“基本不等式”(第一课时)教案

2020-03-03 19:30:42 来源：范文大全收藏下载本文

基本不等式教学设计（第一课时）

阮

晓

锋

一、教学目标

1.知识与技能目标：学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。

2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；

3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教学过程：

1．设置情景，引入新课

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。

探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？

问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？

结论：一般地，对于正实数a、b，我们有ab2ab 当且仅当a=b时等号成立.

2．代数证明，推出结论

问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法这个不等式的证明．）

证明（作差法）：

∵，当（在该过程中，可发现a,b取值可以是全体实数）问题3：当 a,b为任意实数时，上式还成立吗？

2222给出

时取等号．

重要不等式：对任意实数a、b，我们有ab2ab（当且仅当a=b时等号成立）特别地，若a>0且b>0可得abab，即基本不等式:若a>0且b>0，则

abab（当且仅当a=b时等号成立） 2abab（当且仅当a=b时等号成立） 2深化认识：

(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称ab为a、b的算术平均数,称ab为它们的几何平均数，则基本不等式又可2叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．动手操作、几何证明，相见益彰探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a和b（ab），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）

探究三：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．根据射影定理可得：CD大于直角边CD，于是有

ACBCab由于RtCOD中斜边OD

abab当且仅当点C与圆心O重合时，即a=b时等号成立.2（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 4．应用举例，巩固新知例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）方法：一般地，对于x,yR我们有：

142（1）若xy=p（p为定值），则当且仅当a=b时，x+y有最小值2xy；（2）若x+y=s（s为定值），则当且仅当a=b时，xy有最大值s．上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：

在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。

例2.设x0,y0，且2xy2，求xy的最大值．

1的最小值.x21思考题：若x2,你能求出x的最小值吗？能求出其最大值吗？若能请求出来.

x2变式题.若x2，求x5．归纳小结，反思提高

22重要不等式：若a、bR，则ab2ab（当且仅当ab时等号成立）

基本不等式：若a、bR，则