2020-03-02 05:40:32 来源:范文大全收藏下载本文
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用定义证明函数极限方法总结:
用定义来证明函数极限式limf(x)c,方法与用定义证明数列极限式类似,只是细节xa
不同。
方法1:从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xah(),从而得h()。
方法2:将f(x)c放大成xa,解xa,得xah(),从而得
h()。
部分放大法:当f(x)c不易放大时,限定0xa1,得f(x)cxa,解xa,得:xah(),取min1,h()。
用定义来证明函数极限式limf(x)c,方法: x
方法1:从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xh(),从而得Ah()。
方法2:将f(x)c放大成xa,解xa,得xh(),从而得
Ah()。
部分放大法:当f(x)c不易放大时,限定xA1,得f(x)cxa,解xa,得:xh(),取AmaxA1,h()。
平行地,可以写出证明其它四种形式的极限的方法。
例1 证明:lim(2x3)7。 x2
证明:0,要使:
(2x3)72x2,只要 2x2,即0x2
取2,
2,即可。
x212。 例2 证明:lim2x12xx13
x1x212x12分析:因为,放大时,只有限制22xx132x1332x1
0x1,即0x2,才容易放大。
证明:0,限制0x1,即0x2,要使;
x1x1x1x1x212x12
,,只要
32x2x132x1332x132x13
即0x3,取min(1,3),即可。
例3
证明:(a1)。
xa
证明:0,限制0xa
1a1a
1,要使:
,所以x
22
,
只要
1a,,即可。 ,取min,即0xa
22
x3,x1
例4 设f(x),证明:limf(x)1。
x1
2,x1
32
证明:当x1时,f(x)1x1x1xx1
限制0x1,则xx112,xx17。0,要使:
f(x)1x1x2x17x1,
只要7x,即x1
7
,取
min,当0x1时,有:
7
f(x),
limf(x)1
x1
说明:这里限制自变量x的变化范围0x1,必须按自变量x的变化趋势来设计,
xa时,只能限制x在a点的某邻域内,不能随便限制!
错解:设x1,则xx13,要使:
f(x)1x1x2x13x1,只要0x1
,取min1,,
3
当0x1时,有:f(x)1。limf(x)1。
x1
例5 证明:lim
1。
x12x1
2x11
证明:考察,2x12x1112x1 1
2x12x1
限制0x1
111,则2x112x11,。0,要使: 422
2x1
4x1,只要4x,即x1,
42x12x1
1
44
1,
2x1
取min,,当0x时,有:lim
x1
1。
2x1
1,则4
说明:在以上放大f(x)A(即缩小2x1)的过程中,先限制0x1得:2x1
11。其实任取一个小于的正数1,先限制0x11,则22
0x1或0x1,则不2x1x1112m(如果是限制0
例6 证明:lim
能达到以上目的)。
x
2。
x24x7
证明:考察
7x271x
,仅在x的邻域内无界,所以,限制2
44x74x74x7
171
0x2(此邻域不包含x点),则4x74x2114x2。
842
0,要使:
7x27x2x
只要14x2,即x2, 214x2,
144x74x714x2
取min,
x1
,当时,有:2, 0x2
4x7814
x
2。
x24x7
x0
lim
x
例7 用定义证明极限式:lima1,(a1)
证明:0(不妨1),要使:
ax11ax1loga1xloga1(由对数函数
。于是,取minloga1, loga10, f(x)logax是单调增函数)
xx
当0x0时,有:a1。故lima1。证毕
x0
例8 设f(x)0,limf(x)
A,证明:lim
xx0
xx0
n2为正整数。
证明:(用定义证明)因为,f(x)0,由极限保不等式性知,A0;当A0时,
0,由limf(x)A,知:0,当0xx0时,有:f(x)A
xx0
f(x)A
n1
n2
n2
n1
f(x)A
n1
n1
,故:lim
xx0
im(f)x0当A0时:0,由l
xx
,知:
0,当0xx0时,有:
f(x)
0lim
xx0
0。证毕
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