1.2极限的定义（推荐）

石家庄财经职业学院

经济数学

一、函数的极限

1.自变量趋于无穷的情形

自变量趋于无穷可分为趋于正无穷和负无穷，先讨论当x时，函数的极限。

定义1 设函数yf(x)在(a,)(a为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋于正无穷”）时函数f(x)的极限，

记作limf(x)A或 f(x)A(x)

x

例题求lim

xx

由图像可知，当x趋于正无穷时，

1

1趋于零，故lim＝0

xxx

定义2 设函数yf(x)在(-,a)(a为某个实数)内有定义，如果当自变量x无限增大且

x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋

于负无穷”）时函数f(x)的

极限，记作limf(x)A或f(x)A(x)

x

例题求lim

xx

由图像可知，当x趋于负无穷时，定义3 设函数yf(x)在

11趋于零，故lim＝0

xxx

xb(b为某个正实数)时有定义，如果当自变量x的绝对值

无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数A，则称A为x（读作“x趋于无穷”）时函数f(x)的极限

记作limf(x)A或f(x)A(x)

x

由上述两个例题可知，lim

11

0，同理可证，lim20 xxxx

定理1当x时，函数f(x)的极限存在的充分必要条件是当x时和x时函数f(x)的极限都存在而且相等。即

limf(x)A的充分必要条件是limf(x)limf(x)A．

x

x

x

2.自变量趋于有限值x0的情形

x21

引例对于函数f(x)x

x21

当x1时, f(x)x1

x21

于常数2，此时我们称当x趋近于1时，函数f(x)的极限为

2x1

ˆ0,)内无限接近定义4设函数yf(x)在点x0的去心邻域内有定义，如果当自变量x在N(x

于x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某一个固定的常数A，则称A为当xx0（读作“x趋近于x0”）时函数f(x)的极限，记作limf(x)A或f(x)A(xx0)

xx0

注意：1.f(x)在xx0时的极限是否存在,与f(x)在x0点处有无定义以及在点x0处的函数值无关．

2.在定义5中, x是以任意方式趋近于x0的,但在有些问题中，往往只需要考虑点x从x0的一侧趋近于x0时，函数f(x)的变化趋向．

例题 求limx

x

3由函数图像可知,无论x从哪一侧趋近于3时,函数值总是无限接近于9,故limx9

x3

定义5 设函数yf(x)在点x0的左半邻域(x0,x0)内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从x0左侧无限接近于x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某个固定的常数A，则称A为当

) x趋近于x0时函数f(x)的左极限,记作limf(x)A或f(x)A(xx0



xx0

定义6 设函数yf(x)的右半邻域(x0,x0)内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从

x0右侧无限接近于x0时，相应的函数值f(x)无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近



f(x)A或f(x)A(xx0) 于x0时函数f(x)的右极限,记作lim

xx0

函数的左右极限有如下关系:

定理2 limf(x)A的充分必要条件是limf(x)limf(x)A．

xx0

xx0

xx0

例题 设函数f(x)在.xx

,求f(x)在x0处的左、右极限,并讨论f(x)在x0处是否有极限存

解: 因为当x0时, f(x)1,因此limf(x)1,

x0

f(x)1 又当x0时, f(x)1,因此lim

x0

由定理2可知， limf(x)不存在。

x0

练习：判断函数f(x)

二、无穷小量 1.无穷小量的定义

1cosxx0

在x0处是否有极限。

sinxx0

定义1 以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，常用,,表示。 例如 lim

1

10，所以函数当x时是无穷小． xxx

x0

2

2又如 limx0，所以函数x当 x0时是无穷小。

注意：应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应

明确指出其变化过程。 例如 函数f(x)

1

是x时的无穷小，但当x1时不是无穷小。当x时，sinx的x2

极限不为零，所以当x2.极限与无穷小之间的关系



时，函数sinx不是无穷小，而当x0时sinx是无穷小量。

定理1 limf(x)A的充要条件是f(x)A，其中是无穷小，即

limf(x)Alim0,f(x)A.3.无穷小量的运算性质

性质1有限个无穷小的代数和是无穷小。

注意：①.此处是指有限个无穷小的代数和是无穷小,但无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷

小.

例如:lim(

n

12nn(n1)111

)limlim()2222nnnnn2n22n2

②.代数和是指和与差两种运算.性质2无穷小与有界函数的积是无穷小.例1 求limxsin

x0

x

是有界函数,故根据性质2可知,此极限值为0.x

分析: 当x0是, x是无穷小, sin解: 因为limx0,sin

x0

11

1,故由性质2可得limxsin0

x0xx

练习求lim

cosx xx

12

3,,均是无穷小.xxx

推论1 常数与无穷小的积是无穷小.例: 当x是,

推论2 有限个无穷小的积仍是无穷小.

三、无穷大量1.无穷大量的定义

定义2 在自变量x的某个变化过程中，若相应的函数值的绝对值f(x)无限增大,则称f(x)为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记作limf(x)

若函数值f(x)(或f(x))无限增大,则称f(x)为该变化过程中的正(或负)无穷大,记作

limf(x)或(limfx().)

注意：无穷大量不是很大的数,而是一个变量,是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号

xx0

limf(x)，表示“当xx0时, f(x)是无穷大量” ．

2.无穷大与无穷小的关系

定理2在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量．

x21例2 求lim2

x1x1

x21x21

解: 由于lim2 0,由定理2可知lim2

x1x1x1x1

注意:以后遇到类似题目,可直接写结果.例3 考察函数f(x)解: 因为lim

x1

,自变量如何变化时是无穷大量?如何变化时是无穷小量? x1

x1

0,故当x1时,此函数为无穷小量.

x1x1x1x1

因为lim0,故lim,所以当x1时,此函数为无穷大量.

x1x1x1x1

1.2 数列极限

极限操作定义

极限 定义证明

极限定义的总结

极限状态法定义

定义证明二重极限

数列极限的定义

数列极限的定义

一致连续极限定义

函数极限的定义证明

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