极限定义证明

推荐第1篇：极限 定义证明

极限定义证明

趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于

2这两个用函数极限定义怎么证明?

x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|sinx/√x-0|=|sinx/√x|

|sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2,

∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，

所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|

同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2

证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式

|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|

需要0

|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|

由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.

注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M

注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0

同理，存在Ni，当x>Ni时，0

取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

(a/M)^n

所以a/M

对n取极限，所以a/M

令x趋于正无穷，

a/M

注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。

令M趋于正无穷，b趋于a;

有a

这表明limg(x)=a;

证毕;

证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。

还有个看起来简单些的方法

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

g(x)=max{f1(x),....fm(x)};

然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。

其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

有种简单点的方法，就是

max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。

多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，

故极限可以放进去。

2一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

2

推荐第2篇：定义证明二重极限

定义证明二重极限

就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A

关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2

且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

推荐第3篇：函数极限的定义证明

习题13

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.

x2x12

1证明 (1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明 因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明 因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明 因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明 因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.

证明 (1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.

证明 因为 0, X(2)分析

sinxx0

12

, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.

x2x322

1x

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明 因为0, X

2

, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.

0, 所以lim

x

0.

3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|

解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|

解 要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.

x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.

xx

证明 因为

x

limf(x)limlim11,

x0x0xx0x

limf(x)limlim11,

x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

x0

所以极限limf(x)存在.

x0

因为

lim(x)lim

x0

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

x0

lim(x)lim(x),

x0

x0

所以极限lim(x)不存在.

x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.

x

证明 因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,

x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A| ;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A| .

取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.

x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明 先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0

|f(x)A|

因此当x0

|f(x)A|

这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0

取min{1, 2}, 则当0

| f(x)A|

即f(x)A(xx0).

9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.

解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

这就是说存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M 其中M1|A|

推荐第4篇：用极限定义证明极限[材料]

例

1、用数列极限定义证明：limn20 nn27

n2时n2(1)2n(2)2nn22(3)24(4)|20|222 nn7n7n7nnn1nn

2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2

n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n[]，故取N=max{7, 2

44[]}。这样当n>N时，有n>7，n[]。 

4 因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n[]，所以不等号（3）成立的条件是1

|不等式（4）能成立，因此当n>N时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N时，

在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n20|。 n27n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．

2可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n40 nn2n

1n4n4n4时nn2n2(1)|20|22 nn1nn1nn1n2n

22不等号（1）成立的条件是n[],故取N=max{4, []},则当n>N时，上面的不等式都成例

2、用数列极限定义证明：lim

立。

注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2n1n

2n2n1n

nnn22

n(n1)2n

1(1)n

例

3、已知an，证明数列an的极限是零。2(n1)

(1)n1(1)1(2)

证明：0(设01)，欲使|an0|||成立 22(n1)(n1)n1

11解得：n1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n1

1数n都是成立的，因此取N[1]，则当n>N时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式

和不等式均成立，所以当n>N时，|an0|。

在上面的证明中，设定01，而数列极限定义中的是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？

在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定01，则N[1]就有1



可能不是正整数，例如若＝2，则此时N＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定01，这样就能保证N是正整数了。

那么对于大于1的，是否能找到对应的N？能找到。按照上面已经证明的结论，当＝0.5时，有对应的N1，当n>N1时，|an0|＜0.5成立。因此，当n＞N1时，对于任意的大于1的，下列式子成立：

|an0|＜0.5＜1＜，亦即对于所有大于1的，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，可限小。只要对于较小的能找到对应的N，则对于较大的．．．

就自然能找到对应的N。

推荐第5篇：利用函数极限定义证明1

习题2-2

1.利用函数极限定义证明:

(3).limxsinx01x0;

x|1，则当 0|x| 时, 有 证明: 对于任意给定的正数 0, 取 , 因为 |sin

x1x1xxsin|x|sin|x|，所以limxsinx00.

2．利用无穷大量定义证明：

（1）lim1x

4x；

1x

4证明：对于任意给定的正数 G0, 取 M4G1, 则当 |x|M 时, 有 |

所以 lim1x

4.|G，x

5．证明：若limf(x)A，则lim|f(x)||A|.xx0xx0证明：对于任意给定的正数 0, 由于limf(x)A，存在0，使得当

xx0

0|xx0|时, 都有|f(x)A|，而

|f(x)A||f||A||fA|， 即||f(x)||A||，所以lim|f(x)||A|.xx0

推荐第6篇：极限操作定义

极限操作定义：在对手技能释放的瞬间 用自己的技能或者道具化解对手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的极限操作的可能性分析：以张飞为例子，若阴影地飞出来的张飞的T妙吹妙羊的可能性几乎为零。飞飞到你面前完成T的时间只需要0.1秒钟(鸟房张飞的飞at除外)当张飞飞到你面前，你才开始反应然后左手手按到风或者羊的技能键，右手操作鼠标点到张飞身上，完成整个过程需要受过反应训练的人也至少需要0.25妙的时间。那么极限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戏中经常出现的这个极限操作的假象是怎么做到的呢？ 关键原因就是距离。 张飞的飞 和各种限制技能都是有距离的限制，当CR 或者41保持与张飞 飞T的极限距离外， 不停按技能又不停的S那么 这个时期张飞飞过来刚好在自己使用技能的距离内，那么妙限制飞的假象出现了。但是这绝不是极限操作，而是有意识的反复操作达到的效果。郭嘉的极限C张飞的情况就有两种， 一种是郭嘉释放C技能的时候 张飞自己刚好飞到C的方向上，T还没放出来就被C住，这种情况发生在上路郭嘉妙关的时候特别常见，这个纯属运气， 与极限操作扯不上半点关系。还有一种情况与上所诉妙E妙吹情况类似，但是这个距离就比妙E妙吹时候需要的距离精确的多，当飞在郭嘉点人C的极限距离外起飞，那么绝对被秒C ，一旦张飞进入这个极限距离内那么张飞没有飞起来之前被C或者张飞飞起来躲掉了郭嘉C.第二种情况极其少见，因为成功率取决于飞的位置和郭嘉的想法，大多数郭嘉不会为了妙C张飞而去冒险释放这个团战终极技能，张飞飞到郭嘉面前再C这个是极限操作但是需要的时间如果地板C需要0.15妙 点人C也需要0.25妙， 理论上也是不可以的。

那么哪些操作的的确确是极限操作了？玄武躲技能， 飞躲飞T，妙T这绝对是极限操作，玄武躲技能这个操作一般选手都有这个意识而且成功率不说百分百，也有百分之八十。因为这些个躲限制技能的技能是没有距离限制(飞躲飞T除外)，只能在对方释放技能前使用自身技能或者道具才能出现极限\"妙X\"的画面。这些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能键上，当出现非瞬发限制技能(极需要释放时间的技能点飞T41 E 郭嘉C) 这些技能的释放时间大于或者等于0.1妙，而一般人开启玄武的反应时间小于0.1S，所以我们经常看见玄武躲技能的操作，因为常见，很多人认为玄武躲技能不算极限操作，但是却是理论上的极限操作。 但是玄武是无法躲瞬发限制技能， 这个问题我在以前的问题中讨论过的，瞬发限制技能 入风吹 羊变 和CR的E 只要这些技能释放出去， 对手就必须受的。 而飞鞋躲飞T这个和玄武躲技能的道理一样， 但比玄武躲飞T多一些预判断时间，所以玄武躲技能可以在没有视野的情况完成。但是飞躲阴影飞T却很难， 因为自己起飞躲飞T的反应时间大于0.1S..妙T更难，完全是自己判断+运气 这个不多复述了。

总结：妙羊妙吹妙E不是极限操作 更多的是需要操作者的意识，玄武躲技能，飞鞋躲飞T妙T是真三玩家的操作素质和水平的体现。不要刻意追求极限操作，加强自己的意识，注意队友的配合 这才是真三的王道。

推荐第7篇：用定义证明函数极限方法总结

144163369.doc

用定义证明函数极限方法总结:

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节xa

不同。

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xah()，从而得h()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xah()，从而得

h()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定0xa1，得f(x)cxa，解xa，得：xah()，取min1,h()。

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法： x

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xh()，从而得Ah()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xh()，从而得

Ah()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定xA1，得f(x)cxa，解xa，得：xh()，取AmaxA1,h()。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。

例1 证明：lim(2x3)7。 x2

证明：0，要使：

(2x3)72x2，只要 2x2，即0x2

取2， 

2，即可。

x212。 例2 证明：lim2x12xx13

x1x212x12分析：因为，放大时，只有限制22xx132x1332x1

0x1，即0x2，才容易放大。

证明：0，限制0x1，即0x2，要使；

x1x1x1x1x212x12

，，只要

32x2x132x1332x132x13

即0x3，取min(1,3)，即可。

例3

证明：（a1）。

xa

证明：0，限制0xa

1a1a

1，要使：

，所以x

22





，

只要

1a,，即可。 ，取min，即0xa

22



x3,x1

例4 设f(x)，证明:limf(x)1。

x1

2,x1

32

证明：当x1时，f(x)1x1x1xx1

限制0x1，则xx112，xx17。0，要使：

f(x)1x1x2x17x1，

只要7x，即x1



7

，取



min，当0x1时，有：

7

f(x)，

limf(x)1

x1

说明：这里限制自变量x的变化范围0x1，必须按自变量x的变化趋势来设计，

xa时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！

错解：设x1，则xx13，要使：

f(x)1x1x2x13x1，只要0x1



，取min1,，

3

当0x1时，有：f(x)1。limf(x)1。

x1

例5 证明:lim

1。

x12x1

2x11

证明：考察，2x12x1112x1 1

2x12x1

限制0x1

111，则2x112x11，。0，要使： 422

2x1

4x1，只要4x，即x1，

42x12x1

1

44

1，

2x1

取min,，当0x时，有：lim

x1

1。

2x1

1，则4

说明：在以上放大f(x)A（即缩小2x1）的过程中，先限制0x1得：2x1

11。其实任取一个小于的正数1，先限制0x11，则22

0x1或0x1，则不2x1x1112m（如果是限制0

例6 证明:lim

能达到以上目的）。

x

2。

x24x7

证明：考察

7x271x

，仅在x的邻域内无界，所以，限制2

44x74x74x7

171

0x2（此邻域不包含x点），则4x74x2114x2。

842

0，要使：

7x27x2x

只要14x2，即x2， 214x2，

144x74x714x2

取min,

x1

，当时，有：2， 0x2

4x7814

x

2。

x24x7

x0

lim

x

例7 用定义证明极限式：lima1，（a1）

证明：0（不妨1），要使：

ax11ax1loga1xloga1（由对数函数

。于是，取minloga1, loga10， f(x)logax是单调增函数）

xx

当0x0时，有：a1。故lima1。证毕

x0

例8 设f(x)0，limf(x)

A，证明：lim

xx0

xx0



n2为正整数。

证明：（用定义证明）因为，f(x)0，由极限保不等式性知，A0；当A0时，

0，由limf(x)A，知：0，当0xx0时，有：f(x)A



xx0





f(x)A

n1





n2

n2



n1



f(x)A

n1





n1

，故：lim

xx0



im(f)x0当A0时：0，由l

xx

，知：

0，当0xx0时，有：

f(x)

 0lim

xx0

0。证毕

推荐第8篇：极限定义的总结

极限定义的总结

极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：

自变量变化趋势limf(x)函数的变化趋势

自变量的变化趋势主要有六种：

x,x,x,xx0,xx0,xx0

函数的变化趋势主要有四种：

f(x)A,f(x),f(x),f(x) 自变量的描述格式如下：

X0,当|x|X时；（x）

X0,当xX时；（x）

X0,当x-X时；（x）

0,当0|x-x0|时；（xx0）

0,

0, 当0x-x0时；（xx0） 当0|x-x0|时；（xx0）

函数的描述格式如下：

0, ,

0, ,

0, , 恒时：|f(x)A|（f(x)A） 恒时：|f(x)|M（f(x)） 恒时：f(x)M（f(x)）

恒时：f(x)M（f(x)） 0, ,

那么函数极限的定义可以是这C61C4124种中的任意一种。当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。它是一种自

变量的变化不连续的特殊情形。

推荐第9篇：极限状态法定义

1、极限状态设计法

limit state design method

当以整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，则此特定状态称为该功能的极限状态，按此状态进行设计的方法称极限状态设计法。它是针对破坏强度设计法的缺点而改进的工程结构设计法。分为半概率极限状态设计法和概率极限状态设计法。

半概率极限状态设计法 将工程结构的极限状态分为承载能力极限状态、变形极限状态和裂缝极限状态三类（也可将后两者归并为一类），并以荷载系数、材料强度系数和工作条件系数代替单一的安全系数。对荷载或荷载效应和材料强度的标准值分别以数理统计方法取值，但不考虑荷载效应和材料抗力的联合概率分布和结构的失效概率。

概率极限状态设计法 将工程结构的极限状态分为承载能力极限状态和正常使用极限状态两大类。按照各种结构的特点和使用要求，给出极限状态方程和具体的限值，作为结构设计的依据。用结构的失效概率或可靠指标度量结构可靠度，在结构极限状态方程和结构可靠度之间以概率理论建立关系。这种设计方法即为基于概率的极限状态设计法，简称为概率极限状态设计法。其设计式是用荷载或荷载效应、材料性能和几何参数的标准值附以各种分项系数，再加上结构重要性系数来表达。对承载能力极限状态采用荷载效应的基本组合和偶然组合进行设计，对正常使用极限状态按荷载的短期效应组合和长期效应组合进行设计。

2、许应力设计法

allowable stre design method

以结构构件的计算应力σ不大于有关规范所给定的材料容许应力[σ]的原则来进行设计的方法。一般的设计表达式为

σ≤[σ]

结构构件的计算应力σ按荷载标准值以线性弹性理论计算；容许应力[σ]由规定的材料弹性极限（或极限强度、流限）除以大于1的单一安全系数而得。

容许应力设计法以线性弹性理论为基础，以构件危险截面的某一点或某一局部的计算应力小于或等于材料的容许应力为准则。在应力分布不均匀的情况下，如受弯构件、受扭构件或静不定结构，用这种设计方法比较保守。

容许应力设计应用简便，是工程结构中的一种传统设计方法，目前在公路、铁路工程设计中仍在应用。它的主要缺点是由于单一安全系数是一个笼统的经验系数，因之给定的容许应力不能保证各种结构具有比较一致的安全水平，也未考虑荷载增大的不同比率或具有异号荷载效应情况对结构安全的影响。

我国公路使用极限状态设计法，铁路仍使用容许应力设计法，但公路中使用的分项系数并不是完全利用概率理论计算可靠度得来的，而是在容许应力基础上，通过经验得来的，所以有披着极限外衣的容许应力之嫌。

推荐第10篇：数列极限的定义

Xupeisen110高中数学

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。 过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义

2



1n

110

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN 就

有an0

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任

意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana

Xupeisen110高中数学

记为：limana 读法：“”趋向于“n” n无限增大时

n

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在

④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

例四1．lim

n

证明

证明2：设是任意给定的小正数

要使3n13 只要

2n1

12n1





n

54



12

取N51当nN时，3n13恒成立

422n12

第11篇：数列极限的定义

第十六教时

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地“趋

近”，然后初步学会用N语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。 过程：

一、实例：1当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长

2在双曲线xy1中，当x时曲线与x轴的距离无限趋近于0

二、提出课题：数列的极限考察下面的极限

1 数列1：

110,111

102,103,,10

n,①“项”随n的增大而减少②但都大于0

③当n无限增大时，相应的项1

10

n可以“无限趋近于”常数0

2 数列2：123n

2,3,4,,n1

,

①“项”随n的增大而增大②但都小于1

③当n无限增大时，相应的项n

n1可以“无限趋近于”常数1

3 数列3：1,11(1)n

2,3,,

n

,①“项”的正负交错地排列，并且随n的增大其绝对值减小

②当n无限增大时，相应的项(1)n

n

可以“无限趋近于”常数

引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某

个数a（即ana无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，或者说a是数列an的极限。（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0

三、例一 （课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限

增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、有些数列为必存在极限，例如：an(1)n

或ann都没有极限。 例二下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1．a1(1)n1(1)n

n22．an2

3．anan(aR)

n

4．a1)n135

n(n5．an5 3

解：1．an：0,1,0,1,0,1,„„不存在极限

2．a2,0,22

n：3,0,5

,0,极限为0

3．an：a,a2,a3,不存在极限

4．a,33

n：32,14

,极限为0

5．an

5525n：先考察,,,, 无限趋近于0 3：

392781∴ 数列an的极限为5

五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限

六、作业：习题1

补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999,„„2 a1

n

2n

3 



(1)n113456111n4 2,3,4,5,5 an1242n

第12篇：一致连续极限定义

一致连续函数的极限定义

连续函数的极限定义形式是我们熟悉的，一致连续函数却很少出现极限定义形式。还是先看看这两者的区别。先看定义：

函数f(x)在I上连续：xI00x2I:|x2x||f(x2)f(x)| 函数f(x)在I上一致连续：00x,x2I:|x2x||f(x2)f(x)| 令x2xh，则，两个定义可以表示为：

函数f(x)在I上连续：xI00h:|h||f(xh)f(x)| 函数f(x)在I上一致连续：00xIh:|h||f(xh)f(x)| 从在定义中的位置可知：连续函数的随x变化，一致连续函数则不。用关于h0的极限方式来表达：

函数f(x)在I上连续：xI:lim(f(xh)f(x))0 h0

函数f(x)在I上一致连续：lim(f(xh)f(x))0,xI h0

这看不出两者有什么不同，但前者h与x有关，后者则无关。后者可用二重极限表示：

lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

问题是，后一个极限中x0在什么范围？我们指出：x0，即I的闭包。于是 函数f(x)在I上一致连续：x0:lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

这样，一致连续函数也和连续函数一样，有了极限定义形式。我们将为此作出等价证明。

我们称不属于I的聚点为I的外聚点，如果I端点含，也算外聚点。连续函数和一致连续函数的本质区别发生在外聚点上。

先证函数f(x)在I上一致连续的充分性：x0:lim(f(xh)f(x))0，xx0h0

1)当I无外聚点时，二重极限可表示为：

x000xIh:|xx0||h||f(xh)f(x)|（*） 当x0I时，有00h:|h||f(x0h)f(x0)|，于是f(x)在x0连续，由x0的任意性，f(x)在I上连续。 当x0是I的外聚点时，对于数列xnx0,xnx0，n足够大时，有

00xnIh:|xnx0||h||f(xnh)f(xn)|

取h0，考虑到x0hI，f(x)在I上连续，令n，则

00:|h||f(x0h)limf(xn)|（这里用到一个极限存在，极限加减n

法便可实施的规则）

当n足够大时，取hn使xnx0hn，则

00:n|f(xn)limf(xn)| n

故f(xn)以limf(xn)为极限，考虑到极限的唯一性，limf(xn)必为确定的数，记为a nn

于是，00:|h||f(x0h)a|，即limf(x)a xx0

若定义f(x0)a，则f(x)在x0上连续，若x0为端点，则为单侧连续。此时f(x)在有限闭集上连续，故必一致连续。于是f(x)在I上也一致连续。

2）当x0是I的外聚点时，二重极限可表示为：

0\'\',\'0xIh:|x|\'|h|\'\'|f(xh)f(x)|（**） 将沿\'分为有限部分I1和无穷部分I2，由1）知，f(x)在I1上一致连续。而在I2满足（**），在I1有满足一致连续定义的统一的1，若取min(1,\'\')，则在整个上，有满足一致连续定义的，于是f(x)在有限闭集上一致连续。在I上也一致连续。 再证函数f(x)在I上一致连续的必要性：

由 00xIh:|h||f(xh)f(x)|（***）

若x0I，因f(x)在x0连续，二元函数g(x,h)f(xh)f(x)在(x0,0)必连续，故lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

若x0是I的外聚点时，在x0的任意邻域内，都有（***），所以

00xIh:|xx0|,|h||f(xh)f(x)|

或者

0,\'0xIh:|x|\',|h||f(xh)f(x)|（无穷远邻域）

故lim(f(xh)f(x))0 xx0h0

从证明过程不难发现，对于一个连续函数来说，当且仅当所有外聚点满足

xx0h0lim(f(xh)f(x))0时，函数一致连续。

用二重极限判定一致连续的最大好处，是无需寻找与自变量无关的，找这个是件很烦心的事情，找到固然好，没找到却不能说不一致连续，只说明问题处于悬疑状态。用二重极限则非常明朗，极限为0,则一致连续，否则不一致连续。以计算代替寻找，无疑方便许多。 例1：讨论f(x)ex的一致连续性。

解：考虑外聚点，lim(f(xh)f(x))lim(exh0xh0xhex)limex(eh1)limexh xh0xh0

令h1xx1，则limehlime10，故原函数在整个实数集上不一致连续，但在任xxxexeh0

何区间(,a]（a为有限数）上一致连续，因为

x0lim|eh|lime|h|0，故limeh0 xh0h0xaxx0h0

例2：讨论f(x)sin1的一致连续性 x

x0h0解：lim(f(xh)f(x))lim(sinx0h011sin) xhx

取xh=1，则 4n

lim(sinx0h011sin)lim(sinsin)sinsin xhxn22

这个极限随着的取值不同而不同，故原二重极限不存在，函数在定义域上不一致连续，如果去掉0聚点，在|x|a0上，函数则是一致连续，因为仅有的一个外聚点是，而lim(f(xh)f(x))lim(sinxh0xh011sin)0 xhx

第13篇：数列极限的定义教案

第十七教时

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。 过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义

n

1．以数列(1)n为例

a111n:1,,,,234

1 0

1 观察：随n的增大，点越来越接近

2只要n充分大，表示点a(1)n即：n与原点的距离an0n01n可以充分小 进而：就是可以小于预先给定的任意小的正数 n

2．具体分析：(1) 如果预先给定的正数是

1(1)10，要使an0n01n

(2) 同理：如果预先给定的正数是1103，同理可得只要n103即可 (3) 如果预先给定的正数是

110k(kN*)，同理可得：只要n10k即可

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN

就有an0

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana

记为：limnana 读法：“”趋向于

“n” n无限增大时

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在

④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

a，也可以摆动趋近于a

三、处理课本 例

二、例

三、例四

例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身

例四 这是一个很重要的结论

四、用定义证明下列数列的极限：

1．lim2n1n2

2．lim3n1n1

n2n132 证明1：设是任意给定的小正数

2n12n111n12n要使2n 即：2

两边取对数 nlog1

取 N12log2

„„„„介绍取整函数 2n12n当nN时，

2n1恒成立

∴lim1n2n1

证明2：设是任意给定的小正数

要使

3n11512n132 只要

2n15

n42 取N513n1342

当nN时，2n12恒成立

∴lim3n1n2n132

第14篇：1.2极限的定义（推荐）

石家庄财经职业学院

经济数学

一、函数的极限

1.自变量趋于无穷的情形

自变量趋于无穷可分为趋于正无穷和负无穷，先讨论当x时，函数的极限。

定义1 设函数yf(x)在(a,)(a为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋于正无穷”）时函数f(x)的极限，

记作limf(x)A或 f(x)A(x)

x

例题求lim

xx

由图像可知，当x趋于正无穷时，

1

1趋于零，故lim＝0

xxx

定义2 设函数yf(x)在(-,a)(a为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大且

x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋

于负无穷”）时函数f(x)的

极限，记作limf(x)A或f(x)A(x)

x

例题求lim

xx

由图像可知，当x趋于负无穷时，定义3 设函数yf(x)在

11趋于零，故lim＝0

xxx

xb(b为某个正实数)时有定义，如果当自变量x的绝对值

无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋于无穷”）时函数f(x)的极限

记作limf(x)A或f(x)A(x)

x

由上述两个例题可知，lim

11

0，同理可证，lim20 xxxx

定理1当x时，函数f(x)的极限存在的充分必要条件是当x时和x时函数f(x)的极限都存在而且相等。即

limf(x)A的充分必要条件是limf(x)limf(x)A．

x

x

x

2.自变量趋于有限值x0的情形

x21

引例对于函数f(x)x

x21

当x1时, f(x)x1

x21

于常数2，此时我们称当x趋近于1时，函数f(x)的极限为

2x1

ˆ0,)内无限接近定义4设函数yf(x)在点x0的去心邻域内有定义，如果当自变量x在N(x

于x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为当xx0（读作“x趋近于x0”）时函数f(x)的极限，记作limf(x)A或f(x)A(xx0)

xx0

注意：1.f(x)在xx0时的极限是否存在,与f(x)在x0点处有无定义以及在点x0处的函数值无关．

2.在定义5中, x是以任意方式趋近于x0的,但在有些问题中，往往只需要考虑点x从x0的一侧趋近于x0时，函数f(x)的变化趋向．

例题 求limx

x

3由函数图像可知,无论x从哪一侧趋近于3时,函数值总是无限接近于9,故limx9

x3

定义5 设函数yf(x)在点x0的左半邻域(x0,x0)内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从x0左侧无限接近于x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某个固定的常数A，则称A为当

) x趋近于x0时函数f(x)的左极限,记作limf(x)A或f(x)A(xx0



xx0

定义6 设函数yf(x)的右半邻域(x0,x0)内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从

x0右侧无限接近于x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近



f(x)A或f(x)A(xx0) 于x0时函数f(x)的右极限,记作lim

xx0

函数的左右极限有如下关系:

定理2 limf(x)A的充分必要条件是limf(x)limf(x)A．

xx0

xx0

xx0

例题 设函数f(x)在.xx

,求f(x)在x0处的左、右极限,并讨论f(x)在x0处是否有极限存

解: 因为当x0时, f(x)1,因此limf(x)1,

x0

f(x)1 又当x0时, f(x)1,因此lim

x0

由定理2可知， limf(x)不存在。

x0

练习：判断函数f(x)

二、无穷小量 1.无穷小量的定义

1cosxx0

在x0处是否有极限。

sinxx0

定义1 以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，常用,,表示。 例如 lim

1

10，所以函数当x时是无穷小． xxx

x0

2

2又如 limx0，所以函数x当 x0时是无穷小。

注意：应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应

明确指出其变化过程。 例如 函数f(x)

1

是x时的无穷小，但当x1时不是无穷小。当x时，sinx的x2

极限不为零，所以当x2.极限与无穷小之间的关系



时，函数sinx不是无穷小，而当x0时sinx是无穷小量。

定理1 limf(x)A的充要条件是f(x)A，其中是无穷小，即

limf(x)Alim0,f(x)A.3.无穷小量的运算性质

性质1有限个无穷小的代数和是无穷小。

注意：①.此处是指有限个无穷小的代数和是无穷小,但无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷

小.

例如:lim(

n

12nn(n1)111

)limlim()2222nnnnn2n22n2

②.代数和是指和与差两种运算.性质2无穷小与有界函数的积是无穷小.例1 求limxsin

x0

x

是有界函数,故根据性质2可知,此极限值为0.x

分析: 当x0是, x是无穷小, sin解: 因为limx0,sin

x0

11

1,故由性质2可得limxsin0

x0xx

练习求lim

cosx xx

12

3,,均是无穷小.xxx

推论1 常数与无穷小的积是无穷小.例: 当x是,

推论2 有限个无穷小的积仍是无穷小.

三、无穷大量1.无穷大量的定义

定义2 在自变量x的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值f(x)无限增大,则称f(x)为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记作limf(x)

若函数值f(x)(或f(x))无限增大,则称f(x)为该变化过程中的正(或负)无穷大,记作

limf(x)或(limfx().)

注意：无穷大量不是很大的数,而是一个变量,是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号

xx0

limf(x)，表示“当xx0时, f(x)是无穷大量” ．

2.无穷大与无穷小的关系

定理2在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量．

x21例2 求lim2

x1x1

x21x21

解: 由于lim2 0,由定理2可知lim2

x1x1x1x1

注意:以后遇到类似题目,可直接写结果.例3 考察函数f(x)解: 因为lim

x1

,自变量如何变化时是无穷大量?如何变化时是无穷小量? x1

x1

0,故当x1时,此函数为无穷小量.

x1x1x1x1

因为lim0,故lim,所以当x1时,此函数为无穷大量.

x1x1x1x1

第15篇：极限的证明

极限的证明

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2

且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.

对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

第16篇：证明极限不存在

证明极限不存在

二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..2是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点

沿着两条直线y=2x

y=-2x趋于(0,0)时

极限分别为-3和-1/3不相等

极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等

所以极限不存在

3lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

证明该极限不存在

lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因为不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

极限不存在

4

如图用定义证明极限不存在~谢谢!!

反证法

若存在实数L，使limsin(1/x)=L，

取ε=1/2，

在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n，

①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，

②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，

使|sin-L|

和|sin-L|

同时成立。

即|1-L|

这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。

第17篇：函数极限证明

函数极限证明

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/MN2时，0Ni时，0

那么当x>N,有

(a/M)^n

第18篇：关于数列极限的两个定义

关于数列极限的两个定义

定义1．设有数列an，a 是有限常数。若对任意0N，对任意正整

数nN，有 ana，则称数列an的极限是 a。

定义2．设有数列an，a 是有限常数。若对任意0，对任意正整数

nN，有 ana，则称数列an的极限是 a

定义1 是课本第46面的原文，定义2 是我讲课时用的。这两个定义的区别只在对N的要求：定义1 要求N是正整数，而定义2只要求N是实数，这是很低的要求，故定义2比定义1较便于应用。

由于两个定义对N的要求不同，易使人误认为两个定义界定的对象不一样，即：两个定义不等价。实际上，这两个定义完全是等价的！为说明这两个定义的等价性，我们需要两个显然的命题：

命题1．对于任意实数r均存在正整数n，使得nr。

命题2．对于任意实数r，若正整数n，成立nr，则对于每一个正整数m均有nmr。 要证明定义1与定义2等价，我们只需证明这两个定义界定的极限一样即可。 证明：设有数列an。

（1） 若有限常数a是定义1 界定的极限，由于正整数N是实数，因此，常数a也

是定义2 界定的极限。

（2） 若有限常数a是定义2 界定的极限，由定义2，对任意0，存在实数N，

对任意正整数nN，有 ana；对于实数N，必有正整数M使得MN（命题1）；当nM时，必有nN；故对于正整数M，当nM时必有ana。因此，常数a也是定义1 界定的极限。

说明：（2）中的正整数M即是定义1 中的N。极限证明中关键是由 nN 保证

ana，而不是N是否是正整数。

另，请大家注意课本p.55 的第1题，这个题对于帮助大家深入理解数列极限定义是有很大作用的。

第19篇：§11 函数极限暂时的定义

第1章函数的极限和连续函数

近代微积分是建立在近代极限理论的基础上，可是近代极限理论对于刚步入大学的一年级大学生来说，是很难接受的。为了减少初学者学习微积分的难点，我们有意避开了近代极限理论，而用“无限接近”的说法，暂时定义了函数的极限。关于极限概念的这种“无限接近”说法，最早出现在法国数学家达朗贝尔(DAlembert，J.L.，1717-1783)的著作中。它的优点是直观明白，而缺点是简单粗糙，甚至连有关函数极限的简单结论，也无法用它来证明。幸好，这一章中那些应当用近代极限理论证明的结论也都是如此明白，读者凭借直觉也会相信它们都是正确的。关于极限概念的精确化，以及极限基本性质和连续函数主要性质的证明，那是微积分产生和发展了一百多年以后才逐步完成的。我们将在本书第二篇中讲述它。

§1-1函数极限暂时的定义

1.函数在某点的极限一个变量y能够无限制地接近某一个常量(数)C，就说“C是变量y的极限”。那么，“变量y能够无限制地接近C”是什么意思呢？它的的意思是说， “预先给出任何正数，不管它多么小，变量y在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值yC小于或不超过那个正数，即yC”。 对于作为变量的函数yf(x)来说，设函数yf(x)在点c的近旁有定义。当自变量x无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数C，简记成

limf(x)C 或 f(x)C(xc) xc

则称“常数C为函数f(x)在点c的极限”(图1-1)。

类似地，设函数yf(x)在点c的左旁有定义。当自变量x从点c左边无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近常数A(图1-2)，简记成

limf(x)A xc

则称“常数A为函数f(x)在点c的左极限”。同理，设函数yf(x)在点c的右旁有定义。当自变量x从点c右边无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近常数B(图1-2)，简记成

xclimf(x)B

则称“常数B为函数f(x)在点c的右极限”。

§1-1函数极限暂时的定义

3函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。从图1-1和图1-2上看出，若函数f(x)在点c的两边近旁都有定义，则

limf(x)C的充分必要条件是limf(x)limf(x)C

xc

xcxc

例1证明：lim

sinx



1x0x

π

证如图1-3中的单位圆，当0x时，则有

sinxxtanx(见下注)

由此得

cosx

从而有

sinx

1 x

图1-3

xxsinx1

011cosx2sin22x20(x0)

2x22



可见，当x0时，函数值

sinxsinx

1；而左极限为 无限制地接近1，即得右极限lim

x0xx

sinxsin(x)sinx

limlim1 x0x0xxx

x0

lim

(sinx是奇函数)(用x替换x)

因此有 lim

sinx

。 1（因为左右极限相等）

x0x

和EBED是因为点到直线的距离垂线最短；CBCEEB是因为右端是左端弧【注】ABCB

CEEBCEEDCD，即sinxxtanx。 长的过剩近似值。因此，ABCB

【问与答】

问：圆弧长度是怎么定义的？

答：首先说一下实数基本性质之一，即“实数连续性质”。在§0-2中，我们曾形象地把它说成“实数能够一个挨一个地填满整个数轴，而不会留下一个空隙”，而在近代数学中是把它说成“有上界的（非空）实数集合必有最小上界”，或者“有下界的（非空）实数集合必有最大下界”（出现在§5-3中）。因为圆弧所有可能外切折线长度组成的集合有下界,所以它有最大下界。我们就把这个最大下界定义为圆弧的长度。

2.函数的连续点和间断点特别，若函数f(x)在含点c的某个区间内有定义，且满足条件limf(x)f(c)，则称点c为函数f(x)的连续点图1-4)；并称函数f(x)在点c是连续xc

的。y

图1-

5令xxc(称为自变量x的增量)，其中是大写希腊字母delta（读作“得儿塔”），而把yf(cx)f(c)（图1-5）称为函数yf(x)在点c(相应于x)的增量。因此，

limf(x)f(c)limf(cx)f(c)limy0

xc

x0

x0

这就是说，函数yf(x)在点c连续，说明自变量变化很小时，函数值的变化也很小。它表示自然界中变量连续变化的特征(不是跳跃式变化)。“连续”一词当初就来源于此。 请读者特别注意，limf(x)C与limf(x)f(c)的明显区别是：前者不考虑函数f(x)

xc

xc

在点c是否定义有函数值f(c)；后者中函数f(x)不仅在点c定义有函数值f(c)，而且必须满足条件limf(x)f(c)。在函数极限limf(x)C的定义中，规定xc(xc)是想让极

xc

xc

限概念的“外延”（逻辑学中的术语）更加宽广，而有limf(x)f(c)仅是一种特殊情形。

xc

若函数f(x)在点c不能满足条件limf(x)f(c)，则称点c间断点。函数

xc

的间断点可能是下面的情形之一：

可除间断点称点c为函数f(x)的可除间断点，若有极限limf(x)，且或者函数f(x)

xc

在点c没有定义函数值[但在点c近旁定义有函数值f(x)]，例如函数

sinx

有可除间断点0(图1-6)

yx或者函数f(x)在点c定义有函数值f(c)但limf(x)f(c)，例如函数

xc

x2,x2f(x)

1,x2

x2(x2)

x

2图1-6

有可除间断点2(图1-7)，因为limf(x)limx24f(2)1。

2图1-7

第一类间断点称点c为函数f(x)的第一类间断点， 若在点c同时有左极限和右极限,

f(x)limf(x)，例如符号函数sgnx(图1-8)，因为 但是lim

xc

xc

x0

limsgnx1limsgnx1

x0

所以点0是符号函数sgnx的第一类间断点。

§1-1函数极限暂时的定义

【注】有的教科书中把可除间断点也称为第一类间断点。

第二类间断点函数的其他间断点(即既不是可除间断点，又不是第一类间断点)，都称为第二类间断点。例如，图1-9和图1-10中点0都是第二类间断点(前者为无穷间断点，后者为摆动间断点)。函数在第二类间断点c处，

f(x)和右极限limf(x)左极限lim

xc

xc

中，至少有一个不存在。

图1-10

图1-9

研究函数的间断点及其分类，目的是研究当函数有间断点时，它对函数的某些性质(譬如函数的可积性等)会造成多大的影响。

3.函数在无穷远的极限设函数yf(x)对于绝对值足够大的x有定义。当自变量x按绝对值无限制地变大时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数C(图1-11)，简记成

limf(x)C 或 f(x)C(x)

x

则称常数C为函数f(x)在无穷远处的极限或当x时的极限。

例如，极限lim

x

sinxsinx

0(见图1-6)。请你把它与极限lim1区别开来。

xxx0x

类似地，设函数yf(x)对于足够大的x有定义。当自变量x无限制地变大时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数A(图1-12)，简记成

limf(x)A

x

则称常数A为函数f(x)当x时的极限。同理(图1-13)，我们可以定义记号

limf(x)B

x

并称常数B为函数f(x)当x时的极限。

x

极限limf(x)A和limf(x)B也称为单侧极限，并且也有结论：

x

有极限limf(x)C

x

 limf(x)limf(x)C

(充分必要)

xx

请读者注意，其中的“x”、“x”、“x”都是记号，依次读作“x趋．．．．．向无穷大”、“x趋向正无穷大”、“x趋向负无穷大”。再请读者注意，它们只有同函数的变化联系在一起时才有意义，而单独谈论它们是没有意义的！

例2函数

x

1

y1(x1或x0) x

1

属于幂指函数(图1-14)。当x或x时，函数y1的极限都是e，即

x1

lim1e(其中e是无理数，近似等于2.71828)。证明它属于高等微积分，你暂且记xx

住它就可以了。

x

图1-14

x

x

1

把数列极限看作函数极限的特殊情形时, 则也有lim1e。实际上，在近代极

nn11

限论中，先是证明数列极限lim1e，而后又证明了函数极限lim1e【证

xnxn

明在本书第二篇（§5-5）中】。

n

x

n

6

§1-1函数极限暂时的定义 7

1

根据极限lim1e，则有

xx

x

lim1x

x0

1

z1xx

1

lim1e zz

z

【问与答】

问：函数（或数列）在什么情形下才有极限？

答：这是近代极限论中的极限存在问题。讨论这个问题也会涉及到“实数连续性质”。在本书上册第二篇中，将会直接或间接地根据它，证明极限存在的一些判别法，其中之一就是下一节中讲的单调有界原理。

7

第20篇：极限平均值的证明

1、设limanA，证明：limna1a2anA。nn

证明：因为limanA，所以对任意的0，存在N0，当nN时，有 n

|anA|，于是

|a1a2anaa2aNaN1anA||1A| nn

a1a2aNaN1annA| n

a1a2aNNAaan(nN)A||N1| nn

a1a2aNNA1|[|aN1A||anA|] nn|||

|a1a2aNNAnN| nn

因为lim|a1a2aNNA|0（注意分子为常数），所以存在N1N，当nn

aa2aNNAnN1时，有|1|，于是当nN1时，有 n

aa2aNNAnNa1a2anA||1|2， nnn|

有极限的定义有lima1a2anA。 nn

n

2、设limanA且an0,A0，证明：lim12nA。n

证明：因为a1a2ana1a2an， n

a1a2ann111aa2an1111， a1a2anna1a2ana1a2an， n所以111a1a2an

111aa2an1111lim， 又因为lim，利用第1题结论，有lim1

nnananAAnn

所以limn

111a1a2annA，同理lima1a2anlimanA，由夹逼定理nnn得

lima1a2anA。 n

3、设an0，且liman1A，证明：limanA。nnan证明：limanlimnnaaa1a2nlimnA。 1a1an1nan1

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