《等差数列》教学设计

2020-03-02 13:37:00 来源：范文大全收藏下载本文

等差数列第一课时教学设计片断

重庆市教育科学研究院张晓斌

教学过程

1.创设情境，直奔课题

①德国数学家高斯八岁时计算1+2+3+„+100＝？时，所用到的数列：1，2，3，4，„，100。 ②姚明刚进NBA一周里每天训练发球的个数依次是：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000。．③匡威运动女鞋的尺码（鞋底长，单位是cm）：22,23,23,24,24,25,25,26。

引导学生观察：上面的数列①、②、③有什么共同特点？

学生容易发现这些数列有一个共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，我们把具有这一特点的数列叫做等差数列（此时写出课题）。

2.阐述定义，理解内涵

在前面的基础上得出等差数列的定义：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

你觉得在理解等差数列的定义时应注意什么？启发学生回答： ①“从第二项起”（这是为了保证“每一项”都有“前一项”）；

②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为“同一个常数”体现了等差数列的基本特征）；然后在理解概念的基础上，引导学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出一串数学表达式，即a2a1d,a3a2d,,anan1d,an1and,，这其中最能刻划等差数列的本质特征的是哪一个等式？

。 an1and（d是常数，nN*）或anan1d（d是常数，nN且n2）通过下面三个问题从正反两方面加深对概念的理解：

① 9 ，8，7，6，5，4，„„是等差数列吗？（递减等差数列） ②常数列3，3，„，3，„是等差数列吗？（常数列）

③数列1，4，7，11，15，19是等差数列吗？（非等差数列）

由此三个问题和前面的问题让学生发现：公差d可以是正数、负数，也可以是0；当d0时，等差数列是递增数列；当d0时，等差数列是递减数列；当d0时，等差数列是常数列.

④若数列{an}满足：an1and（d是常数，nN且n2），则数列{an}是等差数列吗？ 3.探究交流，发现公式

如果等差数列{an}首项是a1，公差是d，那么这个等差数列a2,a3,a4如何表示？an呢？根据等差数列的定义，不难由学生完成：

因为a2a1d，a3a2d，a4a3d，„„。所以a2a1d，

12121212a3a2d(a1d)da12d， a4a3d(a12d)da13d，

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 由此完成ana1(学生回答）

当n1时，对(＊)式两边均为a1，即等式也成立，说明(＊)式对nN都成立，因此等差数列的通项公式就是：ana1(n1)d，nN。

上面求通项公式的过程是迭代的过程，所用的方法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，因此我们有必要寻求更为严密的推导方法。

根据等差数列的定义，引导学生探究发现：

**)d填空，得ana1(n1)d„„(＊)，这是等差数列的通项公式吗？（让a1a1 a2a1d a3a2d

„„„„„

anan1d

将以上n个式子相加得ana1(n1)d。这种求通项公式的方法叫叠加法，这是一种严密的科学证明方法。

然后再引导学生对此公式进行理解：通项公式含有a1,d,n,an这4个量，已知三个量，就可以求出第4个量，即“知三可求一”，这样通项公式就是方程，从中让学生体会方程思想的运用。

4.运用新知，解决问题

例１已知等差数列18，15，12，9，„„。

（1）请写出a20,an；

（2）－279是否是这个数列中的项，如果是，是第几项？

说明：要判断-279是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得an279成立，实质上是要求方程an279的正整数解。

例2已知等差数列{an}中，a510,a1525，求a25的值。解略。（a2540）

解方程组比较麻烦，可否避免？让学生发现：a15a510d(155)d。这是一种巧合，还是对任意的两项差都满足？提出

探究活动一：请同学们思考：在公差为d的等差数列{an}中，an与am有何关系？由ana1(n1)d和ama1(m1)d易得aman(mn)d（证实并非巧合），从而也有d aman。

mn2

让学生比较ana1(n1)d与aman(mn)d发现，前式是后式的特例，后式是前式的推an(mn)d叫做等差数列的变通式。让学生用变通式再解例2。广。为此我们不妨把am探究活动二：通过例2发现：5，15，25成等差，a5,a15,a25 也成等差；在等差数列{an}中，k1,k2,k3„成等差数列，那么 ak1,ak2,ak3„成等差数列吗？（让学生课后思考）

探究活动三：

由等差数列通项公式得ana1(n1)ddn(a1d)（d,b是常数），当d0的时候，通项公式是关于n的一次式，一次项的系数是公差。等差数列通项可以写成anpnq形式；反之，如果数列{an}的通项公式为anpnq（其中p、q是常数），那么这个数列是等差数列吗？

判定数列{an}是不是等差数列，也就是要看an1an的差是不是与n无关的常数。这由等差数列的定义可以完成证明。

由此得出：数列{an}为等差数列的充要条件是其通项anpnq(p,q是常数)。探究活动四：

（1）在直角坐标系中，画出an3n21(nN*)的图象。这个图象有什么特点？（无穷多个孤立点。）

（2）在同一坐标系下，画出函数y3x21的图象。你发现了什么？（an3n21的图象是直线y3x21上均匀排开的无穷多个孤立点。）（3）等差数列anpnq与函数ypxq图象间有什么关系？（anpnq的图象是直线ypxq 上均匀排开的无穷多个孤立点。） 5.归纳小结，提炼精华一个定义： an1and(d是常数）。

两个公式：ana1(n1)d，anam(nm)d。

三种思想：特殊与一般思想、方程与函数的思想、数形结合的思想。要追问在哪里体现了这些思想方法？

三种方法：不完全归纳法、迭代法、叠加法。 6.课后作业，运用巩固

必做题：课本P114习题3.2第1，2，6 题。

备选题：1.在等差数列{an}中，已知a12，a10是第一个大于1的项，求公差d的取值范围。 2.我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几何？”

3.选做题：在等差数列{an}中，已知 a716，求下列各式的值：（1）a6a8；（2）a3a11。