05第五讲大数定律与中心极限定理

2020-03-02 05:34:06 来源：范文大全收藏下载本文

第五讲大数定律与中心极限定理

考纲要求

1.了解切比雪夫不等式.2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定理和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）.

3.了解棣莫佛拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）.问题1何谓切比雪夫不等式？

答设随机变量X的数学期望和方差存在，则对于任意0，有

PXEX1DX

2或者PXEXDX

2.

利用切比雪夫不等式，可以用DX估计事件XEX的概率.

例

1.设随机变量X和Y的数学期望分别2和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式，有PXY6}.

解E(XY)0，D(XY)DXDY2Cov(X,Y)3，根据切比雪夫不等式，有P{XY6}

2.设随机变量X的数学期望为1，方差为31.62121，试何用切比雪夫不等式估计P{0X3}.

4问题2何谓大数定律？叙述切比雪夫大数定律、辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）和伯努利大数定理.

答将切比雪夫不等式应用于随机变量列X1,X2,,Xn的算术平均值1n

nXi，得 ni1

Pnn1

若n,n0，则有 n2.limPnn1.n

称随机变量列X1,X2,,Xn,服从大数定律，并称n依概率收敛于n.

⑴切比雪夫大数定律：设随机变量X1,X2,,Xn,相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，则

limPnn1.n

⑵辛钦大数定律（独立同分布的随机变量序列的大数定律）：设随机变量X1,X2,,Xn,独立同分布，它们的数学期望和方差2存在，则limPn1.n

⑶伯努利大数定律：设随机变量Yn~B(n,p)，则limPnYnp1.n

伯努利大数定律对频率的稳定性给出了理论上的证明.

例设随机变量X1,X2,,Xn独立同分布，且EX1,DX12，则当n时，1n2Xi依概率收敛于.ni1

1n2解由独立同分布的大数定律知，Xi依概率收敛于它的数学期望ni1

1n1n12EXiEXi2n(DXi(EXi)222.ni1ni1n

问题3何谓中心极限定理？叙述列维林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）和棣莫佛拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）.

答概率论中有关随机变量的和的极限分布是正态分布的定理，称为中心极限定理.⑴独立同分布的中心极限定理（列维-林德伯格定理）

设随机变量X1,X2,,Xn,独立同分布，它们的数学期望和方差

存在，则2

limPx(x).n

本定理指出：当n充分大时，Sn

布计算有关和的概率..

⑵德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 Xi1ni近似服从N(n,n)，因此，可以用正态分2

x(x).设随机变量Yn~B(n,p

)，则limPn

本定理指出：当n充分大时，Yn近似服从N(np,np(1p))，因此，可以用正态分布计算有关二项分布的概率.

例

1.随机变量X1,X2,,X100独立同分布，且X1服从参数为4的泊松分布，是其算术平均值，则根据中心极限定理有P{4.392}.

解由中心极限定理知，近似服从N(4,0.22)，

P{4.392}(4.3924)(1.96)0.975.0.2

2.某单位有200台电话机，每台电话机大约有5％的时间使用外线通话，问该单位总机至少需安装多少条外线，才能以90％以上的概率保证每台电话机需要使用外线时可供使用？【14】

解同时使用外线的电话机台数X~B(200,0.05)，

由中心极限定理知X近似服从N(10,9.5)，

设该单位总机安装k条外线，可以使P

Xk0.90

1.28，则1.28，k13.968，故该单位总机至少需安装14条外线.3.一生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977?((2)0.977)(01-4)

解设每辆车装n箱，Xi表示第i箱的重量，则EXi50，DXi52，

由中心极限定理知，汽车载重量X

i1ni近似服从N50n,25n

，为保证不超载的概率

n2， P

Xi50000.977(2)i1

即n98.0199，故最多可以装98箱.