§11 函数极限暂时的定义

第1章函数的极限和连续函数

近代微积分是建立在近代极限理论的基础上，可是近代极限理论对于刚步入大学的一年级大学生来说，是很难接受的。为了减少初学者学习微积分的难点，我们有意避开了近代极限理论，而用“无限接近”的说法，暂时定义了函数的极限。关于极限概念的这种“无限接近”说法，最早出现在法国数学家达朗贝尔(DAlembert，J.L.，1717-1783)的著作中。它的优点是直观明白，而缺点是简单粗糙，甚至连有关函数极限的简单结论，也无法用它来证明。幸好，这一章中那些应当用近代极限理论证明的结论也都是如此明白，读者凭借直觉也会相信它们都是正确的。关于极限概念的精确化，以及极限基本性质和连续函数主要性质的证明，那是微积分产生和发展了一百多年以后才逐步完成的。我们将在本书第二篇中讲述它。

§1-1函数极限暂时的定义

1.函数在某点的极限一个变量y能够无限制地接近某一个常量(数)C，就说“C是变量y的极限”。那么，“变量y能够无限制地接近C”是什么意思呢？它的的意思是说， “预先给出任何正数，不管它多么小，变量y在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值yC小于或不超过那个正数，即yC”。 对于作为变量的函数yf(x)来说，设函数yf(x)在点c的近旁有定义。当自变量x无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数C，简记成

limf(x)C 或 f(x)C(xc) xc

则称“常数C为函数f(x)在点c的极限”(图1-1)。

类似地，设函数yf(x)在点c的左旁有定义。当自变量x从点c左边无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近常数A(图1-2)，简记成

limf(x)A xc

则称“常数A为函数f(x)在点c的左极限”。同理，设函数yf(x)在点c的右旁有定义。当自变量x从点c右边无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近常数B(图1-2)，简记成

xclimf(x)B

则称“常数B为函数f(x)在点c的右极限”。

§1-1函数极限暂时的定义

3函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。从图1-1和图1-2上看出，若函数f(x)在点c的两边近旁都有定义，则

limf(x)C的充分必要条件是limf(x)limf(x)C

xc

xcxc

例1证明：lim

sinx



1x0x

π

证如图1-3中的单位圆，当0x时，则有

sinxxtanx(见下注)

由此得

cosx

从而有

sinx

1 x

图1-3

xxsinx1

011cosx2sin22x20(x0)

2x22



可见，当x0时，函数值

sinxsinx

1；而左极限为 无限制地接近1，即得右极限lim

x0xx

sinxsin(x)sinx

limlim1 x0x0xxx

x0

lim

(sinx是奇函数)(用x替换x)

因此有 lim

sinx

。 1（因为左右极限相等）

x0x

和EBED是因为点到直线的距离垂线最短；CBCEEB是因为右端是左端弧【注】ABCB

CEEBCEEDCD，即sinxxtanx。 长的过剩近似值。因此，ABCB

【问与答】

问：圆弧长度是怎么定义的？

答：首先说一下实数基本性质之一，即“实数连续性质”。在§0-2中，我们曾形象地把它说成“实数能够一个挨一个地填满整个数轴，而不会留下一个空隙”，而在近代数学中是把它说成“有上界的（非空）实数集合必有最小上界”，或者“有下界的（非空）实数集合必有最大下界”（出现在§5-3中）。因为圆弧所有可能外切折线长度组成的集合有下界,所以它有最大下界。我们就把这个最大下界定义为圆弧的长度。

2.函数的连续点和间断点特别，若函数f(x)在含点c的某个区间内有定义，且满足条件limf(x)f(c)，则称点c为函数f(x)的连续点图1-4)；并称函数f(x)在点c是连续xc

的。y

图1-

5令xxc(称为自变量x的增量)，其中是大写希腊字母delta（读作“得儿塔”），而把yf(cx)f(c)（图1-5）称为函数yf(x)在点c(相应于x)的增量。因此，

limf(x)f(c)limf(cx)f(c)limy0

xc

x0

x0

这就是说，函数yf(x)在点c连续，说明自变量变化很小时，函数值的变化也很小。它表示自然界中变量连续变化的特征(不是跳跃式变化)。“连续”一词当初就来源于此。 请读者特别注意，limf(x)C与limf(x)f(c)的明显区别是：前者不考虑函数f(x)

xc

xc

在点c是否定义有函数值f(c)；后者中函数f(x)不仅在点c定义有函数值f(c)，而且必须满足条件limf(x)f(c)。在函数极限limf(x)C的定义中，规定xc(xc)是想让极

xc

xc

限概念的“外延”（逻辑学中的术语）更加宽广，而有limf(x)f(c)仅是一种特殊情形。

xc

若函数f(x)在点c不能满足条件limf(x)f(c)，则称点c间断点。函数

xc

的间断点可能是下面的情形之一：

可除间断点称点c为函数f(x)的可除间断点，若有极限limf(x)，且或者函数f(x)

xc

在点c没有定义函数值[但在点c近旁定义有函数值f(x)]，例如函数

sinx

有可除间断点0(图1-6)

yx或者函数f(x)在点c定义有函数值f(c)但limf(x)f(c)，例如函数

xc

x2,x2f(x)

1,x2

x2(x2)

x

2图1-6

有可除间断点2(图1-7)，因为limf(x)limx24f(2)1。

2图1-7

第一类间断点称点c为函数f(x)的第一类间断点， 若在点c同时有左极限和右极限,

f(x)limf(x)，例如符号函数sgnx(图1-8)，因为 但是lim

xc

xc

x0

limsgnx1limsgnx1

x0

所以点0是符号函数sgnx的第一类间断点。

§1-1函数极限暂时的定义

【注】有的教科书中把可除间断点也称为第一类间断点。

第二类间断点函数的其他间断点(即既不是可除间断点，又不是第一类间断点)，都称为第二类间断点。例如，图1-9和图1-10中点0都是第二类间断点(前者为无穷间断点，后者为摆动间断点)。函数在第二类间断点c处，

f(x)和右极限limf(x)左极限lim

xc

xc

中，至少有一个不存在。

图1-10

图1-9

研究函数的间断点及其分类，目的是研究当函数有间断点时，它对函数的某些性质(譬如函数的可积性等)会造成多大的影响。

3.函数在无穷远的极限设函数yf(x)对于绝对值足够大的x有定义。当自变量x按绝对值无限制地变大时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数C(图1-11)，简记成

limf(x)C 或 f(x)C(x)

x

则称常数C为函数f(x)在无穷远处的极限或当x时的极限。

例如，极限lim

x

sinxsinx

0(见图1-6)。请你把它与极限lim1区别开来。

xxx0x

类似地，设函数yf(x)对于足够大的x有定义。当自变量x无限制地变大时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数A(图1-12)，简记成

limf(x)A

x

则称常数A为函数f(x)当x时的极限。同理(图1-13)，我们可以定义记号

limf(x)B

x

并称常数B为函数f(x)当x时的极限。

x

极限limf(x)A和limf(x)B也称为单侧极限，并且也有结论：

x

有极限limf(x)C

x

 limf(x)limf(x)C

(充分必要)

xx

请读者注意，其中的“x”、“x”、“x”都是记号，依次读作“x趋．．．．．向无穷大”、“x趋向正无穷大”、“x趋向负无穷大”。再请读者注意，它们只有同函数的变化联系在一起时才有意义，而单独谈论它们是没有意义的！

例2函数

x

1

y1(x1或x0) x

1

属于幂指函数(图1-14)。当x或x时，函数y1的极限都是e，即

x1

lim1e(其中e是无理数，近似等于2.71828)。证明它属于高等微积分，你暂且记xx

住它就可以了。

x

图1-14

x

x

1

把数列极限看作函数极限的特殊情形时, 则也有lim1e。实际上，在近代极

nn11

限论中，先是证明数列极限lim1e，而后又证明了函数极限lim1e【证

xnxn

明在本书第二篇（§5-5）中】。

n

x

n

6

§1-1函数极限暂时的定义 7

1

根据极限lim1e，则有

xx

x

lim1x

x0

1

z1xx

1

lim1e zz

z

【问与答】

问：函数（或数列）在什么情形下才有极限？

答：这是近代极限论中的极限存在问题。讨论这个问题也会涉及到“实数连续性质”。在本书上册第二篇中，将会直接或间接地根据它，证明极限存在的一些判别法，其中之一就是下一节中讲的单调有界原理。

7

函数极限的定义证明

利用函数极限定义证明1

函数极限

函数极限

函数极限

用定义证明函数极限方法总结

函数与数列极限的定义区别

11 度量空间的定义与极限

关于二元函数极限定义的教学探讨

极限操作定义

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