几何证明选讲练习题

选修4-1几何证明选讲综合练习题

1.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE＝AC ,DE交AB于点F,且AB2BP4,

（1）求PF的长度.（2）若圆F且与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度。 解：（1）连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得CDEAOC, 又CDEPPFD,AOCPOCP, 从而PFDOCP,故PFD∽PCO,E A F B 证明：（Ⅰ） AB为切线，AE为割线, AB2ADAE又 ABAC (2) 由（1）有

ADAEAC2--------------5分

ADC~ACE

ADAC

又EACDACACAE

ADCACE 又ADCEGF EGFACE GF//AC

PFPD,…………4 PCPO

PCPD1

23.…………6 由割线定理知PCPDPAPB12,故PF

E PO

4（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF2r1即r

1A

所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT

2F B

5．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O

1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P，（I）求证：AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。 22.解：（Ⅰ）连接AB，AC是⊙O1的切线，BACD，

又BACE， DEAD//EC……………4分 （Ⅱ）PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线， PA2PBPD,

则PT

PBPO248，即PT…………10

2.三角形ABC内接于圆O，P在BC的延长线上，PA切圆O于A，D为AB的中点，PD交AC于E,AE3EC,求

PA

.PC

2

62PB(PB9)PB3又⊙O2中由相交弦定理，得PAPCBPPE PE4AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

AD2DBDE916，AD12.………………10分

6．如图，已知⊙O和⊙M相交于A,B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD中点，连结AG分别交⊙O,BD于点E,F，连结CE，

PA2PA2PBPCPB

解析：由PAPCPB,()， 

PCPCPC2PC2

过C作CH//AB，交PD于H，因为BDAD，

PBBDADAEPA

3，故3 所以有

PCCHCHECPC

GFEF2

（Ⅰ）求证：AGEFCEGD；（Ⅱ）求证：。 AGCE2

证明：（I）连结AB，AC，∵AD为M的直径，∴ABD90，

3．(本小题满分12分) 选修4－1：几何证明选讲如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是ACB的平分线并交AE于点F，交AB于D点，

求ADF的大小。

解：如图，连接AO，因为AC是圆O的切线，则OAC900， 因DC是ACB的平分线，又OAOB，

设ACDECD1,ABOBAO2 ，在ABC中，

∴AC为O的直径， ∴CEFAGD90．…………2分 ∵DFGCFE，∴ECFGDF，

∵G为弧BD中点，∴DAGGDF．…………4分 ∵ECBBAG，∴DAGECF， ∴CEF∽AGD．…………5分

∴

CEAG

，∴AGEFCEGD．…………6分 EFGD

（II）由（I）知DAGGDF，GG，

2221900180012450， 而在ADC中，ADF1290， 故ADF45° …………10分

∴DFG∽AGD，∴DG2AGGF．………8分

EF2GD2GFEF2

由（I）知，∴．………10分 222

CEAGAGCE

4.如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE,CFD,CGE

2

都是⊙O的割线，已知ACAB，（Ⅰ）证明：ADAEAC；（Ⅱ）证明：FG//AC。

7．如图，在ABC中，ABC900，以BC为直径的圆O交AC于点D，

设E为AB的中点。（1）求证：直线DE为圆O的切线；（2）设CE交圆

O于点F，求证：CDCACFCE。

O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于10．(本小题满分10分) 如图，ABC内接于⊙

点D，且AB2APAD。（1）求证：ABAC；

O的半径为1， （2）如果ABC600，⊙

且P为弧AC的中点，求AD的长。

8．在ABC中，ABAC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。

PCPD

（1）求证：；（2）若AC3，求APAD的值。 

ACBD

解：（1）CPDABC,DD，DPC～DBA，

11．如右上图，ABC是直角三角形，ABC900，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC

边的中点，连OD交圆O于点M，（Ⅰ）求证：O,B,D,E四点共圆；（Ⅱ）求证：2DE2DMACDMAB。

D

PCPDPCPD

又ABAC, （5分）

ABBDACBD

（2）ACDAPC,CAPCAP,APC～ACD APAC

，AC2APAD9………（10分） 

ACAD

9．(本小题满分12分) 已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，CD是ACB的

平分线且交AE于点F，交AB于点D。（1）求ADF的度数；（2）若ABAC，求

AC

的值。

BC

12．如图，ABC的外角EAC的平分线AD交BC的延长线于点D， 延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB,FC。

（1）求证：FB2FAFD；

（2）若AB是ABC外接圆的直径，且EAC120,BC6，

求线段AD的长。

可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFEFBFCFEFCF

∴BFEF．∵G是AD的中点，∴DGAG．∴∴．．

DGAGDGCGAGCG

（Ⅱ）连结AO，AB．∵BC是O的直径，∴BAC90°．

在Rt△BAE中，由（Ⅰ）得知F是斜边BE的中点，∴AFFBEF．

∴FBAFAB．又∵OAOB，∴ABOBAO．∵BE是O的切线， ∴EBO90°．∵EBOFBAABOFABBAOFAO90°， ∴PA是O的切线．

15．如图，⊙O是ABC的外接圆，D是弧AC的中点，BD交AC于E。 （I）求证：CD2DEDB。（II

）若CDO到AC的距离为1， 求⊙O的半径。

AB1，圆O的2

割线MDC交圆O于点D,C，过点M作AM的垂线交直线AD,AC分别于点E,F，证明：（Ⅰ）MEDMCF；（Ⅱ）MEMF3。

13．如图：AB是圆O的直径（O为圆心），M是AB延长线上的一点，且MB证明：（Ⅰ）连接BC得ACB90，所以ACBBMF90，

∴B,C,F,M四点共圆，∴CBACFM，又∵CBACDAEDM ∴EDMCFM，在EDM与CFM中可知MEDMCF。6分 （Ⅱ）由MEDMCF，得E,F,C,D四点共圆， ∴MEMFMDMC，又∵MDMCMBMA3， ∴MEMF3。┈┈┈┈┈10分

A

F



C

D

E

16．如图所示，已知PA与O相切，A为切点，PBC为割线，D为O上的点，且AD=AC，AD，

M

O

14.如图, 点A是以线段BC为直径的圆O上一点,ADBC于点D,

BC相交于点E。（Ⅰ）求证：AP//CD；（Ⅱ）设F为CE上的一点，且EDFP， 求证：CEEBFE

EP.

过点B作圆O的切线,与CA的延长线相交于点E, 点G是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F, 延长AF与CB的延长线相交于点P.（Ⅰ）求证:BFEF；

（Ⅱ）求证:PA是圆O的切线；

证明：（Ⅰ） ∵BC是O的直径，BE是O的切线， ∴EBBC．又∵ADBC，∴AD∥BE．

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