立体几何证明技巧解答

南京市第六十六中学2012届二轮复习

证明的通用技巧归纳与整理

2．1 线面平行的证明技巧。

2．1．1 把要证的直线平行移动到面内确定平行线 1．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知底面

ABC是正三角形，且平面ABC平面BCC1B1， 点D是棱BC的中点． 求证：A1B//平面ADC1．

A

A

1B

D

C

C1

2．1．2 如果不能确定平行线，则构造一个包含该直线且与要证平面平行的平面 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°,

E、F分别为A1C

1、BD的中点，D为棱CC1上任一点． 求证：EF∥平面A A1B1B．

2．3 证明由平面图形经过翻折升维为立体图形时抓住翻折前后不变的边角关系是证明的关键。 例6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。 （Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；

（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求证：平面A’MC⊥平面BCDE。

A

C

D

A

1E

C1

B1

A\'

F

M

C

A

E

B

2．2 证明在同一平面内的线线平行或垂直技巧。

通常在证明同一平面内的线线位置关系时，通常采取降维的做法，把问题从立体图形转化为平面几何图形来研究，比较简单且易于观察。

D1

3．四棱柱ABCD

A1BC11D1中，ABBCCA

A1

A

C1

ADCD1,面AAC11C面ABCD。

（1）求证：BDAA1；

（2）若E为线段BC的中点，求证：A1E//平面DCC1D1。

C

2．4 直接证明有困难或不好证明时，借助于第三个量，通常在第一小问中有提示，进行转化证明。

例7．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC， 点D，O分别为AA1，B1C的中点。 （1）证明：OD∥平面ABC；

（2）证明：平面B1DC⊥平面BB1C1C．

A

A1

B

C1

2．5 运用公式，借助割补法、等体积代换对简单几何体侧面积、体积等相关计算时，要注意计算与证明相结合。

例8．在四棱锥O-ABCD中，底面是边长为2的菱形ABCD，

DAB60°，

OAD⊥底面ABCD．

求点A到平面OBC的距离．

三、实战练习：

A

C

EF//AC

，AB，CEEF1 1．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；

（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．

2．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，点D,E,O分别为AA1,AC11,B1C的中点。 （1）证明：OE∥平面AA1B1B； （2）证明：平面B1DC⊥平面BB1C1C．

A

D

A

1E

C

B

C1

3．已知，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°,E、F分别为A1C

1、BD的中点，D为棱CC1上任一点． 求证：（1）EF∥平面A AB1B；（2）BCEF．

A

C

D

A1

E

C1

B1

ABBC2,CQ4，BCQ60,4．如图，已知等腰梯形ABCQ中,AB//CQ，D是CQ的中点，

将QDA沿AD折起，点Q移动到点P位置，使平面PAD⊥平面ABCD.

（1）求证：BC//平面PAD； （2）求三棱锥PBCD的体积。

Q

C

AP

B

DA

C



5．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD中为菱形，BAD60，Q为AD的中点．

求证：“平面PQB平面ABD”的充要条件是“PAPD”．

P

D

A

C

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