2020-03-02 14:00:30 来源:范文大全收藏下载本文
基本不等式练习题
一、选择题,本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若aR,下列不等式恒成立的是()
A.a21aB121C.a296aD.lg(a1)lg|2a| 2a
12.若0ab且ab1,则下列四个数中最大的是()
A.1B.
2xa2b2C.2abD.a3.设x>0,则y33x的最大值为()
A.3B
.3 C.
3D.-1
4.设x,yR,且xy5,则3x3y的最小值是()
A.10
B.
C.
D.5.若x, y是正数,且141,则xyxy有()
A.最大值16 B.最小值11 C.最小值16 D.最大值 1616
6.若a, b, c∈R,且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是()
A.a2b2c22B.(abc)23
C
.1
a1
b1
cD
.abc7.若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是()
A.11111B.1C
2D.1 xy4xyxy
8.a,b是正数,
则
A
.
ab,22ab三个数的大小顺序是 () ab ab2abab2abB
.2ab2ab
2ababD
.ab22ababab2C
.9.某产品的产量第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,设这两年平均增长率为x,则有()
A.xpqpqpqpqB.xC.xD.x 2222
10.下列函数中,最小值为4的是()
A.yxB.ysinx
x
C.yex4eD.
x
4(0x) sinx
ylog3x4loxg 3
二、填空题, 本大题共4小题,每小题3分,满分12分,把正确的答案写在题中横线上.
11.函
数y的最大值为12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池,如果池底和
池壁每m2 的造价为200元和150元,那么池的最低造价为_________元.13.若直角三角形斜边长是1,则其内切圆半径的最大值是.
14.判断下列不等式的证明过程中的正误,并指出错因。(1)若a、b∈R,则
baba
+≥2=2() abab
(2)若x,yR,则lgx+lgy≥2lgxlgy()
(3)若x0,则x+
4
4≥-2x=-4() xx
(4)若x∈R,则2x+2x≥22x2x=2()
三、解答题, 本大题共4小题,每小题12分,共48分,解答应写出
必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15..16.设a, b, c(0,),且a+b+c=1,求证:(1)(1)(1)8.
a
1b
1c
17.已知正数a, b满足a+b=1(1)求ab的取值范围;的最小值.
18.
2)求ab
ab
(
基本不等式
1.若a,bR,则aba
b2
2(当且仅当ab时取“=”)
2.若a,bR*,则ab2ab(当且仅当ab时取“=”)
3.若
x0,则
x
2 (当且仅当x
x1时取“=”);若x0,则x12 (当且仅当
x
x1时取“=”)
注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植
时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”。
应用一:求最值
例1:求下列函数的值域
(1)y=3x+
12x
(2)y=x+
x
解:(1)y=3x+
2≥22x
3x·
2=2x
6∴值域为[6 ,+∞)
(2)当x>0时,y=x+ ≥2
x
1x· =2;
x
x· =-2
x
11
当x<0时, y=x+ = -(- x- )≤-2
xx
∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)
1.已知2.当3.若
4已知
时,求
x
,求函数y4x2
1的
最大值 4x
5yx(82x)的最大值。
x,yR且2xy1,求
11的最小值 xy
a,b,x,yR且
ab
1,求xy
xy的最小值
应用二:利用均值不等式证明不等式
5.已知
6.正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
7.已知a、b、cR,且
a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2b2c2abbcca
111
abc1。求证:1118
abc
应用三:均值不等式与恒成立问题
8.已知
x0,y0且
19
1,求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 xy
应用四:实际应用题及比较大小
1ab
),则P,Q,R的大小关系是例:若ab1,Palgb,Q(lgalgb),Rlg(
22
分析:∵ab1 ∴lga0,lgb0Q(lgalgb)algbp
ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。
22
9.建造一个容积为18m, 深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m 的造价为200元和150元,那么池的最低造价为多少元.
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