2020-03-03 01:29:56 来源:范文大全收藏下载本文
§2 函数极限的性质
在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:
1);
2);
3);
4);
5);
6)。
它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明,只要相应的作些修改即可。
定理3.2(唯一性)若极限 证
设与、都是
当
存在,则此极限是唯一的。
时的极限,则对任给的
,分别存在正数,使得当
时有
(1)
当 时有
(2)
取,则当时,(1)式与 (2) 式同时成立,故有
由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。 定理3.3(局部有界性) 若极限 内有界。
存在,则在某空心邻域证
设 。取,则存在,使得对一切
。
有
这就证明了在内有界。
定理3.4(局部保号性)若(或),存在 ,使得对一切
有
(或),则对任何正数
(或证 设有
,这就证得结论。对于,对任何
,取
,则存在
)。
,使得对一切
的情形可类似地证明。
定理3.5(保不等式性)设 内有
,则
与都存在,且在某邻域。
(3)
证 设,使得当
,时
,则对任给的,分别存在正数与
(4)
当
时有
(
5)
令
,则当
时,不等式
与(4),(5)式同时成立,于是 有式成立。
,从而
。由的任意性得
,即(3)定理3.6(迫敛性)设==,且在某内有
(6)
则 。
证 按假设,对任给的时
(7)
,分别存在正数
与
,使得当当时有
(8)
令
,则当
时,不等式(6)、(7)、(8)式同时成立,故有
,由此得 ,所以。 定理3.7(四则运算法则)若极限数,当
与
都存在,则函 时极限也存在,且
1)=
2)=
又若,则当时极限也存在,且有
3)
这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给读者作为练习。 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。
例1求。
解 由第一章§3习题13,当 时有 ,而
,故由迫敛性得
。 另一方面,当时有 ,故由迫敛性又可得。
综上,我们求得 。
例2 求。
解
由
及§1例4所得的
并按四则运算法则有
=
例3 求
解 当 时有 。故所求极限等于 。
例4
证明
证
任给(不妨设
),为使
(9)
即,利用对数函数
(当
时)的严格增性,只要
于是,令成立,从而证得结论。
,则当时,就有(9)式
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