11 度量空间的定义与极限

第一章度量空间

第一章度量空间

若在实数集

R中点列xn的极限是x时，我们使用|xnx|来表示xn和x的接近程度，事实上，|xnx|可表示为数轴上xn和x这两

R中点列xn收敛于x也就是指xn和x之间的距离随着n而趋于0，即limd(xn,x)0． 于是人们就想，

n

点间的距离，那么实数集在一般的点集

，那么在点集X中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ X中如果也有“距离”

远和近你 一会看我 一会看云我觉得 你看我时很远 你看云时很近

诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？

这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？

1.1度量空间的定义与极限

1.1.1 度量空间的定义与举例

定义 1.1.1 设（1）（2）（3）则称d为

X为一非空集合．若存在二元映射d:XXR，使得x,y,zX

，均满足以下三个条件：

d(x,y)0,且d(x,y)0当且仅当xy (非负性 Positivity)； d(x,y)d(y,x) (对称性 Symmetry)；

d(x,z)d(x,y)d(y,z) (三角不等式 Triangle inequality)，

X上的一个距离函数，称(X,d)为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，d(x,y)称为x和y两点间的距离．□

X．

注1：在不产生误解时，(X,d)可简记为下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间设

Rn．

Rn{(x1,x2,,xn)|xiR,i1,2,

,n}，定义

d(x,y)其中

x(x1,x2,,xn), y(y1,y2,,yn)Rn，可以验证(Rn,d)是一个度量空间．

在证明之前，引入两个重要的不等式．

引理1.1.1(许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给

2n个实数a1,a2,,an,b1,b2,,bn，有

ab(a

iii

1i1

nn

22i

)(b)

i1

n

12

2(1.1) i

证明任取实数

，则由

1.1度量空间的定义与极限

0(aibi)

i1

n

b

i1

n

2i

2aibiai2

i1

i1

nn

知右端二次三项式的判别式不大于零，即

n

n

2aibi4bi2

i1i1

于是可得(1.1)式成立．□

进一步有Hölder不等式

1p

a

i1

1qq

n

2i

0

ab

i1

n

ii

(ai)(bi)

i1

i1

n

p

n

其中

p,q1且

11

1，称这样的两个实数p,q为一对共轭数． pq

引理1.1.2闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任给

2n个实数a1,a2,

n

,an及b1,b2,

12

n

,bn，有

12

n

12

222(aibi)aibii1i1k1

证明由(1.1)式得

(1.2)

(ab)a

i

i

i1

i1n

i

nn

2i

2aibibi2

i1

i1

n

12

n

nn

12



a2ai2i1i1n

2bibi2

i1i1

11

nn2222aibii1i1

这就证明了(1.2)式．□

进一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中k

n

1

k1

k

n

k1k

n

k1k

(aibi)(ai)(bi)

i1

i1

i1

例 1.1.1 欧氏空间

Rn． 设Rn{(x1,x2,,xn)|xiR,i1,2,

,n}，定义k1

d(x,y)

其中

(1.3)

x(x1,x2,,xn), y(y1,y2,,yn)Rn，可以验证(Rn,d)是一个距离函数．

证明非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的

n

12

n

z(z1,z2,,zn)Rn，由闵可夫斯基不等式(1.2)有

12

22

xzxyyziiiiiii1i1



即d(x,z)

22

xyyziiiii1i1

是一个距离函数．□

n

n

12

，

d(x,y)d(y,z)．从而得证d

n

注2：称(R所定义的．

注3：在

,d)为n维欧氏空间，d

称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间

Rn，均指由(1.3)式的欧氏距离

Rn中我们还可以定义其他的距离：

d1(x,y)max|xkyk|；

n

第一章度量空间

d2(x,y)|xkyk|．

k1

可以验证距离

注4：在

d

1、d2均满足条件(1)、(2)和(3)．R2中比较上述三种距离d

、d1和d2，可看看他们各表示什么？

由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，所以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间．

下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间． 例1.1.2离散度量空间 设

X为非空集合，x,yX

，定义距离

0当xy时

d0(x,y)(1.4)

1当xy时

容易验证

d0满足距离的三个条件，并称之为离散距离，(X,d0)为离散度量空间．

例 1.1.3 连续函数空间C[a,b]

C[a,b]{f:[a,b]R|f连续}，f,gC[a,b]，定义

d(f,g)max|f(t)g(t)|，

t[a,b]

证明显然d满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立．

f(t),g(t),h(t)C[a,b]及t[a,b]均有

|f(t)h(t)||f(t)g(t)||g(t)h(t)|

max|f(t)g(t)|max|g(t)h(t）|

t[a,b]

t[a,b]

故d(f

d(f,g)d(g,h) ，

,h)max|f(t)h(t)|d(f,g)d(g,h)．称(C[a,b],d)为连续函数空间，简记为C[a,b]．□

t[a,b]

注5：在C[a,b]中我们还可以定义如下的距离：

d1(f,g)f(x)g(x)dx．

a

b

可以验证

d1均满足条件(1)、(2)和(3)，所以(C[a,b],d1)也为一度量空间．



例 1.1.4 有界数列空间l

l{x(x1,x2,,xn,)(xi)|sup{|xi|}}，对于x(xi)，y(yi)l

i

1，定义

d(x,y)sup|xiyi|，

i1

可以验证例1.1.

5d是一个距离函数，并称(l



,d)为有界数列空间，简记为l

．

p次幂可和的数列空间lp

l{x(x1,x2,,xn,)(xi)| |xi|p,1p}

p

i1

x(xi),y(yi)lp，定义



dp(x,y)|xiyi|p

i1

(1.5)式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及l间，简记为l例1.1.6

p



p

(1.5)

p

p

的定义知其右端有界．可以证明dp是一个距离函数．称(l,dp)为p次幂可和的数列空

．

p次幂可积函数空间Lp[a,b](p1)

Lp[a,b]{f(t)||f(t)|p在[a,b]上L可积}

1.1度量空间的定义与极限

即：

Lp[a,b]f(t)|

[a,b]

|f(t)|pdt

在

Lp[a,b]中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数． 对于f,gLp[a,b]，定义距离

d(f,g)(

那么(L

p

[a,b]

|f(t)g(t)|dt)

p

1p

[a,b],d)为度量空间． 并称(Lp[a,b],d)为p次幂可积函数空间，简记为Lp[a,b]．

Lp[a,b]具有下列重要性质：

f,gLp[a,b]，

是一常数，则

分析 集合

(1)对线性运算是封闭的．即若

fLp[a,b],fgLp[a,b]．

(2)设

Lp[a,b]L[a,b](p1)．

fLp[a,b]，令AE(|f|1)，BE(|f|1),E[a,b]，则

b



p

a

|f|dm|f|dm|f|dm

A

B

|f|pdm(ba)

Ab

故

|f|dm(ba)

a

fL(a,b)．

引理1.1.3闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式): 设

f(x)、g(x)是可测集E上的可测函数且k

1k



b

E

f(x)g(x)dx

p

1p



1k

E

f(x)dx

k



1k

E

g(x)dx

k



1k

(1.6)

证明因为



d(f,g)|f(t)g(t)|dt

a

p





E

f(x)dx

p



1p

E

g(x)dx

p



，

f(x),g(x),z(x)Lp[a,b]有

所以(1.6)式有意义． 显然非负性(1)和对称性(2)成立，下面验证三角不等式(3)也成立． 对于任意的



d(f,g)|f(t)g(t)|dt

a

b

p

p

p

bp|f(t)z(x)z(x)g(t)|dta

p





E

f(x)z(x)dx

p



1p

E

z(x)g(x)dx

p



d(f,z)d(z,g) □

上述例子涉及到常用的六个度量空间： 次幂可和的数列空间l

p

n维欧氏空间(Rn,d)；离散度量空间(X,d0)；连续函数空间C[a,b]；有界数列空间l；p

；

p次幂可积函数空间(Lp[a,b],d)．

1.1.2 度量空间中的极限

极限理论是数学分析的基础, 数学分析主要研究微分和积分, 而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中, 利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数, 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想．同样地，在度量空间中也可定义极限，而且分析中的数列极限可看成下列度量空间中点列极限的特例．

定义1.1.2 设(X,d)是度量空间，xX,{xn}是

n

第一章度量空间

X中点列，若limd(xn,x)0， 则称点列{xn}收敛于x，称x为点列{xn}

的极限． 记作

d

limxnx，或xnx(n)或xnx(n)．

n

{xn}收敛于x用“N”语言描述是: 0,NN

其发散．□

，当

nN时，恒有d(xn,x)成立． 若点列{xn}不收敛，则称

例1.1.7设

X是实数集，数列xn(n1,2,)．若在X上定义欧氏距离

n

d(x,y)|xy|(x,yX),

显然，数列{xn}在度量空间(X,d)中收敛于0．若在

X上定义离散距离

0,xy,

d0(x,y)(x,yX),

1,xy

则数列{xn}在度量空间(X,d0)中是发散的．

因为对任意给定的

x0X

， 只要

11

x0，就有d0,x1，所以无论n多么大，有 nn

1

limd0,x010, n

n

可见数列{xn}不收敛于

x0．虽然(X,du)与(X,d0)有共同的基本集X

，但由于定义的距离的不同，它们是两个不同的度量空间，可见同一

点列{xn}在一个度量空间中收敛，在另一度量空间中却发散．□

定义1.1.3设(X,d)为度量空间，若

AX

，若将距离限制在

AA上，显然A也是一个度量空间，称作X的子空间．

d(x,A)infd(x,y)(1.7)

yA

xX,AX

，则点

x到A的距离定义为：

集合

A的直径定义为：

diaAsupd(x,y)(1.8)

x,yA

若diaA有限，则称A为有界集；若diaA，则称A为无界集．□

那么d(x0,A)和diaA分别是多少？显然(1)当A是单点集时，有d(x0,A)1x0A，AR，

在离散度量空间(R,d0)中点及diaA

0；(2)当A不是单点集时，有d(x0,A)1及diaA1．

定理1.1.1 极限的性质 设(X,d)是度量空间， （1）若点列{xn}收敛，则其极限唯一； （2）若点列

{xn}是X

中的一个点列．

xnx0(n)，则{xn}的任何子列xnkx0(k)；

（3）若收敛点列{xn}看作是证明 （1）设

X的子集，则它是有界的．

xnx(n)且xny(n)，由定义知：0,N，当n时，有

d(xn,x),d(xn,y)，

22

故当



n时，我们有

d(x,y)d(xn,x)d(xn,y)

2



2



．

1.1度量空间的定义与极限

由

的任意性知，d(x,y)0，从而xy．

（2）设

xnx(n)，{xnk}是{xn}的子列．

,xn,

,

{xn}： x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,

{xnk}：xn1

，

xn2，xn3， xnk,

，当

,

由定义，

0,N

n时，有d(xn,x)

，由于

k

时，

nkk

，故

d(xnk,x)

，即

xnkx(k)．

（3）设

xnx0(n)

，由定义知：对

01

，

N

，

，当

n

时，

d(xn,x0)01

，于是

．取

Mmaxd{1x(0x,)d,2x(0x,),d,x0(x，,则),1n}N1

．即{xn}作为点集有界．□

d(xn,x0)M

n,mN，

d(xn,xm)d(xn,x0)d(xm,x0)2M

例 1.1.8设

|f(t)g(t)|)中的点列，那么 fn(x)是连续函数空间C[a,b](d(f,g)max

t[a,b]

fn(x)f(x)(函数列一致收敛)当且仅当fn(x)f(x)(度量空间中的点列收敛)．

证明

fn(x)f(x)(n)等价于0,N，当n时，有d(fn(x),f(x))

f(x))

，等价于d(fn,

．

其中d(fn(x),f)max|fn(x)f(x)|．进一步等价于

x[a,b]

x[a,b]，有|fn(x)f(x)|

于是

．

fn(x)f(x)(n)

等价于

0,N

，当

n

时，

x[a,b]，有|fn(x)f(x)|

，即

fn(x)f(x)．□

例1.1.9 设d(x,y)是

X上的一个距离，则d1(x,y)

d(x,y)

也是X上的距离．

1d(x,y)

d(x,y)是X

上的距离，所以

证明显然非负性和对称性成立，下面仅证三角不等式． 由于

x,y,zX

，有

d(x,y)d(x,z)

d(z,．y )又知函数f(t)

t1

(f\'(t)0)为单调递增函数，于是

1t(1t)

d1(x,y)

d(x,y)d(x,z)d(z,y)

(f(t)单调递增) 

1d(x,y)1d(x,z)d(z,y)

d(x,z)d(z,y)



1d(x,z)d(z,y)1d(x,z)d(z,y)

因此d1(x,

d(x,z)d(z,y)

d1(x,z)d1(z,y) 

1d(x,z)1d(z,y)

y)是X

上的距离． □

6

§11 函数极限暂时的定义

极限操作定义

极限 定义证明

极限定义的总结

极限状态法定义

定义证明二重极限

数列极限的定义

数列极限的定义

一致连续极限定义

函数与数列极限的定义区别

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