围绕线线平行垂直

围绕线线平行垂直、线面平行垂直、面面平行垂直等（学法指导角度来写）

2012届高考说明已经出炉，立体几何方面较前两年没有变化，所以线，面之间的平行，垂直依旧是高考考察立体几何的重点，下面我们就结合具体题目来谈谈解决这类问题的方法技巧。

例1如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D在棱BC上点 （1） 若D为BC中点，求证：A1B//面ADC

1P为AA1上一点，APPA，（2） 若CD3BD，当为何值时，BP//面C1AD

C1

C1

C1

B

C

B

C

B

C

:

（法一）（法二） （1）若D为BC中点，求证：A1B//面ADC1

分析：此问是证明线面平行， D又为中点可以通过中位线入手用线线平行证之； 又或通过面面平行证明之。

H，连接HD 证明：（法一）连接AC1交AC1于

D为BC中点，所以HD//A1B； 因为H为AC1中点，又

因为HD//A1B，HD面ADC1，A1B面ADC1 则A1B//面ADC1，A1EBEE （法二）取B1C1中点E，连接BE；

因为BE//DC1，C1D面ADC1，EB面ADC1；所以BE//面DC1A 同理：A1E//面DC1A，因为BE//面DC1A，A1E//面DC1A，A1EBEE 所以面BA1E//面DC1A，又A1B面A1BE，所以得证。

（2）： 若CD3BD，P为AA1上一点，APPA，当为何值时，BP//面C1AD

C1

P

P

C1BCBC

分析：此问是针对把线面平行当作条件求参量的值，即求比例关系，可能要转化为平面

几何来求，所以此题要想到线面平行的性质定理把线面转化为线线。

解：连接PC，交AC1于H，连接HD

因为BP//面C1AD，BP面BPC，面BPC面ADC1HD，所以BP//HD。 所以

总结归纳：

利用线面平行的判定定理：欲证明线面平行可通过线与平面内一线平行，通过线面平

行的判定定理证明，往往这样要作辅助线特别是中位线等。

利用面面平行的性质：欲证明线面平行可通过经过该线的一个平面平行我们要求证的

面，当然还要通过面面平行的判定定理，但这里一定要注意面面平行的判定定理如何用。

当然较两种方法首选第一种；

综上:证明线面平行关系我可以如下表示 。

例2：如图，已知直角梯形

ABCD中，

AB∥

CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，

过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（1）求证：BC⊥面CDE；（2）在线段AE上找一点R，当R点满足3AR＝RE时

求证：面BDR⊥面DCB1BDPHPA1，即=。 2DCHCC1C

2证明：（1）由已知得：DEAE, DEEC,AEECE

所以DE平面ABCE

所以DEBC 又CEBC, DEECE,

所以BC面DCE

(2) 当R点满足3AR＝RE时，取BD中点Q， 连接AC交BR于H,

因为ABRHAB,所以 ACBR,

连接HQ

，因为QB

, HB,

因为在DBR中，COSDBR

10

牛刀小试：

如图,

在直三棱柱ABC

－A1B1C1中, ∠ACB＝90°, E , F , G分别是AA1 , AC , BB1

的中点，且CG⊥C1G.

(Ⅰ)求证：CG∥平面BEF；(Ⅱ)求证：CG⊥平面A1C1G.

证明：(Ⅰ)连结AG交BE于D, 连接DF , EG.

∵ E , G分别是AA1 ,BB1的中点，∴AE∥BG且AE＝BG,

∴四边形AEGB是平行四边形.∴D是AG的中点,

又∵ F是AC的中点,∴DF∥CG

则由DF面BEF, CG面BEF, 得CG∥面BEF

(注：也可证明平面A1CG∥平面BEF)

(Ⅱ) ∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥底面A1B1C1,∴C1C⊥A1C1 .

又∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°,即C1B1 ⊥A1C1,∴ A1C1⊥面B1C1CB

而CG面B1C1CB,∴ A1C1⊥CG

又CG⊥C1G,∴CG⊥平面A1C1G

如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中点.

现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的

中点.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；

（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE.

D

BEC BEC图乙

解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥AD, PA⊥AB, ABAD＝A，所以PA⊥平面ABCD.

（Ⅱ）证明：因为BC＝PB＝2CD, A是PB的中点，所以ABCD是矩形，

又E为BC边的中点，所以AE⊥ED.

又由PA⊥平面ABCD, 得PA⊥ED, 且PAAE＝A, 所以ED⊥平面

PAE，

而ED平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE.

（Ⅲ）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G, 连结FG.

由FH∥ED, ED平面PED, 得FH∥平面PED；

由GH∥PD，PD平面PED，得GH∥平面PED，

又FHGH＝H，所以平面FHG∥平面PED.所以FG∥平面PDE.

再分别取AD、PA的中点M、N，连结BM、MN，

易知H是AM的中点，G是AN的中点，

从而当点G满足AG＝

已知△BCD1AP时，有FG∥平面PDE.4中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，

AEAF（01）.ACAD

（1） 求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（2）当为何值时，平面BEF⊥∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，

平面ACD？

证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，

∵CD⊥BC且ABBC＝B， ∴CD⊥平面ABC.

AAEAF（01） ACAD∴不论为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论为何值, 恒有平面BEF⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD2,AB2tan60,∴ACABBC

6

,∴227B由AB2＝AE·AC 得AEAE6AC7

故当

6时，平面BEF⊥平面ACD.7

线线、线面平行垂直的证明

线线、线面平行垂直的证明

线面 线线面面平行垂直方法总结

垂直与平行

平行与垂直

平行与垂直

平行与垂直

垂直与平行

垂直与平行

垂直与平行

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