极限不存在的证明

不如何证明极限不存在

一、归结原则

原理:设f在U0(x0;\')内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于

xx0

U(x0;)且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。

\'

n

例如：证明极限limsin

x0

1x

不存在

12n

证：设xn

1n

,xn



2

(n1,2,)，则显然有

xn0,xn0(n)，si由归结原则即得结论。



00,si11(n)xnxn

二、左右极限法

原理：判断当xx0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)arctan(因为limarctan(

x0



1x

)

当x

0

时的极限不存在。

1x)

1x

)



2

x=0，limarctan(

x0





2

，limarctan(

x0



1x

)limarctan(

x0

1x

)，

所以当x0时，arctan(

1x

)的极限不存在。

三、证明x时的极限不存在

原理：判断当x



时的极限，只要考察x与x时的极限，如果两者

相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)ex在x

x



时的极限不存在

x

x

xxxx

因为lime0，lime；因此，limelime

x

所以当x

四、柯西准则



时，ex的极限不存在。

0\'

原理：设f在U(x0;)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给

xx0

0

，存

在正数()，使得对任何x,xU0(x0;)，使得f(x)f(x)0。 例如：在方法一的例题中，取01，对任何0，设正数n

x1

n,x1

n1，令

2即证。

五、定义法

原理：设函数f(x)在一个形如(a,)的区间中有定义，对任何AR，如果存在

00，使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)A0,则f(x)在x

x时没有极限。 例如：证明limcosx不存在

设函数f(x)cosx，f(x)在(0,)中有定义，对任何AR，不妨设A取0120,，于是对任何0，取00 反证法（利用极限定义） 数学归纳法

证明极限不存在

如何证明极限不存在

极限的证明

极限 定义证明

函数极限证明

极限平均值的证明

中心极限定理证明

极限的计算、证明

定义证明二重极限

数列极限的证明

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