§2函数极限的性质

《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院

§2 函数极限的性质

教学章节：第三章函数极限——§2 函数极限的性质

教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点：函数极限的性质及其计算.

教学难点：函数极限性质证明及其应用.教学方法：讲练结合.

教学过程：

引言

在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：

1、limf(x)；

2、limf(x)；

3、limf(x)；

4、limf(x);

5、limf(x)；

6、limf(x).xxxxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至

xx0

于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.

一、函数极限的性质

性质1（唯一性） 如果xa

limf(x)xalimf(x)存在，则必定唯一.证法一设A，xalimf(x)B,则

0,10,当0|xa|1时，

|f(x)A|,(1)

20,当0|xa|2时，

|f(x)B|.(2)

min1,2取

因而有 ，则当0xa时（1）和（2）同时成立.AB(f(x)A)(f(x)B)f(x)Af(x)B2,(3)

由的任意性，（3）式只有当

AB0

时，即AB时才成立.

AB

2证法二反证,如xa

0xa

limf(x)

A

，xa

limf(x)B

且AB，取

0

，则0，使当

时，

f(x)A0,f(x)B0

,

即

AB2

A0f(x)B0

AB2

矛盾.

性质2（局部有界性） 若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域内有界.

xx0

limf(x)A

1xx0证明取, 由 , 0, 当0xx0时, 有f(x)A1,

即

f(x)Af(x)AA

1，

A1

说明f(x)在U0(x0;)上有界，就是一个界.

limf(x)b

xa

性质3（保序性） 设，xa

limg(x)c

.

0xa00

1）若bc，则0，当时有f(x)g(x)；

0xa0

2）若

00

，当

时有f(x)g(x)，则bc.（保不等式性）

证明1） 取

0

bc2

即得.2）反证，由1）即得.

注若在2）的条件中, 改“f(x)g(x)”为“f(x)g(x)”,未必就有

AB.以 f(x)1x,g(x)1,x00

举例说明.

推论（局部保号性） 如果xa

号.

limf(x)b

0xa00

且b0，则0使当时f(x)与b同

性质4（迫敛性） 设limf(x)limh(x)A，且在某U0(x0;)内有f(x)g(x)h(x)，

xx0

xx0

则limh(x)A.

xx0

证明0, 由xx

limh(x)A

limf(x)A

，10，使得当0xx01时，

有f(x)A，即 Af(x)A.又由

xx0

，20，使得当0xx02时 ，有h(x)A，

即Ah(x)A.

令min(1,2)，则当0xx0时，有Af(x)g(x)h(x)A

limg(x)A

即g(x)A，故 xx.

性质6（四则运算法则） 若limf(x)和limg(x)都存在，则函数fg,fg当xx0时极限

xx0

xx0

也存在，且 1）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)；2）limf(x)g(x)limf(x)limg(x).

xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

xx0

又若limg(x)0，则

xx0

fg

当xx0时极限也存在，且有 3）lim

f(x)g(x)

xx0



xx0

limf(x)

xx0

limg(x)

.

3）的证明 只要证有

xx0

lim

1g(x)

B2



1B，令

0

B2

0

，由

xx0

limg(x)B

B2

0xx01

，10使得当时，

B2

g(x)B

， 即

g(x)Bg(x)BB

.

g(x)B

B2

0

,仍然由

xx0

limg(x)B

20, 使得当0xx02时，，有



.

0xx0

取min(1,2)，则当时，有

1g(x)

1B

g(x)Bg(x)B



2B

g(x)B

2B



B2



即

xx0

lim

1g(x)



1B.

二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限

利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：

limCC,limxx0,limsinxsinx0,limcosxcosx0;

xx0

xx0

xx0

xx0

lim

1x

x

0,limarctgx

x



.（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）

这些极限可作为公式用.

在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 求limx.

x0

x

1

例2 求lim

(xtgx1).

x

例3 求lim(

1x1

x1



3x3

1

).

例4lim

5x3x73x3

2x2

5

.

x

注关于x的有理分式当x时的极限.参阅[4]P37.7

例5lim

x1n

x

10利用公式x1

1

.[a1(a1)(a

n1

a

n2

a1)

].

例6lim

x2x21x1

x2

x2

.

例7lim

2x

3x1

x

3x5

.

例8lim

xsin(2xx10)

32x

.

x

例9lim

x1.

x0

x1

例10已知 lim

x16A参阅[4]P69.

x3

x3

B.求 A和B.作业教材P51—521 -7，8(1)(2)(4)(5)； 2

补充题已知lim

xAxB7.求A和B.(A

16x2

x24

B3

,B

203

.)

例11lim2x2axb

0.x1x

求a和b.

2解法一

2x

axax

1x

ax

2x1x



(a1)x2

ax2

1x

b,(x).

a10,a1;又 ab,b1.

解法二2x2

1xaxbx  2x2ab

，xx

2x 由x且原式极限存在， 

2x2xx

ab

x0，即 alim2x2b

1,blim2x2x1x.xx2xx1x

2函数极限的性质解读

函数极限的性质

函数极限的性质

函数极限的性质证明

2 函数极限的性质（小编推荐）

习题课2—函数极限

函数极限

函数极限

函数极限

第4讲函数极限及性质

《§2函数极限的性质.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印

推荐度：

点击下载文档