极限平均值的证明

1、设limanA，证明：limna1a2anA。 nn

证明：因为limanA，所以对任意的0，存在N0，当nN时，有 n

|anA|，于是

|a1a2anaa2aNaN1anA||1A| nn

a1a2aNaN1annA| n

a1a2aNNAaan(nN)A||N1| nn

a1a2aNNA1|[|aN1A||anA|] nn|||

|a1a2aNNAnN| nn

因为lim|a1a2aNNA|0（注意分子为常数），所以存在N1N，当nn

aa2aNNAnN1时，有|1|，于是当nN1时，有 n

aa2aNNAnNa1a2anA||1|2， nnn|

有极限的定义有lima1a2anA。 nn

n

2、设limanA且an0,A0，证明：lim12nA。 n

证明：因为a1a2ana1a2an， n

a1a2ann111aa2an1111， a1a2anna1a2ana1a2an， n所以111a1a2an

111aa2an1111lim，又因为lim，利用第1题结论，有lim1

nnananAAnn

所以limn

111a1a2annA，同理lima1a2anlimanA，由夹逼定理nnn得

lima1a2anA。 n

3、设an0，且liman1A，证明：limanA。 nnan证明：limanlimnnaaa1a2nlimnA。 1a1an1nan1