平行与垂直的证明

立体几何中平行与垂直的证明

1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点． 求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

ADBC

1D

B

C

2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1， 点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

3．如图平面ABCD⊥平面ABEF， ABCD是正方形，ABEF是矩形， 且AF

A

E

B

C

AD2,G是EF的中点，

2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

4．如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，

AB8，AC6，BC10，D是BC边的中点.（Ⅰ）求证：

5．如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比．

6．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE

上确定一点N，使得MN∥平面DAE.7．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中: （1） 求异面直线BC1与AA1所成的角的大小； （2） 求三棱锥B

1A1C

1B的体积；。 （3） 求证：B1D

平面A1C1B

ABA1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

8． 如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是

SA,BD上的点，且

AMBN

=，求证：MN//平面SBC SMND

P

9． 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中， AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB； （Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．

E

A

B

D C

10．在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，平面CDE是等边三角形，棱EF//BC且EF=

BC．

2（I）证明：FO∥平面CDE；

（II）设BC=CD,证明EO⊥平面CDF．

11． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．

12．如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，

ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC， E是PC的中点．

（1）求证：CDAE；（2）求证：PD面ABE．

13.如图在三棱锥PABC中，PA平面ABC，

C E

C

P

B

A

DB

_P

ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C

都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB平面PCM； （2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

14.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB2，SBSD ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

_A_C

_M

_B

D

C

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。 （I）求证：B1C//平面A1BD； （II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面 BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点 （1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

1． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直 角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若 存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.

5.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB

2，SBSD底面ABCD是菱形，且ABC60，

E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

D

C

【课后记】 1．设计思路 （1）两课时；

（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系； （3）掌握探寻几何证明的思路和方法； （4）强调书写的规范性 2．实际效果：

（1）用时两节半课；

（2）平行掌握的比较好，但垂直问题需要继续加强。尤其是面面垂直问题转化为线面垂直后便不知所措。

证明平行与垂直

垂直与平行

平行与垂直

平行与垂直

平行与垂直

垂直与平行

垂直与平行

垂直与平行

传统方法证明平行与垂直

空间几何——平行与垂直证明

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