空间线面平行与垂直的证明

2020-03-02 18:25:38 来源：范文大全收藏下载本文

空间线面平行与垂直的证明

本考点以空间几何体为载体，既考查几何体的概念和性质，又考查空间线面位置关系（平行与垂直）的判定与性质，还可结合一些简单的计算进行考查，是每年高考的必考内容，也是重点考查的内容.该部分试题难度适中，一般都可用几何综合法解决，少部分不易证明的才通过建立空间直角坐标系用坐标法求解.

（1）掌握线面平行、垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行与垂直，会用性质定理解决线面平行与垂直的问题.

（2）通过线面平行、垂直的证明，培养同学们的空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力.

该知识点的重点、难点是：线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的灵活转化；同时要注意推理表达的规范与完整.

（1）证明平行或垂直问题，一般利用平行或垂直的判定定理及其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明；而无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线线垂直.可见，转化是证明平行、垂直问题的关键.

（2）在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，再从结论中分析所要证明的关系，从而架起已知与未知之间的桥梁.增添辅助线是解决问题的关键，常见的添辅助线的方法有：中点、垂足等特殊点，用中位线、高线转化；有面面垂直的条件，则作交线的垂线，等等.

例1 如图12，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，在等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心.

图12

（1）求证：平面ADF⊥平面CBF；？摇

（2）求证：PM∥平面AFC.

破解思路对于第（1）问，将证明面面垂直转化为证明线面垂直；

（2）根据面面平行的性质定理，将线面平行的问题转化为面面平行来证明.

答案详解（1）因为矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF.？摇又AF？奂平面ABEF，所以CB⊥AF.又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，由余弦定理知BF= ，所以AF2+BF2=AB2，所以AF⊥BF.又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CFB.因为AF？奂平面ADF，所以平面ADF⊥平面CBF.？摇

（2）连结OM并延长交BF于H，则H为BF的中点.又P为CB的中点，所以PH∥CF.又因为CF？奂平面AFC，所以PH∥平面AFC.连结PO，则PO∥AC.因为AC？奂平面AFC，所以PO∥平面AFC.又PO∩PH=P，所以平面POH∥平面AFC.因为PM？奂平面POH，所以PM∥平面AFC.？摇

例2 如图13，平面ABCD⊥平面ABE，其中四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，且AB=2，点F，G分别是BC，AE的中点.

（1）求三棱锥F-ABE的体积；

（2）求证：BG∥平面EFD；

（3）若点P在线段DE上运动，求证：BG⊥AP.

图13 图14

破解思路对于第（1）问，求出三棱锥F-ABE的高后可直接求解.对于第（2）问，根据线面平行的判定定理，在平面EFD中，只要找出与BG平行的直线即可证明.对于第（3）问，可通过证明线面垂直来转化.

答案详解（1）因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE.因为G是等边三角形ABE的边AE的中点，所以BG⊥AE，所以VF-ABE= S△ABE?BF= ? ?AE?BG?BF= ×2× ×1= .

（2）如图14，取DE的中点M，连结MG，FM.因为MG AD，BF AD，所以MG BF，所以四边形FBGM是平行四边形，所以BG∥FM.又因为FM？奂平面EFD，BG？埭平面EFD，所以BG∥平面EFD.

（3）因为DA⊥平面ABE，BG？奂平面ABE，所以DA⊥BG.又BG⊥AE，AD∩AE=A，所以BG⊥平面DAE.又AP？奂平面DAE，所以BG⊥AP.

1.如图15，直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.

图15