相似三角形的应用教学设计
2020-03-02 05:52:42 来源：范文大全收藏下载本文
相似三角形的应用
一、知识要点：
（一）相似三角形的应用主要有如下两个方面
1．测高（不能直接使用皮尺或刻度尺度量的）；
2．测距（不能直接测量的两点间的距离）。
（二）测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决。
（三）测距的方法
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如图甲所示，通常可先测量图中的“线段”BD、DC、DE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如图乙所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长。
二、例题解析：
例1.如图，AB、CD相交于点O，且AC∥BD，则OA·OD＝OC·OB吗？为什么？
解：∵AC∥BD
∴∠B＝∠A，∠D＝∠C
∴△OBD∽△OAC
∴
∴OA·OD＝OB·OC 1
因此OA·OD＝OC·OB成立．
例2.如图，物AB与其所成像A′B′平行，孔心O到蜡烛头A的距离是36cm，到蜡烛头的像A′的距离是12cm，你知道像长是物长的几分之几吗？你是怎样知道的？
解：∵AB∥A′B′
∴∠ABO=∠A′B′O
又 ∵ ∠AOB=∠A′OB′
∴△AOB∽△A′OB′
∴
∵AO=36cm，A′O=12cm
∴ 则
答：像长与物长之比为
．
例3.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
2
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
解：(1)△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90°
∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m ∴
∴DE=16m 答：古塔的高度为16m 例4.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？3
方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽。
方案2：如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC
∴∠ABO=∠DCO=90°
又 ∵ ∠AOB=∠DOC
∴△AOB∽△DOC
∴
∵BO=50m，CO=10m，CD=17m
∴AB=85m
答：河宽为85m．
例5.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE。亮区一边 4 到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？
分析：作EF⊥DC交AD于F。则
，利用边的比例关系求出BC。
解：作EF⊥DC交AD于F。因为AD∥BE，所以
，所以
又因为，所以。因为AB∥EF， AD∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m。所以
m。
例6.用一个正方形完全盖住边长分别为3厘米、4厘米、5厘米的一个三角形，这个正方形的边长最小是多少？
分析：设
则能完全盖住是直角三角形，其中
，EG为斜边。 显然，边长为4cm的正方形
的正方形ABCD，如图所三边EF、FG、GE分别长3cm，4cm，5cm ，但不是最小的，可以设想一个完全盖住
示，此时正方形的边长
解：设 ，则，
而
即 ， 于是，
整理后可解得：
所以要完全盖住
三、课后练习：
的最小正方形边长
1．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？
2.测量河宽AB，先从A处出发，沿河岸走100步到C处，在C处立一根杆标，然后沿AC继续朝前走20步到D处，在D处，转过90°角沿DE方向再走32步，到达E处，并使河对岸的B处（目标物）和C、E同在一直线上，问测得河宽为多少米？（1步约等于0.75m）
3．一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，求桶内油面的高度。
练习答案：
1．提示：作CE//DA交AB于E，树高是4.2m。
2．点拨：利用相似三角形的判定和性质。
解：因为B、C、E在同一直线 所以
又因为
所以（步）
答：河宽约为120m。
3．0.64m。
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