极限的计算、证明

极限的论证计算，其一般方法可归纳如下

1、直接用定义N,等证明极限

0例、试证明limn1n

证：要使0，只须n，故 

11nN0，N，，有10 n1n1

2、适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限

an

0，a0例、证明：limnn!

证：已知a0是一个常数

正整数k，使得ak aaa0 ，n n!n!k!k1nk!nk!nanakaaakk1

ak11，当nN时，有 0,Nk!

an0 n!

3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限

例、求limn352n1 2462n解：1352n13572n11462n12462n1 2462n2462n22n352n12n1352n14n

1352n11  2462n4n2

两边开2n次方：

11352n11211

1

2462n4n22n

1352n11

2462n由两边夹：limn

4、利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问

题

例、设Snl0n，p0为常数，求证：Snln

p

p

证：0SnlSnl0 ，得 Snln记 Snln，其中 n0n

n

再记Snlnl1l



p

p



l1n，其中nn0n l

则有Snl1np。 若取定自然数Kp，则当n1时1n1np1n

K

K

l1nl1npSnl1n

p

K

p

p

p

K

由两边夹得证。

5、通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易

求极限

例、求极限limsinn21

n



sinnn21n解：limsinn21lim

n

n



1sinn1n lim1sinlimn

n



n

2

n1n

n

0

6、换变量后利用复合函数求极限法则求极限例、求极限lim

x0

1x

x

1K

1

，其中K是自然数

解：令 y1x1

当x1时，有 1x1x1x，所以x0y0利用复合函数求极限法则可得lim

x0

1K

1K

1x

x

1K

1

lim

y0

y

1yK1

lim

y0

y

Ky

KK1y2yK

1 K

7、进行恒等变形化成已知极限进行计算

xx2

例、lim

1cosx2sin2sinx0x2limx0x2

lim1x021 x22

8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限例、求极限lim

1cosx

x0

1cos

x2

解：1cosx～12x2，1cosx2～12x

2

x0

12

lim1cosx

x

x01cosxlimx01x24 222

9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限例、x1xn

n1

x

，n1,2,，x1a0 n2

证明：limn

xn存在，并求此极限。证明：xn0x1n1

xxn21xn

2 n2xnx1x

2x2

nn1xnnx2xn2x0，xn1xn

nn

且 xn2，limn

xn存在令 llimxn，有 l1ln

l2

，l22，l2

10、利用海涅定理解决极限问题

例、试证明函数fxsin1x

当x0时极限不存在证：取x1n

，yn

2n2n

0 n 

02

而 fxn1，fyn0，得证

11、把求极限问题化为导数问题计算例、求极限lim

1x

1K

1

x0x，其中K是自然数

1解：lim

1xK

1

x0

x

1

xK\'1x1K 

12、利用洛必达法则求极限

例、limtgx2x

x

0解：令Alimtgx2x

x

0lnAlnlimtgx2xlimlntgx2x

x

 2

0x2

0

lim2xlntgxlimlntgx

sec2xx

2

0x2

0

2x1

lim

x

0

22x2

tgx

lim12x2

142xx202sinxcosx2lim0x20sin2x



所以limtgx2x

Ae01 x

0

13、把求极限的表达式化为积分和的形式，用定积分进行计算

例、设Sn

1n11n21

2n

，求limnSn解：S111

n11nn1n22n，lim

S11ni1n1in01x

ln2 n

14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题

例、求lim

xn

n

01xdx解：由第一积分中值定理

1

xn1

01xdx

1n



n0

xdx

11

，0n1 nn1

所以lim

xn

n

01xdx0

15、利用收敛级数的必要条件求极限

例、求xn

limnn!

解：已知指数函数的幂级数展开式x



xn

e!

对于一切xR收敛n0n而收敛级数的一般项趋于0，故得lim

xn

nn!

0

16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限

例、limxx2ln1

x



1x

解：xx2

ln11xxx2111011o1

2x2xx2x

2x2

原式

1、利用柯西收敛准则处理极限问题

17

例、用Cauchy收敛准则证明xn1证:取00,N0,任取nN,pn,有

xnpxnx2nxn

11

2n12n3



1135



无极限.2n1

15

1nn1

.4n14n14n4

故由Cauchy收敛准则知,xn为发散数列.

极限爆炸计算

极限的证明

极限 定义证明

证明极限不存在

函数极限证明

极限平均值的证明

中心极限定理证明

如何证明极限不存在

定义证明二重极限

极限不存在的证明

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