立体几何垂直证明

立体几何专题----垂直证明

学习内容：线面垂直面面垂直

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。

试题探究

一、通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面

1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.、

2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；

3.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形

BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,

E为PC的中点, PA＝AD。

证明: BE平面PDC;

二、利用等腰三角形底边上的中线的性质

4、在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90

，APBPAB，PCAC．

（Ⅰ）求证：PCAB；

P

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；A

B

C

5、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PACD,PA1,PD

6、

如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，

求证:PA平面ABCD；

_A _D

_B_C

7、如图，四面体ABCD中，O、

E分别是BD、BC的中点，

CACBCDBD2,ABAD

（1）求证：AO平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点， 求证：D1O⊥平面MAC.9、如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F， 求证：A1C⊥平面BDE；

五、利用直径所对的圆周角是直角

10、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.P

A

11、如图，在圆锥PO中，已知PO，⊙O的直径AB2,C是狐AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD

平面PAC;

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