高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的专题训练

深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。

（4） 利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。

(1)通过“平移”,根据若a//b,且b平面,则a平面

1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

DC，

2E为PD中点.求证：AE⊥平面PDC.分析：取PC的中点F，易证AE//BF，易证

BF⊥平面PDC

2．如图，四棱锥P－ABCDABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点． 求证：平面PCE⊥平面PCD；

分析：取PC的中点G，易证EG//AF，又易证AF于是EG⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCD

（第2题图）

3、如图所示，在四棱锥PAB中，

AB平面,PAB//CD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上的点，且

DF

AB,PH为PAD中AD边上的高。

2（1）证明：PH平面ABCD；

（2

）若PH1，ADFC1，求三棱锥EBCF的体积； （3）证明：EF平面PAB.分析：要证EF平面PAB，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中点G，易证EF//GD, 易证DG⊥平面PAB

4.如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形

BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面ABCD,

E为PC的中点, PA＝AD。 证明: BE平面PDC;

分析：取PD的中点F，易证AF//BE, 易证AF⊥平面PDC

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质

5、在三棱锥PABC中，ACBC2， ACB90，PCAC．APBPAB，（Ⅰ）求证：PCAB；

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；

P

A

C

B

6、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º 证明：AB⊥PC

因为PAB是等边三角形，PACPBC90, 所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。 如图，取AB中点D，连结PD,CD, 则PDAB,CDAB, 所以AB平面PDC, 所以ABPC。

（3）利用勾股定理

7、如图，四棱锥PABCD的底面是边长为

1的正方形，PACD,PA1,PD求证:PA平面ABCD；

_ B

_ A

_D

_C

8、如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABAD，且ABAD

CD1．

2现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面

ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；

（2）求证：BC平面BDE；

E

M

E

C

F

MC

B

A

9、如图，四面体ABCD中，O、

E分别是BD、BC的中点，

CACBCDBD2,ABAD （1）求证：AO平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（1）证明：连结OCBODO,ABAD,AOBD.B

E

BODO,BCCD,

COBD.

在AOC中，由已知可得AO1,CO 而AC2,

AO2CO2AC2,AOC90o,即AOOC.

BDOCO, AO平面BCD

,BCCD，侧面SAB为等边三角形，

10、如图，四棱锥SABCD中，ABBC

ABBC2,CDSD1．

（Ⅰ）证明：SD平面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．

解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形

BCDE为

矩形，DE=CB=2，连结SE，则SEAB,SE又SD=1，故EDSESD，所以DSE为直角。

由ABDE,ABSE,DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD。SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以SD平面SAB。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点， 求证：D1O⊥平面MAC.分析：法一：取AB的中点E，连A1E,OE,易证△ABM≌A1AE, 于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM, ∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：连OM,易证△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2， D为CC1中点.求证：AB1⊥平面A1BD；

分析： 取BC的中点E，连AE,B1E,易证△DCB≌△EBB1，

从而BD⊥EB

113、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中， 过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F， 求证：A1C⊥平面BDE；

（5）利用直径所对的圆周角是直角

AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互

相垂直的各对平面.P

A

15、如图，在圆锥PO中，已知POO的直径AB2,C是狐AB的中点，D为

AC的中点．证明：平面POD平面PAC;

16、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．

求证：平面ABM⊥平面PCD； ．

证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.

B

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