存在,则{bn}的极限也存在

（D） 设Sna1a2an，若数列{an}的极限存在,则数列{Sn}的极限也存在

21、用记号“○+”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算, 即a○+b=已知数列{xn}满足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),则limxn等于（）

n

ab

.

2A.2

3B.

12

C.0D.

122、连结ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1，又A1B1C1的各边中点得到一个新的A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形，A1B1C1，A2B2C2，

A3B3C3，, 这一系列三角形趋向于一个点M。已知

A0,0,B3,0,C2,2，则点M的坐标是（）

52522Ａ、(,)Ｂ、(,1)Ｃ、(,1)Ｄ、(1,)

3333

323、已知数列

lim

{an},{bn}

都是无穷等差数列，其中

a13,b12,b2是a2和a

3的等差中

an1111lim(...)nbn2，求极限a1b1a2b2anbn的值； n项，且

24、设正数数列

lga

lin

1n

an

为一等比数列，且a24,a416，求

lagn2n

2al2ng；

bnlgan，2

5、数列{an}是由正数组成的数列，其中c为正常数，数列bna1c，

成等差数列且公差为lgc （1） 求证an是等比数列； （2） an的前n项和为Sn，求lim

26、已知f(x)logax(ao且a1)，

an

nSn

且2,f(a1),f(a2),f(a3),,f(an),2n1,(nN)成等差数列， （1） 求数列an的通项公式；

（2） 若数列an的前n项和为Sn，当a1时，求lim

Sn

nan

第15篇：数列极限例题

三、数列的极限

(1)n1}当n时的变化趋势. 观察数列{1n问题:

当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察:

(1)n1当n无限增大时, xn1无限接近于1.

n问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.

xn1 (1)n1给定

11 nn1111, 由, 只要n100时, 有xn1, 100n10010011,只要n1000时, 有xn1, 给定1000100011,只要n10000时, 有xn1, 给定10000100001给定0,只要nN([])时, 有xn1成立.

定义

如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式xna都成立, 那末就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为

limxna,

或xna(n).

n如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 注意：

N定义:limxna0,N0, 使nN时, 恒有xna.

n其中记号:每一个或任给的; :至少有一个或存在.

数列收敛的几何解释:

a2axN2x2x1xN1ax3x

当nN时, 所有的点xn都落在(a,a)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.

注意：数列极限的定义未给出求极限的方法. n(1)n11.例1 证明limnnn(1)n111 .证

注意到xn1 nn任给0, 若要xn1, 只要

11,或 n, n所以, 取 N[], 则当nN时, 就有 1n(1)n11.nn(1)n11.即limnn

重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的0,给出限制01；

n(1)n11”的详细推理

（2）逻辑“取 N[], 则当nN时, 就有

n1见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.

由于N立.

严格写法应该是：任给0, 不妨取01， 若要11N1，所以当nN时一定成立nN11，即得

1成nn(1)n11111

n是成立

n(1)n111.xn1=

nnn(1)n11.即limnn小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定0,寻找N, 但不必要求最小的N. 例3证明limq0, 其中q1.

nn证

任给0(要求ε

nnn若0q1, xn0q, nlnqln,

nnlnln, 取N[](1), 则当nN时, 就有qn0, lnqlnqlimqn0.

n0, q1,q1,, n

说明：当作公式利用：limq

n1, q1,不存在，q1.

第16篇：数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式

数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式·教案

证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立． （2）假设n=k时（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 当n=k+1时， 2+4+6+…+2k+（k+1）

所以n=k+1时，等式也成立．

根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立． 生甲：证明过程正确．

生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设．

师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设．

（课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新）

（二）讲授新课

师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用． （板书）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：（1+x）n＞1+nx． 师：首先验证n=2时的情况．

（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．

（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）

第17篇：数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明

数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案

教学目标

1．对数学归纳法的认识不断深化．

2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系． 教学重点和难点

用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计

（一）复习引入

师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？

生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；

（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？

生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？

生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．

师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．

（二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出

师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．学生乙没有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．

生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但从-lg 2，0，2lg 2，5lg 2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了，这“多少倍的”从-1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了．

师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？ 生乙：我是看f（2），f（3），f（4）每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上（n-1）lg 2，也就是从n=2，3，4，„分别代入递推关系式f（n）=f（n-1）+（n-1）lg 2的求值计算过程中得到的．这里算每一个时要用前一个的结果，写时也用它的计算过程来表示，这样就容易发现规律了．

师：实际上，他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这种归纳我们不妨称之为：“猜结构”，而例1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧．

其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解题过程中的式子结构去思考．但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识．

学生乙在用数学归纳法证明猜想时，注意了两个步骤及归纳假设的使用，证明正确．这个问题解决得非常好．

归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法，重要的解题途径，它是我们认识数学的一把钥匙．

（三）练习

（四）小结

（引导学生一起归纳小结）

1．归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性．它引导我们在数学的领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发挥我们的数学想象力．同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明． 2．归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．在归纳、猜想、证明的过程中，猜想是关键．我们可以“猜结果”，也可以“猜过程”，只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系，就不难得到猜想．在用数学归纳法证明时，有时还可以弥补猜想中的不足．

（五）布置作业

1．高级中学课本《代数》下册（必修）P129第35题．

课堂教学设计说明

利用“归纳、猜想、证明”这一思维方法解题，在课本中虽无这类例题，但复习参考题的最后一道却属此类．它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用重大．

在归纳、猜想、证明中，准确猜想是关键．因此我们把重点放在了如何猜想．它不仅能帮助学生使问题得以顺利解决，而且对于开发学生的想象力、培养学生的创新意识、培养新世纪人材都很有意义．

在例题、习题、作业题的配备上，我们认为高中的学习特点是梯度陡、跨度大、思维能力要求高（较初中而言）．因此在题目的设置上，我们加大了思维的含量．让学生在处理每一个问题，操作每一步时都必须有所思考，使学生深切体会到：数学不能死记硬背，也不能生搬硬套．要用数学的思想方法观点学习数学、看待数学．

本节安排的这道练习题．从题目本身看，学生得不到一个解题程序，似乎无从下手．但如果他已掌握了归纳、猜想、证明的思想而不只是方法的话，他就会有解题意识与思路．更可从中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程，体会有限与无限、特殊与一般等辩证关系．

至于课后思考题，其计算、猜想都不困难，使学生对此题轻松上手．但证明时的不顺利会引发他们的思考：照搬例习题的模式是不行的，它与例习题的区别何在？数学归纳法的本质特征是什么？„„这些思考不仅有助于学生解出此题，更有助于学生从实质上理解数学归纳法，抓住其核心——递推． 这节课的教学，我们始终以问题为主线，让学生的思维由问题开始，到问题深化．通过问题的研讨，帮助学生从认识上得到提高．逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入．从而提高学生的思维层次与思维水平。

第18篇：作业2数列极限

作业2数列极限

1、用数列极限的N定义证明下列极限：

4n

241）lim2nnn

证明：0

4n2442 nnn

14n2

取N1，当nN时，恒有24 nn

44n2

4所以lim2nnn

2）limnn1n0 

证明：0

n1n0

11n1n1n取N2，当nN时，恒有n1n0

所以limnn1n0 

n2

3）limn0 n

3证明：0，无妨设n3

n2n2n2n26n6n0n n332Cn1n2n311n

n2

取N3，当nN时，恒有n0 36

n2

所以limn0。 n3

2、若limunA，证明limunA。并举例说明器逆命题不成立。 nn

证明：0，因为limunA，所以存在N0，当nN时，恒有 n

unA

此时恒有

unAunA 所以limunA。 n

例：lim11，但lim1不存在。 nn

nn

3、设数列un有界，又limvn0，证明：limunvn0。nn证明：因为un有界，所以存在正数M，对任给的n有

xnM

对任给的0，由于limvn0，一定存在N0，当nN时，恒有 n

vn0vn

此时恒有

unvn0unvnM

（注意M也可以取到任意小的正数）

因此limunvn0。 n

4、设un,vn两个数列有相同的极限A，求证：若xnunvn，则limxn0。n证明：0，

因为limunA，所以存在N10，当nN1时，恒有 n

unA

又因为limvnA，所以存在N20，当nN2时，恒有 n

vnA

取NmaxN1,N2，当nN时

xn0unvnAunAvn2

（注意2也可以取到任意小的正数）

所以limxn0 n

5、若limunA0， n

1）证明存在N0，当nN时有un证明：取A0。 2A，因为limunA，所以存在正数N，当nN时有 n2

AunA 2

AAAunAun0 222即有

2）用数列极限的定义证明limun11。 nun

证明：0，因为limunA，存在N10，当nN1时有 n

unAA 4

A0 2再由1）可得存在N20，当nN2时有un

取NmaxN1,N2，当nN时，

uuuAunA4Aun11n1nn1 AununA4

所以limun11。 nun

第19篇：第二节数列极限能源

任三马同槽。亡他经常思。尿布湿的利与！基亚瞄准，血症角为，宫上可动关到！初一那天去。掉哭礼貌，棵树吧我，刘二再加上。最开展神最舒！认了一定符。

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第20篇：数列、极限、数学归纳法·数学归纳法

数列、极限、数学归纳法·数学归纳法·教案

教学目标

1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．

2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤． 3．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 教学重点与难点

重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解． 教学过程设计

（一）引入

师：从今天开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢？应该从认识什么是归纳法开始．

（板书课题：数学归纳法）

（二）什么是归纳法（板书）

师：请看下面几个问题，并由此思考什么是归纳法，归纳法有什么特点．

问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？ （可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好） 生：把它倒出来看一看就可以了．

师：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．顺序操作怎么做？ 生：一个一个拿，拿一个看一个． 师：对．问题的结果是什么呢？ （演示操作过程）

第一个白球，第二个白球，第三个白球，„„，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．

特点吗？

生：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法． 特点是由特殊→一般（板书）．

师：很好！其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法，今后的学习还会看到归纳法的运用．

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．

还应该指出，问题1和问题2运用的归纳法还是有区别的．问题1中，一共12个球，全看了，由此而得到了结论．这种把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法．对于问题2，由于自然数有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前4项体现的规律，进行推测，得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法．

（三）归纳法的认识（板书）

归纳法分完全归纳法和不完全归纳法（板书）． 师：用不完全归纳法既然要推测，推测是要有点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题3．

资料1（事先准备好，由学生阅读）

费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献． 但是，费马曾认为，当n∈N时，22n+1一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4作了验证后得到的．

18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了225+1=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．

师：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！ 再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）：

师：算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来． 师：归纳法为什么会出错呢？ 生：完全归纳法不会出错．

师：对！但运用不完全归纳法是不可避免的，它为什么会出错呢？ 生：由于用不完全归纳法时，一般结论的得出带有猜测的成份． 师：完全同意．那么怎么办呢？ 生：应该予以证明．

师：大家同意吧？对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明．

（四）归纳与证明（板书）

师：怎么证明呢？请结合以上问题1思考．

生：问题1共12个球，都看了，它的正确性不用证明了．

师：也可以换个角度看，12个球，一一验看了，这一一验看就可以看作证明．数学上称这种证法为穷举法．它体现了分类讨论的思想．

师：如果这里不是12个球，而是无数个球，我们用不完全归纳法得到，这袋球全是白球，那么怎么证明呢？

（稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）

师：这类问题的证明确不是一个容易的课题，在数学史上也经历了多年的酝酿．第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明． 结合问题1来说，他首先确定第一次拿出来的是白球． 然后再构造一个命题予以证明．命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球”，结论是“下一次拿出来的也是白球”．

这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性． 大家看，是否证明了上述两条，就使问题得到解决了呢？

生：是．第一次拿出的是白球已确认，反复运用上述构造的命题，可得第二次、第三次、第四次、„„拿出的都是白球．

师：对．它使一个原来无法作出一一验证的命题，用一个推一个的递推思想得到了证明． 生活上，体现这种递推思想的例子也是不少的，你能举出例子来吗？ 生：一排排放很近的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排． 生：再例如多米诺骨牌游戏． （有条件可放一段此种游戏的录相）

师：多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：

（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒； （2）第一张牌被推倒．

用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．

（五）数学归纳法（板书）

师：用数学归纳法证明以上问题2推测而得的命题，应该证明什么呢？ 生：先证n=1时，公式成立（第一步）；

再证明：若对某个自然数（n=k）公式成立，则对下一个自然数（n=k+1）公式也成立（第二步）． 师：这两步的证明自己会进行吗？请先证明第一步．

师：于是由上述两步，命题得到了证明．这就是用数学归纳法进行证明的基本要求． 师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤． 生：共两步（学生说，教师板书）： （1）n=1时，命题成立；

（2）设n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立．

师：其实第一步一般来说，是证明开头者命题成立．例如，对于问题3推测得的命

（若有时间还可讨论此不等关系证明的第二步，若无时间可布置学生课下思考）

（六）小结

师：把本节课内容归纳一下：

（1）本节的中心内容是归纳法和数学归纳法．

（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法．分完全归纳法和不完全归纳法二种． （3）由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行． （4）数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤必须是二步．

数学归纳法在数学中有广泛的应用，将从下节课开始学习．

（七）课外作业

（1）阅读课本P112～P115的内容． （2）书面作业P115练习：1，3． 课堂教学设计说明

1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．

数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束． 把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试． 2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．

3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件．

《证明数列极限.doc》

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