极限

极限

数列极限

−定义

$如果对于\\forall\\varepsilon > 0，\\exists正整数N_\\varepsilon，当n>N_\\varepsilon时，恒有\\mid x_n-a\\mid <\\varepsilon，则$

注： • • • $不等式\\mid x_n-a\\mid <\\varepsilon刻画了x_n与a的无限接近；$ $N与任意给定的正数\\varepsilon有关，且不唯一；$

→∞

lim= (undefined)

与前面的有限项无关。

性质

• 唯一性： 每个收敛的数列只有 一个极限。 • 数列收敛的必要条件： 收敛数列必有界。 – • 推论：无界数列必发散。

保序性 若lim=,lim=.且>,则∃正整数,使得当>时,有>→∞→∞.– 推论： 设lim=,lim=.有>(≥)成立,则≥.

→∞

→∞→∞• 保号性 设lim=,且>0,则存在正整数,当>时，有>0.– 推论：设 设lim=,当>时，恒有>0,则有≥0.

→∞函数极限

−定义（自变量趋于无穷大）

$设函数f(x)在x>x_0上有定义，a 是常数，\\forall \\varepsilon>0,\\exists X>0使当 \\mid x \\mid>X时，\\ 恒有\\mid f(x)-a\\mid <\\varepsilon成立，则称函数f(x)当x\\rightarrow\\infty时以a 为极限，记为：$

→∞

lim()= (undefined)

−定义（自变量趋于有限值）

$设函数f(x)在x=x_0的去心邻域内有定义，a是一常数，若对于\\forall \\varepsilon>0，\\exists \\delta = \\delta_\\varepsilon，\\ 使得当0<\\mid x-x_0\\mid <\\delta时恒有\\mid f(x)-a\\mid <\\delta成立，则称f(x)当x\\rightarrow x_0时以a为极限。记为：$

→0lim=或()→(→0) (undefined)

注： • • • 函数极限与()在点0是否有定义无关； $\\delta与任意给定的正数\\varepsilon有关；$ $\\delta不唯一。$ 单侧极限

→0lim()=⇔lim()==lim()（判断极限是否存在） −0+0

→0

→0证明函数极限不存在： • • 证明左右极限至少有一个不存在； 或证明左右极限存在但不相等。

性质

• 函数极限与数列极限的关系

$归并定理 \\qquad 设函数f(x)在x_0的某一去心邻域内有定义，则 \\ \\lim\\limits_{x\\rightarrow x_0}f(x)=a \\Leftrightarrow 对于数列x_n \\rightarrow x_0(x_n \\neq x_0)都有 \\lim\\limits_{n\\rightarrow \\infty }f(x_n) = a$ • • 唯一性 若lim()存在，则必唯一。

→0极限存在必要条件 若lim()=,则()在0的某一去心邻域内有界。

→0• $保序性 \\qquad 若\\lim\\limits_{x\\rightarrow x_0}f(x) = A, \\lim\\limits_{x\\rightarrow x_0}g(x) =B且A>B.\\ 则\\exists \\delta > 0, 对于 0 g(x).$ – $推论：设\\lim\\limits_{x\\rightarrow x_0}f(x) = A, \\lim\\limits_{x\\rightarrow x_0}g(x) =B,若\\exists \\delta > 0, 使得当 0 0(或A 0, 当0 0 (或f(x) 0(或A 0, 当0

$若 \\lim f(x) ,\\lim g(x)都存在，则 \\ \\lim [f(x) \\pm g(x)] = \\lim f(x) \\pm \\lim g(x) \\qquad \\lim c\\cdot f(x) = c \\cdot \\lim f(x) (c 为常数)\\ \\lim [f(x) \\cdot g(x)] = \\lim f(x) \\cdot \\lim g(x) \\qquad \\lim [f(x)]^n = [\\lim f(x)]^n(n为正整数)\\ lim{f(x) \\over g(x)} = {\\lim f(x) \\over \\lim g(x)}(\\lim g(x) \\neq 0)$ 求极限

• 消去致零因子，有理分式因式分解，无理因式有理化

极限总结

垂直极限

极限求法

函数极限

极限和

数列极限

极限岁月

垂直极限

垂直极限

生命极限

《极限.doc》

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