数列极限和函数极限（版）

数列极限和函数极限

极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义

1．1 数列极限定义

设有数列an与常数A，如果对于任意给定的正数（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式anA 都成立，那么就称常数A是数列an的极限，或者称数列an收敛于A，记作limanA.n

读作“当趋n于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”.数列极限存在，称数列an 为收敛数列，否则称为发散数列.

关于数列极限的N定义，着重注意以下几点：

（1）的任意性: 定义中正数的作用在于衡量数列通项an与定数的a接近程度越小，表示接近的越好.而正数可以任意的小,说明an与可a以接近到任何程度，然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时的被确定下来，以便依靠它来求出N.

（2）N的相应性: 一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N，来强调N是依赖与的，但这并不意味着N是由所唯一决定的，重要的是N的存在性，而不在于它值得大小.另外,定义中nN的也可以改写成nN.

（3）几何意义:对于任何一个以A为中心，为半径的开区间A,A，总可以在数列an中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有an的有限项（N项）.

数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为anfn;我们把数列中的n用x来替换后就得到了一个函数fx,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义.

1．2 函数极限定义

1.2.1x时函数的极限：设函数fx为a,上的函数，A为定数，若对任给的0，总存在着正数Ma，使得当xM时有fxA，则称函数fx当

x趋于时以A为极限，记作limfxA.

x

即有limfxA0,M0,xM,有fxA.

x

对应的,我们也有limfxA,limfxA的相应的

x

x

M语言成立.

对于函数极限的M定义着重注意以下几点:

（1）在定义中正数M的作用与数列极限定义中的N类似,表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比M大的所有实数x,而不仅仅是正整数n.

（2）当x时,函数fx以A为极限意味着: A的任意小邻域内必含有fx在的某邻域内的全部函数值.

（3）几何意义是:对任给0的,在坐标平面上,平行于x轴的两条直线yA与

yA,围成以直线yA为中心线,宽2为的带形区域；定义中的“当xM时,有fxA”表示:在直线xM的右方,曲线yfx全部落在这个带形区域之内.

1.2.2xx0时函数的极限：设函数fx 在点x0的某一去心邻域U



x;内有

\'0

\'定义，A为定数，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使



得当0xx0时，有fxA，则常数A为函数fx在xx0时的极限，记作limfxA.

xx0

即limfxA0,0,x:x0xx0,有fxA.

xx0

对应的,我们也有limfxA,limfxA的相应的

xx0

xx0

语言成立.

对于函数极限的

定义着重注意以下几点:

N定义中的N,它依赖于,但也不是由所唯

（1）定义中的正数,相当于数列极限

一确定的,一般来说, 愈小, 也相应地要小一些,而且把取得更小些也无妨.（2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势.

（3）定义中的不等式0xx0等价于xUx0;，而不等式fxA等价于fxUA;.于是，

定义又可写成：

任给0,存在0,使得一切xUx0;有fxUA;.或更简单的表为:



任给0,存在0,使得fUx0;UA;.



（4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为

对任给0的,在坐标平面上画一条以直线yA为中心线,宽2为的横带,则必存在以直线xx0为中心线、宽为2的数带，使函数yfx的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点x,fx0可能例外（或无意义）.



2.极限性质

2．1数列极限的性质

收敛数列有如下性质：

（1）极限唯一性:若数列an收敛,则它只有一个极限.（2）若数列an收敛，则an为有界数列.

（3）若数列an有极限，则其任一子列an也有极限.

\'\'

（4）保号性，即若limana00，则对任何a0,aaa,0,存在正整数N1，

n



n>N1时,ana\'ana\'.

（5）保不等式性:即若an与bn均为收敛数列, 若存在正整数N1，使得当n>N1时有

an

n

n

（6）数列极限的基本公式（四则运算） 设limxn,limyn存在,则

n

n

limxnynlimxnlimyn

nn

n

n

limxnynlimxnlimyn

n

n

xn

xnlimnlimlimyn0nylimynnn



n

limxnlimynxnyn

n

n

2．2函数极限性质

（1）极限唯一性；若极限limfx存在，则此极限是唯一的.

xx0

（2）局部有界性

若limfx存在，则fx在x0的某空心邻域Ux内是有界的，当x0趋于无穷大时，

xx0

亦成立.（3）局部保号性

若limfxA00，则对任何正数rAA,存在Ux0使得对一切

xx0

xUx0有fxr0fxr0，当趋于无穷大时，亦成立.

（4）保不等式性

若limfxA，limgxB，且在某邻域U

xx0

xx0



x;内有fxgx，则

\'0

xx0

limfxlimgx.

xx0

（5）函数极限的基本公式（四则运算）

设limfx,limgx存在,则

xa

xa

limfxgxlimfxlimgx

xaxa

xa

xa

limfxgxlimfxlimgx

xa

xa

fxfxlimxalimlimgx0xagxlimgxxa



xa

通过以上对数列极限与函数极限的介绍,可以知道数列极限与函数极限的本质相同,性质一致.

3.极限的判别法

3.1 数列极限的判别法

（1）单调有界定理：单调有界数列必有极限.

证明:不妨设an为有上界的递增数列.由确界原理,数列an有上确界,记

asupan.下面证明a就是an的极限.事实上,任给0,按上确界的定义,存在数列

an中某一项aN,使得aaN.又由an的递增性，当nN时有

aaNan。

另一方面，由于a是an的一个上界，故对一切an都有anaa 所以当nN时有

aana

这样就证得, limana.

n

同理可证有下界的递减数列必有极限，且极限即为它的下确界.(2) 数列收敛的柯西准则:

数列an收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m,n>N时，有xnxm.(3) 数列极限的夹逼准则

如果收敛数列an，bn都以为a极限，数列cn满足下列条件： 存在正数N，当n>N时有

ancnbn

则数列cn收敛,且 limcna.

n

3.2函数极限的判别法： （1）函数极限的夹逼准则:

设limfxlimgxA且在某U

xx0

xx0



x;内有

\'0

fxhxgx

则limhxA.

xx0

（2）函数收敛的柯西准则：

xx0

limfx存在的充要条件是:任给, 0，存在正数\',使得对任何

x\',x\"Ux0;，有 fx\'fx\".

数列极限

数列极限

数列极限

D1.21.3数列的极限函数的极限

函数极限

函数极限

函数极限

数列极限1

11,12数列极限

122 数列极限

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