函数极限概念

一．函数极限的概念

1.x趋于时函数的极限

设函数f定义在,上，类似于数列情形，我们研究当自变量x趋于+时，对应的函数值能否无线地接近于某个定数A.例如，对于函数fx=，从图象上可见，当无x限增大时，函数值无限地接近于x1

0；而对于函数gx=arctanx则当x趋于+时，函数值无限地接近于.2我们称这两个函数当x趋于+时有极限.一般地，当x趋于+时函数极限的精准定义如下：

定义1 设f为定义在,上的函数，A为定数。若对任给的0，存在正数M，使得当xM时有fxA，则称函数f当x趋于+时以A为极限，记作lim

fxA或f xAx.x

在定义1中正数M的作用与数列极限定义中的N相类似，表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是正整数n。因此，当x时函数f以A为极限意味着：A的任意小邻域内必含有f在+的某邻域内的全部函数值.