ln2极限的证明

111()ln2.证明：limnn1n22n

Pf：①利用积分放缩，再用迫敛性：

1 首先，观察图像 ynx

S1是以1和其中，

21n11S2dx0nx为边长的矩形的面积，

11，S31nxdx，显然有S2S1S3，因此有

1ln(n2)ln(n1)ln(n1)lnn，

n11ln(n3)ln(n2)ln(n2)ln(n1)同理， n21ln(n4)ln(n3)ln(n3)ln(n2)…

n31ln(2n1)ln2nln2nln(2n1)，

2n所以，

n11ln(2)ln(2n1)ln(n1)ln2nlnnln2，

n1i1ni111()ln2.由夹逼准则得limnn1n22n证毕

②利用幂级数展开以及收敛数列的子列收敛于同一极限：首先，在(1,1]上，有以下的幂级数展开：

(1)ln(x1)nn1n112(1)xxx2nnn1xn.令x1，有

1(1)k11(1)k1ln21lim[1].k2k2kk1k11(1)1(1)令ak12k，那么数列{ak}{12k}收敛于ln2.现在，取数列{ak}的偶数项组成数列{bn}n1，即

11b1a21，

2211111b2a41，

23434…

1(1)bna2n1 22n111122n12n 111111(1)2()

22n12n242n11111(1)(1)

22n12n2n1111 n1n22n12n2n1由于数列{bn}n1是数列{ak}的一个子列，因此

limbnlimakln2.

nk证毕