立体几何证明

推荐第1篇：立体几何证明

立体几何证明

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

2

四个判定定理：

①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四个性质定理：

①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③垂直于同一平面的两条直线平行。

④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

(2)立体几何初步这部分，我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是采用了一种很

推荐第2篇：立体几何证明

1、（14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

A

2.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

底面边长AB＝2，侧棱

交B1C于点F，

BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，（1）求证：A1C⊥平面BDE；



D3．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BCAC2，AA14，为棱CC

1上的一动点，M、N分别为ABD、A1B1D的重心.（1）求证：MNBC； ．

A

B

4.如图，在三棱拄ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C1,

1N 31 B1

（Ⅰ）求证：C1B平面ABC；



A11

（Ⅱ）试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EAEB1； .A

A1

B1

C

E

C1

5、如图，P—ABCD是正四棱锥，ABCDA

1BC11D1是正方体，

其中AB2,PA

（1）求证：PAB1D1；

6．（本小题满分12分）

如图，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。（1）BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；（2）若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD，

指出点Q的位置，

7、如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA面ABCD

，PA=AB=1，BC=2 （Ⅰ）求证：平面PDC平面PAD；

8.正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：平面AB'D'//平面C'BD。

9..（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求证：BC⊥面PAC；

P（2）求证：PB⊥面AMN.

M

A

10、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、

点，且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH∥BD.(12分)

11、已知ABC中ACB90，SA面ABC，ADSC，求证：AD面S分)

12、已知正方体ABCDA1BC11D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O面AB1D1；（2 ）AC面AB1D1．(14分)

1

CD、DA上的

A

HD

SBC．(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1．下列命题正确的是………………………………………………（）

B

A．三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面

2．若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是（） A．内的所有直线与a异面B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一的直线与a平行D．内的直线与a都相交

3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（） A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面

4．正方体ABCDA'B'C'D'中，AB的中点为M，DD'的中点为N，异面直线B'M与CN所成的角

A．0B．45C．60D．90

5．平面与平面平行的条件可以是…………………………（）

A．内有无穷多条直线都与平行C．直线a，直线b且a//，b// B．直线a//,a//且直线a不在内，也不在内D．内的任何直线都与平行 6．已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………（） A．3B．2C．1D．0

7．下列命题中错误的是……………………………………（） A． 如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B． 如果平面，那么平面一定存在直线平行于平面

C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面，，l，那么l

8．直线a//平面，P，那么过点P且平行于的直线…………（） A． 只有一条，不在平面内B．有无数条，不一定在内C．只有一条，且在平面内D．有无数条，一定在内 9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①BM与ED平行②CN与BE异面③CN与BM成60

④DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（）

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

1.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是__________________ 3.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是_______________ 4.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系是______________

推荐第3篇：立体几何证明问题

证明问题

例1.如图，E、F分别是长方体边形

.-的棱A、C的中点，求证：四边形是平行四

例2.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD与E、F、G.求证：AE⊥SB.例3.如图，长方体∠求证：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分别为棱

、

、BC上的点，PQ//AB，连结

，

例4.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如图所示.求证：PQ//平面

CBE.例5.如图直角三角形ABC平面外一点S，且SA=SB=SC，且点D为斜边AC的中点.（1）求证：SD⊥平面ABC.

（2）若AB=AC，求证BD⊥平面

SAC.

例6.如图，在正方体

-中，M、N、E、F分别是棱

、

、

、

的中点.求证：平面AMN//平面

EFDB.

例7.如图（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E为AB的中点，将ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求证：平面ADE⊥平面

BCDE.

推荐第4篇：立体几何规范性证明

立体几何证明规范性训练（1）

1、如图，M,N,K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点． （1）求证：AN//平面A1MK；（2）求证：MKA1B1 立体几何证明规范性训练（2）

1、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，

M，N分别为A1B，B1C1的中点．

（1）求证BC∥平面MNB；（2）求证平面ACB⊥平面ACCA．

AC

1N

B1

（3）求证：平面A1B1C平面A1MK．

2、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G 分别是A1A，D1C，AD的中点．求证：

（1）MN//平面ABCD；（2）MN⊥平面B1BG．

1111B

2、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面

求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC平面BDE．

立体几何证明规范性训练（3）

1、三棱锥ABCD中，ACAD，BCBD，E是CD中点， （1）求证：面ABE面ACD

（2）若ABBE，M为AE中点，求证：BM面ACD

2、已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

(1) 求证：EF∥平面PAD；(2) 求证：EF⊥CD；

(3) 若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

立体几何证明规范性训练（4）

1、在直三棱柱OBCO1B1C1中，OO1BCOC2，OCCB，点A,A1分别为中点如图， 则（1）求证AC11//面ABC1（2）求证：面A1B1C面AAC

12、在四面体ABCD中，CBCD,ADBD，且E,F分别是AB,BD的中点， 求证：（1）直线EF//面ACD

（2）面EFC面BCD

立体几何证明规范性训练（5）

1、已知直角梯形ABCD中, AB//CD,ABBC,过A作AECD,垂足为E,G、F分别为AD、CE的中点,现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.(1) 求证：BC面CDE；(2) 求证：FG//面BCD； 

2、四边形ABCD中，BADBDC90，ABADBC5，将ABD沿对角线BD折

起，折起后，点A的位置记为A\'，使A\'BDC为直二面角 （1）求证：面A\'BC面A\'DC （2）求三棱锥A\'BCD的侧面积

推荐第5篇：立体几何的证明

青于蓝教育

《立体几何》专题复习一

点、直线、平面之间的位置关系

第一部分：考点梳理

（一）空间直线、平面之间的位置关系

1、平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

公理2：不共线的三点确定一个平面．

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3公理

32（1（2①公理4（3a′与b′3（1（2（34（1）平行（2）相交

（二）.优秀师资专业团队个性辅导青于蓝教育欢迎你！

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例

一、已知直线a和b是异面直线，直线c∥a，直线b与c不相交．求证:直线b、c是异面直线．

练习

1BD(1) 求证

练习2AB=5,点 （I

D1

练习

3、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O//面AB1D1；A1（2 ）A1C⊥面AB1D1．

D

C

1BC

B

2ABCD，DCDD12AD2AB，例四．如图，在四棱柱ABCDA1BC11D1中，已知DD1平面AD⊥DC，AB∥DC．

（Ⅰ）求证：DC1⊥AC1；

（Ⅱ）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．

上的点，且BF⊥平面

形，且 （1

练习4是AB，求证：（Ⅰ）直线EF∥面ACD；（Ⅱ）面EFC面BCD．

练习5．如图，，，，为空间四点，在中，，

ACBC2．等边三角形ADB以AB为轴运动．

（Ⅰ）当平面ADB平面ABC时，求CD；

（Ⅱ）当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论．

D

A

B 课后作业

1、

证明：

2.形PQRS边AC,

3.四棱锥PC=a，E(2)求点E(3)求二面

4111C1 A1 ⑴求证：A1B∥平面ADC1;

⑵求截面ADC1与侧面ACC1A1所成的二面角D—AC1—C的大小.B

C

D

B

推荐第6篇：立体几何垂直证明

立体几何专题----垂直证明

学习内容：线面垂直面面垂直

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。

试题探究

一、通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面

1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

12DC，E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.、

2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；

3.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形

BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,

E为PC的中点, PA＝AD。

证明: BE平面PDC;

二、利用等腰三角形底边上的中线的性质

4、在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90

，APBPAB，PCAC．

（Ⅰ）求证：PCAB；

P

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；A

B

C

5、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC

三、利用勾股定理

PACD,PA1,PD

6、

如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，

求证:PA平面ABCD；

_A _D

_B_C

7、如图，四面体ABCD中，O、

E分别是BD、BC的中点，

CACBCDBD2,ABAD

（1）求证：AO平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；B

E

四、利用三角形全等或三角行相似

8、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点， 求证：D1O⊥平面MAC.9、如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F， 求证：A1C⊥平面BDE；

五、利用直径所对的圆周角是直角

10、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.P

A

11、如图，在圆锥PO中，已知PO，⊙O的直径AB2,C是狐AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD

平面PAC;

推荐第7篇：立体几何证明方法

立体几何证明方法

一、线线平行的证明方法：

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线面平行的性质定理）

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行。（线面垂直的性质定理）

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）

3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法：

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的两个平面平行

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。6利用向量来证明。

7、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。

8、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。

推荐第8篇：立体几何证明大题

立体几何证明大题

1．如图，四面体ABCD中，AD平面BCD， E、F分别为AD、AC的中点，BCCD． 求证：（1）EF//平面BCD（2）BC平面ACD．

2、如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）求证：AC⊥平面B1D1DB;

（2）求证：BD1⊥平面ACB

1（3）求三棱锥B-ACB1体积．

D C A B D1 C1 AB1

D

3、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.C

1B面AB1D1．求证：（１） C1O∥面AB1D1（2 ）AC1A

4.如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，

ABC90，AEPB于E，AFPC于F

求证：（1）BC平面PAB；

（2）AE平面PBC； （3）PC平面AEF．

B

P

F

A

E

C

B

5、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA∥平面BDE（2）平面PAC平面BDE（3）若棱锥的棱长都为2，求棱锥的体积。

6.如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC

求证：AB⊥BCP

A

7.如图，在三棱锥S-ABC中，SABSACACB90,, （Ⅰ）证明SC⊥BC；

（Ⅱ）若已知AC2,BC,SB29, 求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小。

8.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4,的余弦值 。.

DD13，求异面直线A1B与B1C所成角

推荐第9篇：立体几何证明格式示范

教材P58练习2答案：（注意规范格式）

证明：连接B1D1

M,N分别是A1B1和A1D1中点MN是A1B1D1中位线MN//B1D1MN//EFE,F分别是B1C1和C1D1中点EF是B1C1D1中位线EF//B1D1MN面EFDBMN//面EFDBEF面EFDB

MN面AMN面AMN//AN面AMN面EFDBANMNNNE//A1B1NE//ABABEN是AN//BEAB//A1B1AN面EFDBAN//面EFDBBE面EFDB

注意：以上如果一行写不下，也可以分行写如下:证明：连接B1D1

M,N分别是A1B1和A1D1的中点MN是A1B1D1的中位线MN//B1D1MN//EFE,F分别是B1C1和C1D1的中点EF是B1C1D1的中位线EF//B1D1MN面EFDBMN//面EFDB；

EF面EFDB

NE//A1B1NE//ABABEN是AN//BEAB//A1B1AN面EFDBAN//面EFDB；

BE面EFDB

MN//面EFDB

AN//面EFDBMN面AMN面AMN//面EFDB

AN面AMNANMNN

教材P62习题2.2A组答案：（注意规范格式）

第5题证明：连接CD

AB//AB//CD面ABCDCDABCD是平行四边形ACBD

AC//BD

第8题证明：

AOAOAOBAOBAOBAOBBAOBAOAB//AB

BOBO

同理可证AC//面ABC,因此

AB//面ABC

AC//面ABC

AB面ABC面ABC//面ABC.

AC面ABC

ABACAAB面ABCAB//面ABCAB面ABC

推荐第10篇：立体几何的证明策略

立体几何的证明策略：

几何法证明

证明平行：3，2，1

1、线线平行：公理四，10页

线面平行的性质定理，课本20页面面平行的性质定理，36页

2、线面平行：线面平行的判定定理，19页面面平行的性质，36页

3、面面平行：面面平行的判定定理，35页 证明垂直：2，2，1

1、线线垂直：平移，相交，解三角形线面垂直的定义，23页

2、线面垂直：线面垂直的判定定理，24页面面垂直的性质定理，43页

3、面面垂直：面面垂直的判定定理，43页 向量法证明：

1、线线平行：

ab 

2、线面平行：a1b2c



3、面面平行：a1c2d且b3b4c 

4、线线垂直：ab0



5、线面垂直：ab0且ac0



6、面面垂直：n1n20

求角的方法：

线线角：平移，相交，解三角形

cosab

| a|b|||

线面角：斜线与射影夹角



an

2arcco|a

|n|||

二面角：位置形状两个角度

位置：水平，竖直，有垂面（借助三垂线定理）形状：等腰，直角，全等cos

s1s



与arccos|n1n2

|n|相等或互补 1||n2|

求距离的方法

线线距离：公垂线段

转化为点面距离



d|an

|n|

|其中a是斜向量 点面距离：垂线段（可以借助垂面）转化为其他点到平面距离等体积法



d|an

|n|

|其中a是斜向量

第11篇：立体几何的证明方法

立体几何的证明方法

1．线面平行的证明方法

2．两线平行的证明方法

5.面面垂直的证明方法

6.线线垂直的证明方法

7、空间平行、垂直之间的转化与联系：

应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”： “线线平行”⇒“线面平行”⇒“面面平行”； 应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”： “面面平行”⇒“线面平行”⇒“线线平行”．

(1)利用判定定理时，由“低维”到“高维”；利用性质定理或定义时，由“高维”到“低维”； (2)线面垂直是核心，联系线线垂直，面面垂直，线线垂直是基础．

例1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F，求证：EF∥平面ABCD.

D为C1C 例2．如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，且A1A底面ABC，

的中点，AB1与A1B相交于点O，连结OD，

（1） 求证：OD//平面ABC；（2）求证：AB1平面A1BD。

例3． 如图，已知棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且AA1面ABCD，

DAB60，ADAA11，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点，

（1）求证：MF//面ABCD；（2）判断直线MF与平面BDD1B1的位置关系，并证明你的

结论；（3）求三棱锥D1BDF的体积.

A

C1

B1

M

F

C

第12篇：立体几何题证明方法

立体几何题型与方法

1．平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

(1)证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。(2)证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。(3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合

2.空间直线（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、异面.相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面 ，b与 的关系是相交、平行、在平面 内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦ 是夹在两平行平面间的线段，若 ，则 的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

（2）.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.

（3）.两异面直线的距离：公垂线段的长度.

空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]： 是异面直线，则过l外一点P，过点P且与l 都平行平面有一个或没有，但与 l距离相等的点在同一平面内.（ 或 在这个做出的平面内不能叫 与 l平行的平面）

3.直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.

（2）.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行 线面平行”）[注]：①直线l与平面内一条直线m平行，则l∥m .（×）（平面外一条直线） ②直线 l与平面 内一条直线m相交，则 l与平面相交.（×）（平面外一条直线）

③若直线l与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）

④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（×）（可能在此平面内）

⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）

⑥直线l与平面、 所成角相等，则 （、可能相交） ∥ .（×）

（3）.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）

（4）.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）.a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.

[注]：垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

4.平面平行与平面垂直.（1）.空间两个平面的位置关系：相交、平行.

（2）.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.

（3）.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行线线平行”）

（4）.两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.

两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.

注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.

（5）.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.

5.（1）.棱柱.a.①直棱柱侧面积： （c为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：（c是斜棱柱直截面周长，h 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.

b.{四棱柱} {平行六面体} {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正方体}.

{直四棱柱} {平行六面体}={直平行六面体}.

c.棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（×） （直棱柱不能保证底面是矩形,可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.

d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.

推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则 .

[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）

②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）

③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）

④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

（2）.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.

[注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 .

a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.

[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）

ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等

iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积： （底面周长c，斜高为h ）

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式： （侧面与底面成的二面角为 ）

注：S为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）.

b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.

c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.

[注]：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等） ii.若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.

iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.

iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

（3）.球：a.球的截面是一个圆面.①球的表面积公式： .②球的体积公式： .

b.纬度、经度：①纬度：地球上一点 的纬度是指经过 点的球半径与赤道面所成的角的度数.

②经度：地球上 两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是 点的经度.附：①圆柱体积： （r为半径，h为高）②圆锥体积： （ r为半径， h为高）

③锥体体积： （ 为底面积， 为高）

（1）.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a,.注：球内切于四面体： 。

②外接球：球外接于正四面体，

一、经典例题剖析

1、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；

2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.3、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．

4、如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径∠ABD=60°

,∠BDC=45°,

△ADP～△BAD.(1)求线段PD的长；(2)若PC，求三棱锥P-ABC的体积.B

1P

B AD题3题4（第7题）

5、弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD外一点

F满足FC平面BED,FB=a（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离.6．如图, 在三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，CC1平面ABC，BC4，AB5,AA14，

点D是AB的中点，（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面

CDB1；（3）求三棱锥C1CDB1的体积。

7、如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中，SA=AB=2，SBSD（1）证明：BD平面SAC；

（2）问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB//平面ACD？请证明你的结论；

（3）若BAD120，求几何体A—SBD的体积。

8．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体0ABCDEFGH。图

5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线BD平面PEG.（第题）（第9 题）

10

9．如图，已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC ,AB2，

tanEAB（1）证明：平面ACD平面ADE；（2）记ACx，V(x)表示三棱锥A－CBE的体积，求V(x)的表达式；（3）当V(x)取得最大值时，求证：AD=CE．

10．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1C1EBC1AB1．

2（Ⅰ）求证：D1E∥平面ACB1；（Ⅱ）求证：平面D1B1E平面DCB1；（Ⅲ）求四面体D1B1AC的体积．

11、如图（1），ABC是等腰直角三角形，ACBC4，E、F分别为AC、AB的中点，将AEF沿EF折起， 使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．

（1）求证：EFAC；（2）求三棱锥FABC的体积．

AA

DM

BBB

CC（第12题）（第11题） （第13题） 11

112.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，ABC45，DC1，AB2，

PA平面ABCD，PA1． （1）求证：AB//平面PCD；

的中点，求三棱锥M—ACD的体积． （2）求证：BC平面PAC；（3）若M是PC

BC3.13.如图,在三棱柱ABCA侧棱AA1底面ABC,ABBC,D为AC的中点, A1B1C1中，1AAB2,

（1）求证：AB1//平面BC1D； (2) 求四棱锥BAAC11D的体积.13．如图，三角形ABC中，AC=BC=2AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分

2别是EC、BD的中点。（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V。

14．如图,长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA11,AD2,E是BC的中点.

(Ⅰ)求证：直线BB1//平面D1DE；(Ⅱ)求证：平面A1AE平面D1DE；(Ⅲ)求三棱锥AA1DE的体积.

C

（第14题）A1 BD1 1 A D AB E （第15题）

第13篇：立体几何证明已经修改

F

1、如图，在五面体ABCDEF中，FA平面

D ABC,DA//DB//C

AFABBCFEF,EAB为,ECAD的M中点， 1AD 2(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；

(2)证明：平面AMD平面CDE

2、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，的中点。

（1）求证：AC ⊥ BC1；

（2）求证：AC 1//平面CDB1；

（3）求多面体的体积。

，AA1＝4，点D是AB

3、如图边长为4的正方形互相垂直，（1）求点（2）求证：分别为到平面平面所在平面与正的中点． 的距离； ；

平面？若存在，试指出所在平面（3）试问：在线段上是否存在一点，使得平面点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

4、如图已知在三棱柱分别是、、、

∥平面中，的中点． ； 面，，、、、（1）求证：平面（2）求证：平面PCC1⊥平面MNQ．

5、如图，在四棱锥

且分别是中，四边形的中点．平面

的体积．

是正方形，平面，，⑴求证：平面⑵求三棱锥

6、已知四棱锥(Ⅰ) 求四棱锥

(Ⅱ) 是否不论点 (Ⅲ) 若点为的三视图如下图所示，的体积； 在何位置，都有的中点，求二面角是侧棱上的动点.？证明你的结论； 的大小

.7、（如图）在底面为平行四边形的四棱锥且，点是的中点.（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求证：（Ⅲ）求二面角

（IV）当求直线

，和平面；平面； 的大小.时， 所成的线面角的大小.中，，平面，

第14篇：立体几何证明大题答案

立体几何证明大题答案

1．（本题满分9分）

证明：

（1）AEEDEF//DCAFFCEF平面BCDEF//平面BCD

DC平面BCD

…………4分

（2）AD平面BCDBCADBC平面BCD………9分 BCCDBC平面ACD

ADCDD

1.证明：过A作AD⊥PB于D，由平面PAB⊥平面PBC ，得AD⊥平面PBC，故AD

⊥BC，

又BC⊥PA，故BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB

2、证明：（1）连结A1C1，设AC11B1D1O1

连结AO1， ABCDA1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形

AC11AC11AC且 AC

又O1,O分别是AC1C1AO且O1C1AO 11,AC的中点，O

AOC1O1是平行四边形

C1OAO1,AO1面AB1D1，C1O面AB1D1

C1O面AB1D1

（2）CC1面A1B1C1D1CC !1B1D

又AC11B1D1，B1D1面A1C1C

即ACB1D11

同理可证ACAB1，1

又D1B1AB1B1

面AB1D1AC1

16.（满分12分）如图，在三棱锥S-ABC中，SABSACACB90,, （Ⅰ）证明SC⊥BC；（Ⅱ）若已知AC2,BC,SB29, 求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小。

解：（Ⅰ）证明: ∵SABSAC90 ∴SA⊥AB,SA⊥AC 又AB AC=A∴SA⊥平面ABC …………2分

又BC平面ABC∴BC⊥SA；……………3分

又ACB90即BCAC…………………4分 又AC SA=A∴BC⊥平面SAC………5分

又SC平面SAC∴SC⊥BC………………6分

（Ⅱ）解： ∵SC⊥BCAC⊥BC………………7分 ∴SCA是侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角………………………8分 在Rt

SCB中，由BCSB

4…9分 在RtSAC中，由AC=2,SC=4得COSSCA=AC1SC2SCA60…10分 即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°.……………………12分

第15篇：立体几何证明技巧解答

南京市第六十六中学2012届二轮复习

证明的通用技巧归纳与整理

2．1 线面平行的证明技巧。

2．1．1 把要证的直线平行移动到面内确定平行线 1．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知底面

ABC是正三角形，且平面ABC平面BCC1B1， 点D是棱BC的中点． 求证：A1B//平面ADC1．

A

A

1B

D

C

C1

2．1．2 如果不能确定平行线，则构造一个包含该直线且与要证平面平行的平面 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°,

E、F分别为A1C

1、BD的中点，D为棱CC1上任一点． 求证：EF∥平面A A1B1B．

2．3 证明由平面图形经过翻折升维为立体图形时抓住翻折前后不变的边角关系是证明的关键。 例6．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。 （Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；

（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求证：平面A’MC⊥平面BCDE。

A

C

D

A

1E

C1

B1

A\'

F

M

C

A

E

B

2．2 证明在同一平面内的线线平行或垂直技巧。

通常在证明同一平面内的线线位置关系时，通常采取降维的做法，把问题从立体图形转化为平面几何图形来研究，比较简单且易于观察。

D1

3．四棱柱ABCD

A1BC11D1中，ABBCCA

A1

A

C1

ADCD1,面AAC11C面ABCD。

（1）求证：BDAA1；

（2）若E为线段BC的中点，求证：A1E//平面DCC1D1。

C

2．4 直接证明有困难或不好证明时，借助于第三个量，通常在第一小问中有提示，进行转化证明。

例7．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC， 点D，O分别为AA1，B1C的中点。 （1）证明：OD∥平面ABC；

（2）证明：平面B1DC⊥平面BB1C1C．

A

A1

B

C1

2．5 运用公式，借助割补法、等体积代换对简单几何体侧面积、体积等相关计算时，要注意计算与证明相结合。

例8．在四棱锥O-ABCD中，底面是边长为2的菱形ABCD，

DAB60°，

OAD⊥底面ABCD．

求点A到平面OBC的距离．

三、实战练习：

A

C

EF//AC

，AB，CEEF1 1．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；

（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．

2．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，点D,E,O分别为AA1,AC11,B1C的中点。 （1）证明：OE∥平面AA1B1B； （2）证明：平面B1DC⊥平面BB1C1C．

A

D

A

1E

C

B

C1

3．已知，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°,E、F分别为A1C

1、BD的中点，D为棱CC1上任一点． 求证：（1）EF∥平面A AB1B；（2）BCEF．

A

C

D

A1

E

C1

B1

ABBC2,CQ4，BCQ60,4．如图，已知等腰梯形ABCQ中,AB//CQ，D是CQ的中点，

将QDA沿AD折起，点Q移动到点P位置，使平面PAD⊥平面ABCD.

（1）求证：BC//平面PAD； （2）求三棱锥PBCD的体积。

Q

C

AP

B

DA

C



5．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD中为菱形，BAD60，Q为AD的中点．

求证：“平面PQB平面ABD”的充要条件是“PAPD”．

P

D

A

C

第16篇：文科立体几何证明[1]

立体几何证明题常见题型

1、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC1，E是PC的中

点，作EFPB交PB于点F．

(I) 证明： PA∥平面EDB；

(II) 证明：PB⊥平面EFD； (III) 求三棱锥PDEF的体积．

2、如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,垂足为H，

PH是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC平面PBD;

（Ⅱ）若AB,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积。

B

3、如图，矩形ABCD中，AD平面ABE，AEEBBC2，F为CE上的点，且BF平面ACE.（Ⅰ）求证：AE平面BCE；（Ⅱ）求证；AE//平面BFD；

（Ⅲ）求三棱锥CBGF的体积.4、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC，,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

C

B

D

B

MA平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为

5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MB、

PB、PC的中点，且ADPD2MA.(Ⅰ) 求证：平面EFG平面PDC;(Ⅱ)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.

6、如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；

（3）求三棱锥C-BGF的体积。

Ｄ

G

Ａ

Ｃ

Ｂ

Ｅ

7、在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如图 所示）

（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求三棱锥的体积

VS－ABC。

1，E为BC边中点

D

18、如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝（1）求三棱锥D1-DBC的体积 （2）证明BD1//平面C1DE

A

9，如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的

A

交点，面CDE是等边三角形，棱EFBC。

E

（I）证明FO∥平面CDE;；

（II

）设BC,证明EO平面。

10、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝

A

B

M

D

90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点．（1）求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。

11，如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，

求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。

12、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点． 求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

DAD

A

BBC

1C

13、如图平面ABCD⊥平面ABEF， ABCD是正方形，ABEF是矩形， 且AF

AD2,G是EF的中点，

2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

14、如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC的中点.（Ⅰ）求证：ABA1C；（Ⅱ）求证：A1C∥ 面AB1D；

6，BC10，D是BC边

15，如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE； （2） 设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.16 在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。（1）证明：平面PAB平面PCM；

_P

_A_C

_M

_B

17、如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点

（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

18、如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD； （II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由。

P

AD中，PA底

19、如图，四棱锥PABCD面ABCD，ABAD，ACCD，B

ABC60，PAABBC， E是PC的中点．

（1）求证：CDAE；（2）求证：PD面ABE．

20、如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.

2（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面

PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.S

A

D

BC

21、如图，在四棱锥SABCD中，SA

AB2，SBSDABCD是菱形，且ABC60，E为

CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

22、在正三棱柱ABCA1B1C1 中，E是AC中点，（1）求证：AB1//平面BEC1 ；（2）求证：平面BEC1平面ACC1A1 ；

23.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；

（II）求证：AC 1//平面CDB1；,

24、如图，在底面为平行四边行的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（Ⅰ）求证：ACPB；

（Ⅱ）求证：PB//平面AEC；

25．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA

1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是

1112A．VB．VC．VD．V

23

43B

11 26．如图1，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中， P、Q是对角 线AC上的点，若PQ

a

，则三棱锥PBDQ的体积为2

D

第17篇：立体几何常见证明方法

立体几何方法归纳小结

一、线线平行的证明方法

1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。

2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则 a//b。

3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。

4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线 a与直线 b，则a//b 。

5、由向量共线定理，若ABxCD，且AB、CD不共线，则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即a//b。

二、线面平行的证明方法

1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。

2、根据线面平行的判定定理，若平面 A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。 (用相似三角形或平行四边形)

3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。

4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不在平面内，则c//A。

三、面面平行的证明方法

1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。

2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。

或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。

3、垂直同一直线的两平面平行。

4、平行同一平面的两平面平行。

5、向量法，证明两平面的法向量共线。

四、两直线垂直的证明方法

1、根据定义,证明两直线所成的角为90°

2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.

4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).5、向量法.

五、线面垂直的证明方法

1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.

3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.

5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线.

六、面面垂直的证明方法

1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。

2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。

3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。

4、向量法，证明两平面的法向量垂直（即法向量的数量积为零）。

七、两异面直线所成角的求法

1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位线，将两异面直线平移至一特殊点（中位线的交点）然后在三角形中求角。

3、cos=cos1cos

24、向量法.八、直线与平面所成角的求法

1、根据定义，作出直线与平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、转化为距离(sin=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜线与法向量的夹角。（注意为正弦）

注：对两异面直线所成角和直线与平面所成角一定要注意角的范围。

九、二面角的求法

1、定义法，从二面角的棱上的某一点分别在两个半平面内作棱的垂线，求两条垂线所形成的角。

2、根据三垂线定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面积法，先作出一个半平面内的某个多边形，在另一个半平面内的射影多边形，然后由公式 cosθ=s\'/s（其中θ为二面角的平面角， s\'为射影多边形的面积， s为多边形的面积）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出两个半平面的法向量，然后求两法向量的夹角。（一般要先根据已知判断二面角是锐角还是钝角,否则要判断指向，同内同外为补角）

5.公式法(异面直线上点距离公式和三类角公式)

十、点到平面的距离的求法

1、根据定义，直接求垂线段的长度。

2、向量法，利用公式|PAn|d=|n|（其中PA为平面的一条斜

线，向量n 为平面的一个法向量。

3、等体积法，主要用在四面体（三棱锥）中，根据四面体的体积等于1/3底面积×高，选取不同的底面积，求出其中一条高长。

十一、平面图形翻折问题的处理方法

1、先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论都已知的立体几何问题。

2、有关翻折问题的计算，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些没变，尤其要抓住不变量。对计算几何体上两点之间的最短距离问题，要注意转变为平面图形求两点间的距离来计算。十

二、要注意的问题

1、对推理论证与计算相结合的题目的解题原则是一作、二证、三计算。(向量法可省略证角，但必须交代如何建系，右手系)。

2、正方体中，两个平行的正三角形截面把一条与它们垂直的体对角线三等分。

3、已知三条射线两两夹角，会求线面角和二面角(课堂笔记，只需会推导方法，不需强记公式)

4、适当时候，坐标法不方便时可以考虑基向量法，求向量

模易出错：r

a。

5、求异面直线间的距离，若公垂线找不到，除向量法外，可以考虑构造平行平面或平行线面，转化为点面距离求。

第18篇：立体几何证明大题 2

立体几何证明大题

1．如图，四面体ABCD中，AD平面BCD， E、F分别为AD、AC的中点，BCCD． 求证：（1）EF//平面BCD（2）BC平面ACD．

2、如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）求证：AC⊥平面B1D1DB;

（2）求证：BD1⊥平面ACB

1（3）求三棱锥B-ACB1体积．

1 D C A B D1 C1 AB1

3、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.DBC

1面AB1D1．求证：（１） C1O∥面AB1D1（2 ）AC1

4.如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，

ABC90，AEPB于E，AFPC于F 求证：（1）BC平面PAB；

（2）AE平面PBC；

（3）PC平面AEF．

AC

BP

F

A

E

C

B

5、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。求证：PA∥平面BDE

6、正方体ABCDA\'B\'C\'D\'中，

求证：（1）AC平面B\'D\'DB；（2）BD\'平面ACB\'.7.如图，在三棱锥S-ABC中，SABSACACB90,, 证明SC⊥BC；

8、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

A

C

9、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O面AB1D1；

面AB1D1．（2 ）AC1

DAD

BC1

C

B

第19篇：高中立体几何证明方法

高中立体几何

一、平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：

面面平行性质

//

a,

ab

//b

)

线面平行性质

////



a

b

a//a//b

//

a





//

a//

2.线线、线面、面面垂直关系的转化：

在内射影a

则aOAaPOaPOaAO

l

线面垂直定义





a



la



ba a,ab







a a

面面垂直定义

l，且二面角l

成直二面角





3.平行与垂直关系的转化：

a//ba

a

a

b

a



//

面面平行判定2 面面平行性质

3ab

a//b

//a

a

4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：

二、三类角

1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（0时，b∥或b

）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。

第20篇：高中数学立体几何证明公式

线线平行→线面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行 如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

线面垂直→线线垂直 线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

面面垂直→线面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

《立体几何证明.doc》

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